Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Таким образом,
11
Отсюда
u
1
34
u
n
nn
23
11
u
;
2
45
11
;
, т.е.
u
3
u
n
11
56
11
nn
23
11
;
u
4
;….
67
.
Следовательно,
11111111 1 1 1 1
S
n
34455667 2 33 3
...
nn n
.
11 1
Так как
n
nn
333
n
, то ряд сходится и его сумма
lim lim( )
SS
1
равна
.
3
9.4 Исследовать сходимость ряда
n
34
1
n
1
.
Решение
Сравним этот ряд с рядом
1
(то есть с бесконечно убывающей
n
3
1
n
1
геометрической прогрессией, так как
q
1
), этот ряд сходится.
3
Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда
1
n
3
1
n
следовательно, данный ряд сходится.
9.5 Исследовать сходимость ряда
n
1
n
42 3
1
.
Решение
Сравним этот ряд с рядом
1
(
n
2
1
n
1
,бесконечно убывающая
q
1
2
геометрическая прогрессия). Применим предельный признак сравнения рядов:
n
u
n
lim lim lim
nn n
v
n
Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд
211
n
42 3 4
3
4
n
2
.
1
сходится, то
n
2
n
1
сходится и данный ряд.
111 1 1
9.6 Исследовать сходимость ряда
25811 3 1n
... ...
.
,
131
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом
Воспользуемся предельным признаком сравнения
Следовательно, данный ряд расходится.
9.7 Исследовать сходимость ряда
Решение
Применим признак Даламбера: имеем
110 10
n
Тогда
l
Так как
unn
1
n
lim lim lim 2lim 2
nn n n
un n
n
, то данный ряд расходится.
1l
22 1
10 10
(1)2 (1)
n
9.8 Исследовать сходимость ряда
10 10 10 10 10
234
1! 3! 5! 7 ! (2 1)!
1
(расходится).
n
1
n
un
n
lim lim
nn
22 2 2 2
1234
234
10 10 10 10
n
2
un
n
10
u
,
n
1
vn
n
n
... ...
n
1
n
2
(1)
(1 )
10
n
1
10
n
n
... ...
n
.
1
.
313
.
.
.
Применим признак Даламбера: имеем
u
n
1
Тогда
Так как
9.9
Исследовать сходимость ряда
Здесь удобнее применить радикальный признак Коши, поскольку
11
n
n
u
n
3
lu
n
lim lim lim 1
nn n
ряд сходится.
Решение
n
un
n
111
nnn
10 10 10
nnn
211!221!(21)!
un
1
n
lim lim lim 0
l
nn n
un nn
n
, то данный ряд сходится.
1l
1
n
10 (2 1)! 10
(2 1)!10 2 (2 1)
n
11
n
n
3
1
10
(2 1)!
.
n
n
,
2
n
.
Решение
n
.
111 1
ne
n
n
33 3
nn
, так как
nn
, то данный
1l
132
9.10 Исследовать сходимость ряда
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
nx
ufx
n
nx
,()
22
11
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.
9.11 Записать 4-5 первых членов ряда, по известному общему члену U
32
а)
в)
Un =
Un =
п
;
2
1
п
3
п
;
n
e
1
Un =
д)
(2 1)(2 1)пп
9.12 Написать простейшую формулу n – го члена ряда по указанным
членам
111
1 ...
а)
357
234
1...
в)
248
11 1
1 ...
д)
4916
24 6 8
ж)
5 8 11 14
11 1
1...
и)
12 123 1234
9.13 Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости
рядов
246 2
а)
... ...
357 2 1
в)
д)
ï
n
1
cos
n
1
n
n
(1)
1
;
;
3
510 1
ж)
2 ... ...
827
;
;
;
...
п
2
nn
n
n
n
1
.
2
1
Решение
,
xx
22
xx
12 12
11
;
12 1
dx dx x
Un =
б)
Un =
г)
е)
Un =
1111
б)
2468
11111
г)
12 23 34 45 56
34 5 6
е)
4 9 16 25
111 1
;
з)
.
23 4383163
п
;
1... ...
б)
135 2 1
г)
246 2nn
е)
1
n
3
;
з)
ï
1
21
п
(1)( 2)
пп
22
1
;
2
ln 1
1
;
1
nn
(2 1)3
2
.
!nn
...
;
...
;
35 2 1
49
п
2
п
... ...
1
arctg
;
n
1
sin
n
.
n
.
n.
...
;
...
;
;
;
133
9.14
Найти сумму n – первых членов ряда (Sn), доказать сходимость ря-
да, пользуясь непосредственно определением сходимости и найти сумму ряда S
11 1
а)
23 34 ( 1)( 2)пп
513 3 2
б)
636 6
... ...
пп
... ...
п
;
;
111 1
в)
12 23 34 ( 1)пп
... ...
;
11 1
г)
13 35 2 1 2 1пп
... ...
.
9.15
Исследовать на сходимость по признаку сравнения
11 1 1
а)
13 29 327 3
... ...
п
п
;
111 1
б)
12 23 34 ( 1)пп
... ...
;
111
в)
...
;
ln 2 ln 3 ln 4
11 1
1 ... ...
г)
;
23 п
n
81
д)
n
n
93
1
.
9.16
Исследовать на сходимость, используя признак Даламбера
11 1
1...
а)
25 35 45
23
; б)
248
1...
в)
;
2! 3! 4!
21!
n
д)
n
n
5
1
.
n
24 6 8
...
3 9 27 81
33 3
1 ...
г)
23 2 5 2 7
23
23
;
;
9.17
Исследовать на сходимость, используя радикальный признак Коши
2
n
n
;
;
а)
в)
1
(ln )
1
ï
21
п
1
;
n
n
п
п
1
б)
п
;
г)
ï
n
51
n
n
1
n
sin
2
1
n
134
Коши
д)
n
2
31
n
2
21
n
1
n
.
9.18
Исследовать на сходимость, используя интегральный признак
11 1
1 .... ...
а)
23 п
;
б)
11 1
1 ...
4710
;
11
1 ...
в)
;
33 55
111
д)
2ln 2 3ln 3 4ln 4
222
...
.
Исследовать сходимость рядов:
n
3
9.19
9.21
9.23
9.25
9.27
9.29
9.31
52
1
n
n
1
n
1
3(2 1)
1
n
(2 1)!
1
n
1
n
1
n
.
n
3
2
nn
10
.
n
5
.
n
11
n
5
n
n
2
n
7
.
.
n
2
221
nn
2
321
nn
n
.
3
n
1
arcsin
2
.
n
111
г)
2ln2 3ln3 4ln4
11 1 1
9.20
9.22
9.24
9.26
9.28
234
87 17 17 1
1
n
32
1
n
n
.
n
6
1
n
n
n
n
n
1
1
.
n
n
3!
(3 2)!
n
n
10
n
n
10
9.30
9.32
n
n
n
1
1
1
n
arcsin
...
;
...
.
.
.
2
.
n
n
3
n
.
25
n
11 1 1
9.33
81828 10 2n
n
9.35
n
2
n
1
... ...
.
3
.
9.34
9.36
135
(3 1) ln (3 1)
nn
1
n
(3 2)
n
1
n
1
2
.
1
.
2
9.2 Знакочередующиеся ряды
Определение Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные
знаки, называется знакочередующимся.
Знакочередующийся ряд имеет вид
1
n
где
u
n
для всех
0
nN
.
uuuu u
123 4
... ( 1) ...
Для знакочередующегося ряда имеет место достаточный признак
сходимости, который называют признаком Лейбница.
Признак Лейбница Если в знакочередующемся ряде (9.7) абсолютные
n
, (9.7)
величины членов ряда убывают
uu u
12
стремится к 0 при неограниченном увеличении его номера, то есть
... ...
n
и общий член ряда
lim 0
u
n
n
u
n
то ряд (9.7) сходится, его сумма положительная и не превосходит первого члена
ряда (
0 Su
).
1
Замечание Если хотя бы одно условие признака Лейбница не
выполняется, то ряд расходится.
Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию признака
Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получится, если заменить его
сумму
частичной суммой
S
. Допускаемая при этом погрешность,
S
n
оценивается для знакочередующегося ряда по признаку Лейбница.
При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с
. Но
u
1n
отбрасываемые члены образуют знакочередующийся ряд, сумма которого
меньше первого члена этого ряда, т. е. меньше
Ошибка, совершаемая при замене суммы ряда
, равна
S
n
отброшенных членов ряда, т. е.
rSS
nn
и не превосходит по абсолютной величине первого из
ru
1nn
.
.
u
1n
на частичную сумму
S
Решение типовых примеров
9.37 Исследовать сходимость ряда
11 1 1
... 1 ...
4916
1
nn
2
1
.
,
Вычислить приближенно его сумму, удержав три первых члена ряда, и оценить
погрешность.
Решение
1
Проверим выполнимость условий признака Лейбница, т.к.
un
n
(1)
,
2
11 1
1)
...
4916
136
lim lim 0.
2)
u
n
nn
(1)
n
2
Оба условия выполняются. Следовательно, данный ряд сходится
11 1
1
0,2014
.
Ошибка
SS
3
4916
, получающаяся при замене суммы этого ряда суммой трёх
первых членов, меньше абсолютной величины четвертого члена, то есть
1
u
<
Ответ:
, <
4
=0,04.
25
0,2014S
,
0,04
.
9.38 Вычислить сумму ряда с точностью до 0,01
n
(1)
1
1
1
n
.
2
3
n
Решение
1
lim lim 0
Данный ряд сходится, так как
u
n
nn
,
2
3
n
Так как
ru
nn
Следовательно,
0,01
1
1
3( 1)n
2
3( 1) 10n
5, 7 1n
.
5n
, то найдём n
0.01
,
3( 1) 100n
,
,
2
1
n
4,7n
Значит, это неравенство выполняется, начиная, с
Таким образом,
11111
SS
Ответ:
5
0,333 0,083 0,037 0,021 0,013 0,279.
0, 28S
.
22222
31 32 33 34 35
9.39 а) Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
111 1
1 ... 1 ...
234
1
ï
ï
суммой четырех первых его членов. Найти эту сумму.
б) Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
234
0,1 0,1 0,1
0,1 ...
234
суммой трех первых его членов. Найти эту сумму.
10
,
,
3
.
.
5n
137
Вычислить сумму ряда с точностью до
9.40
9.42
9.44
9.45
( 1) , 0,001
n
1
(1) , 0,1
1
n
1
п
1
111 1
1 ... 1 ...
222
357
1
1
n
2
n
2
n
1
n
n
3
1
1
п
3
п
.
3
.
0,01
,
1
.
nn
9.41
9.43
1
21
(1) , 0,01
1
n
n
0
2
1
1
n
!
n
n
2
,0,1
3
0,01
.
.
.
9.3 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Определение Ряды, члены которых имеют произвольные знаки,
называются знакопеременными рядами.
Пусть
uuu u
123
... ...
n
(9.8)
знакопеременный ряд.
Числа
u
1
, …,
u
2
u
могут быть как положительными, так и
,...
n
,
отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных
членов ряда произвольное.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если для знакопеременного ряда
uuu u
123
составленный из абсолютных величин его членов, т. е.
... ...
n
uu u
12
сходится ряд,
... ...
n
, то
данный знакопеременный ряд также сходится.
Определение Знакопеременный ряд
uuu u
123
... ...
называется
n
абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных
величин его членов
uu u
12
... ...
n
.
На основании достаточного признака сходимости знакопеременного
ряда
всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Определение Знакопеременный ряд
uuu u
123
... ...
называется
n
условно сходящимся (или не абсолютно сходящимся), если он сходится, а ряд
138
uu u
x
12
... ...
n
, составленный из абсолютных величин его членов
расходится.
Решение типовых примеров
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер
сходимости (абсолютная, условная)
9.46
n
1
(1)
5
4
n
n
.
Ряд знакочередующийся, поэтому применим признак Лейбница.
111
1 ...
1)
555
44
234
4
1
lim 0
2)
n
второе условие признака выполнено, значит, ряд
5
4
n
сходится.
Составим ряд из абсолютных величин данного ряда:
111 1
1 ... ...
555 5
44
44
234 n
Этот ряд обобщённо гармонический и при
сходящимся.
Значит, данный ряд сходится абсолютно.
1
n
(1)
10 1
n
.
9.47
n
1
Применим признак Лейбница.
1111
1)
...
первое условие признака выполнено,
11 21 31 41
1
lim 0
2)
n
10 1
n
второе условие признака выполнено, значит, ряд
сходится.
Составим ряд из абсолютных величин данного ряда:
1111 1
11 21 31 41 10 1n
Исследуем этот ряд с помощью интегрального признака Коши:
()
fx
dx d x
xx
10110101 10
11
1(101)1
Решение
первое условие признака выполнено,
.
5
является
p
1
4
Решение
... ...
.
1
,
10 1
x
ln(10 1)
1
.
139
Интеграл расходится, поэтому и ряд расходится.
Значит, данный ряд сходится условно.
1
nn
9.48
1,1 1,01 1,001 ... ( 1) 1 (0,1) ...
.
Решение
Применим признак Лейбница.
1,11,011,001...
1)
первое условие признака выполнено,
lim(1 ) 1
2)
n
расходится.
Выяснить, какие ряды сходятся абсолютно, какие сходятся условно,
какие расходятся
9.49
9.50
9.51
9.52
9.53
1 ... 1 ...
12 3 4
9.54
1! 2! 3! 4! !
1
n
10
35 7 21
22 2 2
11 1 1
22 2
4710
111 1
ln 2 ln3 ln4 ln( 1)
1 ... ( 1) ...
второе условие признака не выполняется. Значит, ряд
23
... 1 ...
п
... 1 ...
... 1 ...
п
п
31
п
1
nn
.
2
.
п
234
234
2! 3! 4! !
111 1
п
п
п
.
п
1
пп
357 21
222 2
... 1 ...
n
1
ï
.
n
.
.
111 1
9.55
... 1 ...
2ln2 3ln3 4ln4 1 ln 1
9.56
9.57
9.58
9.59
9.60
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
n
(1)ln
n
.
n
12
n
(1) ( 1)
(1) 1
(1)
(1)
n
n
2
1
n
1
n
n
1
n
n
5
1
n
21
n
31
n
.
n
n
.
.
.
140
1
n
nn
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]