Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Подынтегральная функция
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение
fx
1
в точке
x
2
1
не ограничена,
1
где
10;2
. Тогда по формуле (6.33) имеем
21 2
dx
xdx xdx
00 1
lim 1 1 lim 1 1
2
1
x
12
00
01
12
xdx xdx
11 11 1
lim lim lim lim 1 .
00 0 0
1111111xx
01
22
1111
22
То есть данный интеграл расходится.
Вычислить несобственные интегралы
6.138
6.140
1
dx
.
4
0
dx
.
2
4
6.139
6.141
20x
edx
2
dx
2
x
.
.
1
6.142
6.144
6.146
6.148
6.150
6.152
1
0
1
2
0
6
2
1
0
dx
2
22
xx
3
4
x
arctg
1
1x
.
dx
.
dx
2
x
dx
.
2
ln
x
dx
3
4
lnxxdx
2
.
.
6.143
6.145
6.147
6.149
.
6.151
6.153
sinxxdx
0
dx
2
x
2
1
dx
3
0
3
dx
x
0
1
5
x
1
2
3
0
x
.
1x
3
dx
.
.
1
.
2
1
.
dx
2
1
61
1 Несобственный интеграл
x
xdxx
x
x
x
x
Тест 6
dx
…
1
2
1
1: расходится; 2:
2 Значение интеграла
2
; 3:
2
cos
2
равно
sin
; 4:
4
2
ln 2 ; 2: ln 4 ; 3:
1:
3 Значение интеграла
1
; 2:
1:
5
0
1
4
1 dxх равно
1
; 3: 1; 4:
2
1ln5
; 4: 1ln2 .
4 Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
cos3
,
равна
34
1:
; 2:
4
3
; 3:
4
2
; 4:
3
Несобственный интеграл
5
1: расходится; 2:
dx
…
5
3
1
1
; 3:
12
4
; 4:
3
3
6 Площадь фигуры ограниченной линиями
xy
0
y
,
,
,
1
2
.
4
1
.
3
.
2
1
;
12
равна
1:
3
; 2:
3
4
1
2
; 3: 2; 4: 1.
3
7 Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = 0, до t = 5, если
скорость точки меняется по закону
2
равен…
123
tttv
1: 115 м; 2: 5м ; 3: 155м; 4: 150м.
8 Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной
кривой
1 xy
и прямой
y
12
, равен
1:
8
куб.ед.; 2:
3
куб.ед; 3:
3
62
4
куб.ед ; 4:
3
куб.ед.
2
9 Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной
x
части фигуры, изображенной на чертеже?
1:
3:
2
2
3
2
3
)]1()5[( dxxx
; 2:
2
)]5()1[( dxxx
; 4:
2
3
2
3
2
)]5()1[( dxxx
;
2
)]5()1[( dxxx
.
10 Пусть кривая АВ задана уравнением y=f(x), где f(x) –непрерывная функция,
имеющая непрерывную первую производную во всех точках сегмента [a, b].
Тогда дуга АВ имеет длину, равную…
22
1:
lxydt
; 2:
11 Несобственный интеграл
22
ld
1
dx
…
; 3:
b
lfxdx
a
2
1
;
1: 2; 2: -2; 3: 1; 4: расходится.
12 Объем тела образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной
32
)2( xy
кривой
и прямой х = -1 равен
1:
; 2:
2
13 Вычисление интеграла
1: расходится; 2: -1; 3: 0; 4:
; 3:
4
2
dxxtgI
0
приводит к следующему результату
; 4: .
3
.
14 Работа, затраченная на растяжение пружины на 0,05м, если сила 100Н
растягивает пружину на 0,01м, равна…
1: 12,5 Дж; 2: 1,25 Дж; 3: 0,25 Дж; 4: 125 Дж.
63
6.6
6.14
6.20
6.26
6.31
6.7
20
5
2
6.15
8
7
6.21
6ln2
3
4
e
33
22ln2
Ответы к главе 6
7ln2
6.8
31e
14
ln 4
6.16
3
2
6.22 1 6.23 ln 2 6.24
3
125
6.27
6.32 2ln2 6.33
21 ln2
6.9
7
2
4
6.28
17
6.34
6
1
6.10 1 6.11
2
6.17
3
66arctg2
3
6.35
ln
4
6.12
6
2
6.18 1 6.19
3
728
6.25
6561
3
6.29
2
160
ln
6.36
27
100
6.13
3
2
23ee
25 2
3
6.30
4
7
3
7
1
3
22
4
6.37
23
6.38
3
23 3
6.43
6.44
12
6.47
чётности функции)
32
кв ед
3
8
..
кв ед
3
1..e кв ед
6.72
1e 6.48
4
..
6.59
3
5
6.64
кв ед
6
6.68
e
65
кв ед
..
6.73
3
3
2
a
6.77
6.78
8
256
6.83
..
куб ед
6.84
15
3
6.87
куб ед
6.88
..
10
6.91
2
baкуб ед
..
6.92
2
3
1
6.39
3
ln 2
2
1
e
6.51 0 (используя свойство нечётности функции) 6.58
..
кв ед
..
9
кв ед
2
6.49
2
6.60
6.65
..
3
1
2
6.45
12 . .кв ед
6.690
2
..
a кв ед
22
ln 3 ln 2
943
2
e
2
6.61
9..кв ед
7
..
кв ед
6
6.74
6.40
36 2 2
1
6.50
4..
6.66
6.70
..ab кв ед
ee
13
ln
1
кв ед
2
3
ln 2 . .
2
6.75 6 6.76
6.41
6.46
2
6.62
14
3
2
(используя свойство
1
4ln4 . .кв ед
ln 4 . .
кв ед
кв ед
6.71
8
4
32
3
..
a кв ед
2
e
6.79
1
..
куб ед
2
a
кв ед
4
6.85
..
6.80
12 . .куб ед
5
2
21..
a кв ед
6.86
8
2
2
4
35
755
18
куб ед
..
куб ед
6.89
..
6.93
8
96
5
..
куб ед
..
куб ед
6.90
21
6.94
2ee
6.42 1
1
6.67
8
кв ед
9
473
34
2
1
e
куб ед
4
..куб ед
2
..
куб ед
6.63
..
..
64
6.95
Д
Д
6.99
6.106
6.112
6.117
6.123
6.129
512
куб ед
15
6
..
куб ед
42 2
3
72 6.113
8 6.118
4
19 19 13 13
3
32 м
6.130
..
6.96
6.100
6.107 8 6.108
22
6.120
6a
куб ед
2
32
куб ед
5
448
3
61
1728
6.124
136 м
6.131
6.97
..
..
6.104
1
2
кв ед
64
ln 3
6.114 a 6.115 8a 6.116
..
3
2
27 . .куб ед
8
10 1
27
6.109 12 6.110
6.121
..
кв ед
ж
3..кв ед
6.127
6.132
6.98
6.105
6.122
10 ; 1 /ммс
10 см
1
2ln1 2
2
2
21e
6.133
2
9
6.128
2..куб ед
6.111
233
a
8
17 17 1
0,18
37,5 м
ж
5
6.138
6.144
6.149
1
6.139
3
расходится 6.145 расходится 6.146
расходится 6.150
1
6.140
3
4
3
62
6.141 6.142 6.143 расходится
6.151
10
6.152
7
2
6.147
8
3
6.148
2
1
6.153 6.
4
1
ln 2
65
Глава 7 Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением
независимую переменную, искомую функцию и её производные
(дифференциалы).
В общем виде дифференциальное уравнение записывается следующим
n
образом:
дифференциальное уравнение называется
переменных две или больше, то уравнение называется
уравнением в частных производных.
старшей производной, входящей в уравнение. Например:
ln 1yxxyy
порядка.
дифференцируемая функция
Fxyyy y
Если искомая функция зависит от одной переменной, то
Порядком дифференциального уравнения
23 4
Решением дифференциального уравнения называется такая
- обыкновенное дифференциальное уравнение второго
,, , , , 0
, или
yx
называется уравнение, связывающее
nn
yfxyyyy
обыкновенным, если же независимых
, которая при подстановке в уравнение
,, , , ,
дифференциальным
называется порядок
1
.
вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Операцию нахождения
решения дифференциального уравнения называют
дифференциального уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
7.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и её производную (дифференциал)
первого порядка.
В общем виде его можно записать:
dy
dx
вид:
,, 0Fxyy
Если это уравнение можно разрешить относительно
Например:
,yfxy
.
2
или ,, 0
ln 0xy y x
- обыкновенное дифференциальное
Fxy
интегрированием
.
, то оно примет
y
уравнение первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
,yxc
называется функция
1)
функция
при любом конкретном значении с;
, которая удовлетворяет условиям:
,yxc
удовлетворяет дифференциальному уравнению
66
2) каково бы ни было начальное условие
x
f
f
найти такое значение
начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения называется любая
cc
, что функция
0
yy
,yxc
0
при
0
удовлетворяет данному
x
0
можно
функция
произвольной постоянной придать определённое значение
Решение дифференциального уравнения, которое не может быть
получено из общего решения ни при одном численном значении произвольной
постоянной с, включая
Геометрически графиком общего решения является семейство
интегральных кривых.
Графиком частного решения является одна интегральная кривая этого
семейства, проходящая через данную точку
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет
вид:
Если ни одна из функций
тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на
,yxc
, которая получается из общего решения
0
, называется особым решением.
,xy
00
11 2 2
,,,
xfx y y
12 1 2
.
0fx ydx fx ydy
.
cc
.
0
,yxc
не равна
, если
xy
21
Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
которое определяет решение исходного уравнения.
называют
переменными. Представим производную в виде отношения дифференциалов и
умножим обе части уравнения на
оно приводится к виду:
fx y
12
fx y
21
fx y
12
fx y
21
Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме,
интегралом этого уравнения.
Решение типовых примеров
7.1 Решить уравнение
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися
dx
dx dy
dx dy c
tg 1yxy
Решение
:
0
.
.
,
tg 1dy x y dx
Теперь разделим обе части равенства на множитель
67
.
1y
:
dy
x
x
xy
x
tg
dx
.
1
y
Интегрируя обе части равенства, получим
dy
tg
dx c
1
y
ln 1 ln cosyxc
7.2 Найти частное решение дифференциального уравнения
2
10xdy ydx
Разделим обе части уравнения на произведение
при начальном условии
ln 1 ln cosyxc
- общий интеграл дифференциального уравнения.
11y
Решение
.
.
1
dy dx
0
деления получим уравнение
Интегрируем обе части уравнения:
1
yx
.
2
dy dx
yx
Это и есть общий интеграл дифференциального уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдём произвольную
постоянную с.
1
, или
2
ln arctgyxc
2
.
. В результате
ln1 arctg1 c
Следовательно,
откуда получаем искомое частное решение
7.3 Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе
пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
Найти зависимость температуры тела Т от времени t, если за 10 минут
температура тела снизилась от 100
постоянной и равнялась 20
ln arctg
yx
0
С.
, то есть
,
4
ye
0
до 600, а температура воздуха была
Решение
c
4
.
4
arctg
.
dT
Скорость охлаждения тела температуры Т есть
, где Т и t
dt
связаны дифференциальным уравнением
Проинтегрировав обе части, получим
ln 20 ln , 20
TktcTce
dT
kT
dt
20
или
kt
.
dT
T
20
kdt
.
Это будет общим решением дифференциального уравнения.
68
Найдём значение с по заданным начальным условиям. Подставляя в
x
x
f
общее решение
Следовательно,
Коэффициент
стала равной 60
Откуда
Следовательно, температура тела в данной задаче зависит от времени по закону
0,1 ln 2 0,07
20 80 20 80
Te e
.
tt
и
0t
20 80
Te .
найдём из условия, что при
k
0
, то есть
60 20 80
10 ln ln 2; 0,1ln 2 0,07.
kk
0
100T , получим 0100 20 ce
kt
10
k
e , или
1
2
Однородные уравнения
, то есть
10
k
e
.
80c
мин, температура тела
10t
1
.
2
Функция
измерения, если при умножении переменной
t
значение функции не изменяется.
Дифференциальное уравнение
если функция
Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к
y
виду
разделяющимися переменными подстановкой
где
Дифференцируя равенство
y
Однородное уравнение можно привести к уравнению с
u - новая функция,
,fxy
.
,fxy
является однородной функцией нулевого измерения.
называется однородной функцией нулевого
,
uux
.
yxu
yxu
, получим
dy du
ux
dx dx
Функция
,fxy
называется однородной функцией n-го измерения,
и y на произвольный параметр
,yfxy
называется однородным,
.
t
если для любого
Дифференциальное уравнение первого порядка
будет однородным, если коэффициенты при дифференциалах
функции
же измерения.
справедливо равенство
txty t f x y
,,0Mxydx Nxydy
,Mxy
и
,Nxy
являются однородными функциями одного и того
69
n
.
,,
и dy, то есть
dx
Решение типовых примеров
M
x
x
x
x
x
x
7.4 Решить уравнение
,
Функции
и того же измерения (второго). Следовательно, данное уравнение однородное.
xy x y
22
22
Решение
и
,Nxy xy
0x y dx xydy
.
являются функциями одного
Положим
Преобразуем уравнение к виду
dy x y
yxu
22
и
.
yuxu
, где
uux
dx xy
Подставим в данное уравнение
y
и
y
1
uu u
u
1
xu
u
1du
x
dx u
dx
udu
Интегрируя данное равенство, получим:
2
u
2
ux
ln ln
2
ln
.
c
2
c
.
2
,yfxy
:
.
.
22 2
Так как
y
u
, то
yc c
ln ; ln
22 2
xx
22
yx
c
yx
7.5
7.7
7.9
7.11
2ln
- общее решение дифференциального уравнения.
Решить дифференциальные уравнения:
2
10y dx xydy
21St dS t dt
yy xy
22
21ctg,
.
0, (0) 0xxyyyxy у
.
42
70
7.6
.
7.8
7.10
1
.
7.12
2
2
22
2
40ху dx ydy
0xy y
.
0dr r a dy
.
0, ( 1) 1xy y y
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]