Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

решение которой:



A

B



x









x

A



x

AC



x

32, 1, 12.ABC



Теперь найдём коэффициенты разложения

значений.

корням знаменателя

1,12,

равенство (1) найденные значения коэффициентов, окончательно имеем

простейших дробей имеем

знаменателю, имеем

Подставим в тождество (2) вместо x частные значения, равные

0, 1, 2.  

123

C 

откуда следует, что

23 32 1 12

x





5.103 Найти

  

xx x x x x

31

22

12 1 2

 

ln ln 1 ln 2 .

dx dx

xxc





На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму

xdx A B C



Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему

11 1

xx x

 

 



 

 

xdx

11

xx



22

.

2

Решение

 



11

xx





2

Получим равенства

32, 1, 12ABC





111.xAx Bx Cx 

методом частных

. Подставив в

.

dx

2

(1)

32,



При

.

12B 

Для вычисления значения С приравняем в тождестве (1) коэффициенты при

Окончательно имеем



xx x

 

 

1111 1111

   

ln 1 ln 1 ln .

4214 4121

5.104 Найти

Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей; выполнив приведение к общему знаменателю, получим

и

1



2

. Получим

xdx

11 1

  

22

xxx



находим, что

1



0

14 12 14

dx dx dx

11

xx





xdx

2

11

xx





xc c

.

Решение

41,12,

, то есть





x



B

то есть

.

14C

14,A

21









2







x

A



x



I





x



A

xdx A Mx N

 

xx xx

 



Следовательно,

2 2

11 11





 



11

xx







2



dx dx

11.xAx MxNx 

Ax Mx N x

11

  



.

При

откуда



xx



дробью. Путём деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь:

x x dx dx dx

  

12, 12.MN 

xdx

11





5.105 Найти

В данном случае подынтегральная функция является неправильной

Следовательно,

    

 

получаем 12

1



111

 

2

 



yx dx

xx x x

32 32

2.



222



xx





42 2

 



 

35 2105

xx xxx

25 25

2

xx AMxN

 

2105

2

xx x





, то есть

2

xA M



0

AN



x

2



xx

32

25

dx x x x c

124 2

42



35

xx



25

Решение



x

0,

 

0,



11 1

ln ln 1 arctg .

.

2.

x



. Далее,

12A

2



225

 



2

xx x



Приведя к общему знаменателю дроби в последнем интеграле и приравняв числители подынтегральных дробей в левой и правой частях записанного равенства, получим

222

откуда

2105 25 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

1, 3, 12.

MN  

Окончательно получаем

xAxx MxNx  

2

x

1

0

x

AM



2,

10 2 ,



AN



55,

A

22

  

, имеем:



22



x





xdxx

x







22

xx



Ix dx x dx



  

2252225

x



  

x



 

1312 3226

 



xx x x x



2



2225

2



2

xx



22

 

ln 9

322

xdx

391

ln ln 2 5 arctg .

xdx



2



xx



2

xx c



ln

14

x





x

2



22 22

5.106

3

x

.

dx



x 

2

5.107



xx





4

x



dx

.

23

2

323

xx

5.108





3

xx



dx

.

5.109

dx

.

5.110

5.112

5.114

5.116

5.3.3 Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интеграл вида

где

R - рациональная функция,

3



3

32



xx





xxx







xx



4

x

1



233

.xdx

2

xx



2

125



2

xdx

2

11





ax b ax b



,,, ,

Rx dx









cx d cx d





dx

.

rs r s



,,,abcd

5.111

5.113

.

5.115

5.117

ii vv



- постоянные,



2

.

32



2



54

xx



3

xx



143

xxxx





2

dx

4

1

x

dx

4

2

xx



x

8

.

dx

4

2

23

xx



32



.

4

- целые

,

rs

ii

dx

.

положительные числа, функции новой переменной

1,iv

, приводится к интегралу от рациональной

u с помощью подстановки

ax b cx d



23

m

u

.

Здесь число m - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей

s





x





P



rr

iv

,,



iv

, то есть m = НОК (

s

,,

1

).

s

v

В частности, интеграл вида

rs r s

ii vv

,,, ,

Rxx x dx





приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной помощью подстановки

m

u .

dx

5.118 Найти



4

x 

.

3

4

Решение

Так как НОК(2, 4) = 4, то

4

xu



3

4

dx u du



44

3

udu

44

      

4ln4ln4,



поскольку

dx x dx u u du

  

3

4

x



33333

uduuucxxc

 

ux

  

4



2

4416 416

u

3



u

4

.

12 2 5

34 3 3

xuu

444



433 3 3

6

1

xdx

5.119 Найти





xx

 

3

11

.

Решение

Так как НОК(2, 3, 6) = 6, то

6

1

xdx u u





xx

 

3

11

xu



 

dx u du

6

1,

5

6



5

66

32

uu u



udu du

4

1

u с



32 4 3 2

6 1 2366ln1

 

uuu du u u u u u c







3



2

12 13 16 16ln 11.

2

Интегрирование некоторых функций, рационально зависящих от

2

ax bx c

, описано в пунктах 5.2.2, 5.3.1.

Рассмотрим интеграл вида

где

x

- многочлен степени n . Оказывается, что данный интеграл всегда



n

можно представить в виде

Px



n



22

 

ax bx c ax bx c

13

12

u



xxx x c 

dx Q x ax bx c



36 6

Pxdx



n



ax bx c





1

n

2

24

,



dx

,

где











x







x







x



;

R

Qx

- многочлен степени

1n



с неопределёнными

1n

коэффициентами, которые находят следующим образом. Дифференцируем данное равенство, в результате получаем тождество, из которого определяем

коэффициенты многочлена

42

5.120 Найти

xx



Согласно формуле, имеем

42

4

xdx





2 2

xx

dx Ax Bx Cx D x

 



44

Продифференцируем последнее равенство. Получим

42

4

xx



2



x

32

Ax Bx Cx D

 



Умножим обе части равенства на

42 2 2 3 2

43 2 4 .x x Ax Bx C x Ax Bx Cx D x     



Воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, получим систему уравнений

Qx

4



2



x

и число .

1n



.

dx

4

Решение

32 2



22

dx Ax Bx C x

32 4



 

4.

4

x

22

44

xx

2

4x

. Тогда

1



.



4

x



13 ,

3

x

2

1

x

0

x

AA



02 ,

BB

AC B



412 ,



BD

04 ,

C



04 ,







решение которой:

14, 0, 12, 0, 2ABCD

 

.

Следовательно,

42 3

42

xx xx



dx x x x c



2



4

x



4

22

42ln 4 .

Интеграл от дифференциального бинома

p



,,mnp

,

- рациональные числа, можно

где

mn

,ab

- постоянные, отличные от нуля,

abx dx

привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Чебышева в следующих трёх случаях:

если

1)

- целое число, то имеем рассмотренный выше случай

p

интегрирования простейших иррациональных функций;

25

2) если



x













x



x



x

xdxx

x

abx u,

ns

1mn



,0prs s

- целое число, то применяется подстановка

;

если

3)

abx ux .

nsn

1mnp



- целое число, то используется подстановка

dx

5.121 Найти



74

1

.

x

Решение

132122mnp

Так как

7, 4, 1 2mnp

 

, то

  

-

целое число. Имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Тогда

14

424 2

1,1,

xux xu

  



dx



74

1

xx





dx u udu

1

 





2

54

1

2

74 12 54

212 2

11 1

uuu u udu

   

 



1111

       

262

23

1

uduuucu







1

 

2



4

x



2

x



11

 





62

63

xx

4

1.

c

5.122

5.124

5.126

5.128

5.130

5.132

5.134

dx

.



x 

3



134



2

1

34

x



3

x

.

5.123

5.125

x

.

dx



4



1



xx x



3

.xdx

3

5.127

5.129

dx

.



34

3





4

53

3

1.





x

3

x

dx

.

x

2

xdx

5.131

5.133

5.135

3

27.

dx

dx

.



3

x

dx

.



xx

2

1

dx



xx x



2

521

2

3

xx



3

dx

2



x

.

4

x

4

xdx

2

111

3

.

2

.

26

5.3.4 Интегрирование тригонометрических выражений





x



x



x





xt





R

x





x

Для отыскания интегралов вида

sin cos , sin sin , cos cosmx nx dx mx nxdx mx nxdx



используют следующие формулы:

sin cos sin sin ,

mx nx m n x m n x

sin sin cos cos ,

mx nx m n x m n x

cos cos cos cos .

mx nx m n x m n x

При нахождении интегралов вида



возможны следующие случаи:

одно из чисел m или n - нечётное, например

1)

Тогда

mn kn n

cos sin cos sin cos 1 sin sin sin

 

то есть получим интегралы от степенных функций;

использовать формулы, понижающие степень тригонометрических функций:

xdx x x xdx x xd x

оба числа m и n - чётные. Тогда рекомендуется

2)

22

2cos 1 cos 2 ; 2sin 1 cos2 .

1

2

1

2

1

2

mn

cos sin ,

22

xx xR    

 



 



 



xdx m n Z

k



21mk





.

,

Интегралы вида

cos , sin ,Rxxdx



R - рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных

где

t

функций новой переменной

метрической подстановки

В этом случае

1

cos ;

В случае, когда имеет место тождество

для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку

При этом

sin , cos , .

Если тригонометрические функции функции подстановка

R только в чётных степенях, то гораздо быстрее к цели ведёт

tgtx



x



1



xxdx



, при этом

tg

2

t

2

t

cos , sin cos , sin



xxRxx

tdt

22



11

tt

с помощью универсальной тригоно-

.

2

sin ,

xt

tg

t

1



t

1

2

.

sin

2

dt

dxt

1

,

1

и cosx входят в выражение

.

2

t

27

2





x





x



x

22

sin , cos , .

tdt

xxdx



222

111

ttt



1

С помощью этой же подстановки берутся интегралы вида

Решение типовых примеров

5.136

cos 2 1 cos 3 5 cos 6 cos 5 4



5.137

cos sin cos sin sin cos 1 cos cos

 

5.138 Найти

Найти

   

11



210

Найти

73 72 7 2

xdx x x xdx x x d x

79 810

cos cos cos cos cos cos .



cos 2 1 cos 3 5 .





xdx x x dx 

cos 6 6 cos 5 4 5 4

xdx xdx 

 

11

sin 6 sin 5 4 .

 

210

73

cos sin .



dx xdx x xc    

 

2

cos 3 .xdx



xdx

xdx

Решение

1



2

xc 

Решение

11

810



tgRxdx





.

2

cos 3 cos6

 

11 11

212 212

5.139 Найти



1sin cos



Решение

dx dx dx xdx



1sin cos

dx

xx

1cos6 1 1



cos6 6 sin 6 .



dx

sin

cos

 

dx

tg

x

222

xd x x x c  



.

x

Решение

2

x



x

2

t



1



2

1

t



2

1

t



2

1

t



2

dt

2

t



t

1

2

1



21

tt



22

11

tt



dt

2

t



2

28

5.140 Найти

x

xdxx

x



x



3sin 1

dt x





12

ln 1 ln 1 tg .

t



tc c

dx

.



3sin

2



Решение

2

sin

x

dx dt

  

22



dx

xt

tx



tg

t



2



1

t

dt

2



1

t

2

t



3



1

2

t

  





34

5.141 Найти

tg 2 arctg



1111



 





21844



dt t x

12 12tg

2

t

arctg arctg .

23 3 23 3

cc

5

tg 2 .xdx



Решение

tg 2

xt



55

xdx x t t

   

11

221

1

dx



3422

tt dt t t t c

111

tg2 tg2 ln1 tg2

t

2

t



42 2

dt

21

2

t



xxc

ln 1

dt



2

t

.

844

3

23

5.142

5.144

5.146

sin cos .



2

sin 3 .xdx



sin3 sin 5 .



xdx

5.143

5.145

29

5.147

sin

.



2

cos

22

sin cos .



sin 5 cos .

 

xdx





xdx

44

5.148

x



x



x



x

xdxx

x



x





x





x



dx

sin

.

5.149

dx



53cos



.

5.150

5.152

5.154

5.156

5.158

dx



4sin 3cos 5

xx

24

sin cos .



dx



35cos



310

cos sin .



dx



cos sin

xdx

.

xdx

.

3

x

45

.

5.151

5.153

5.155

5.157

5.159

sin cos .

sin 2 cos5 .



22

3sin 5cos

4

sin 3 .xdx

3

sin

3

cos

xdx

dx

x

.

dx

4

.

x

5.160

5.162

5.164

5.166

5.168

5.170

sin

dx

.

x 

sin3





2

xdx

dx

2sin

xdx

dx

.

2

.

t



sin 1



3

32cos3



4.



Указание:

34

cos 2 sin 2 .



22

cos 3 sin 3 .



3

sin 1 3 .



5.161

5.163

5.165

5.167

5.169

5.171

2

sin





1cos

dx



45sin



dx



2

x 



Указание:

sin 7 sin9 .

sin 7 1 sin 5 .

3

ctg 2 .xdx

.

2

.

2

1

tg

t

xdx

xdx

.

30