Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

9.4 Функциональные ряды



x



x



xD

R



x



















Определение Ряд, членами которого являются функции от х,

называется функциональным:



() () () ... () ...

Совокупность тех значений сходится, называется

ux ux ux ux



nn



1

n

областью сходимости этого ряда. Областью сходимости



12

(9.9)

, при которых функциональный ряд

функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси Оx.

Частичная сумма функционального ряда, т. е. сумма первых членов, является функцией переменной

:

n его

() () () ... ()

Sx ux ux ux

nn



12

(9.10)

В любой точке существует предел частичной суммы (9.10) при

из области сходимости функционального ряда (10.9)

n . В точках, не

принадлежащих области сходимости функционального ряда частичная сумма

не имеет предела. Сумма функционального ряда является некоторой

()

Sx

n

функцией от

Разность

, определенной в области сходимости ряда:

() lim (),

Sx S x

() () ()

xSxSx

nn

n



называется остатком функционального

n

(9.11)



ряда.



Определение Функциональный ряд





n

1

()

ux

n

называется равномерно

сходящимся в области D, к функции

Sx

, если для любого



такое число N, что для всех n>N и для всех

n

() ()

неравенство

ux Sx



k

1





или

() () ()

Rx Sx Sx

nn



Признак Вейерштрасса

знакоположительный числовой ряд

то ряд

(достаточный признак равномерной сходимости)



,a

Если для ряда



()





n

1

ux

сходится на отрезке

n

()

ux



n



1

n

ux C

на отрезке



C

, удовлетворяющий условию

n



1

n

()

nn

(

,ab

1, 2,...n

равномерно.

b

существует сходящийся

),

найдётся

0

справедливо

D

.

141

Решение типовых примеров

x







x













x



x



x

Найти область сходимости рядов

9.61



n

Решение

По радикальному признаку Коши имеем:

2

nn

11

nn



   

n

nn

lim lim lim .

nnn

 

  

n

 

xxnx

11

1

n



 



n



n

x

1



ne



 



2

n

.

n

так как

Ряд будет сходиться при

2

0

 , то

22

0ex . Ряд сходится при

2

e

1,

следовательно,

x

e

10



2

x

;;xee

   

 

22

ex

,

.



2

x

9.62 Исследовать на равномерную сходимость

11 1

sin sin 2 sin 3 ... sin ...

xxx nx

23

22 2

 

n

.

Решение

;

Область определения



. Сравним данный ряд с числовым



11 1

знакоположительным рядом

гармонический ряд, при

21p 

1 ... ...

он сходится. Так как



22 2

23 n

- это обобщённо

n

sin 1

nx

22

nn



, то по

признаку Вейерштрасса данный ряд равномерно сходится на всей оси Ох.

Найти область сходимости рядов

9.63

9.65

9.67

9.69

9.71



1



n









n





n







n







n



1

.

lg

n

1





.

n

2

n

.

n

ln 1



n

tg

x

2



.

n

2

9.64

9.66

9.68

9.70









n

1





сosnx



nn

1n





n

nx

2

n

1





!

n

1



1

n



.

ne

nx

.

1

.

0

,

142

Исследовать на равномерную сходимость.





x

xx

x



x









x





9.72

9.74

9.76

соsnx



1

n





e





1nxn





1



n

nx

.

2

n

22



.

2

n

sin

nx

22



4



9.73

9.75

.

n

2

9.77

xx nx

sin sin2 sin

1! 2! !



sin

nx



n





1

.

n

2



22

1



n

nn x



ln 4

... ...

 

n

1

.

n



2

.

9.5 Степенные ряды

Определение Степенным рядом называется ряд вида



Числа

. Ряд (9.12) разложен по степеням x. Рассматриваются также степенные

R

, …,

,a

a

0

1

ax a ax ax ax



nn

0

n



, … называются коэффициентами степенного ряда,

a

n

ряды, разложенные по степеням

где



() ()()...()...

ax x a ax x ax x ax x



nn

0

n



- некоторое постоянное число.

0

nn



00102 0 0

Ряд (9.13) легко приводится к виду (9.12), если положить

nn

()

  

01 2

, то есть ряд вида

0

2

... ...

2

(9.12)

, (9.13)

xz

0

Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (9.12).

Основное свойство степенных рядов:

Теорема Абеля

Если степенной ряд (9.12) сходится при притом абсолютно для всех

(9.12) расходится при

условию

xx 

.

1

x

1

, удовлетворяющих условию

, то он расходится при всех x, удовлетворяющих

, то он сходится и

0xx

0

. Если ряд

x

0

.

Из теоремы Абеля следует, что

ряда, то интервал

и называется

интервалом сходимости степенного ряда. Положив

(;)

x

00

весь состоит из точек сходимости степенного ряда

интервал сходимости можно записать в виде

есть точка сходимости степенного

0x

0

;RR

. Число R называют

R

0

,

радиусом сходимости степенного ряда, то есть R>0 - это такое число, что при

всех

, для которых

R

, ряд (9.12) абсолютно сходится, а при

R

ряд

расходится.

В частности, когда ряд (9.12) сходится лишь в одной точке считаем, что

; 



, то в этом случае R .

. Если же ряд (9.12) сходится во всех точках числовой оси

0R 

143

, то

0x

0

xR

при

x



x



x



R

x



Отметим, что на концах интервала сходимости (то есть при

) сходимость ряда проверяется отдельно.

R

и



Радиус сходимости степенного ряда (9.12) находим по формулам:

a

R

lim



n



n

, (9.14)

a

1

n

1

R

 . (9.15)

lim



n

a

n

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (9.12) можно использовать непосредственно признак Даламбера, в редких случаях признак Коши, для ряда составленного из абсолютных величин членов исходного ряда.

Замечания

1.Интервал сходимости степенного ряда (9.13) находят из неравенства

xR

0

и он имеет вид



2. Если степенной ряд содержит не все степени

;

Rx R

00

.

, т.е. задан неполный

степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяют признак Даламбера (или признак Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Свойства степенных рядов

1. Сумма

в интервале сходимости

Если радиус сходимости ряда отличен от нуля, то степенной ряд

2.

()Sx

степенного ряда (9.12) является непрерывной функцией

;

R



.

можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз внутри интервала сходимости. При этом интервал сходимости не изменяется.

Внутри интервала сходимости ряды можно складывать, вычитать,

3.

умножать, делить, умножать на число. Интервал сходимости должен быть одинаковым.

Решение типовых примеров

nn



9.78 Найти область сходимости степенного ряда



3

.

!

n

1



Решение

n

3

Воспользуемся формулой (9.14).

n

3( 1)!1 ( 1)!1

nn

lim lim lim( 1)

Rn

   

  

nnn

nn



1



n

!3 3 ! 3

a

n

!

.

Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

144

9.79 Найти область сходимости степенного ряда



x



x







x



x

357 21

xxx x

 

x

... 1 ...



1

n



357 21

Решение

Заданный ряд не полный. Воспользуемся признаком Даламбера.

21 21

nn



uu

uxn n

n



lim lim lim

nn n

  

1



unx n

n

Ряд абсолютно сходится, если

xx



nn

21 21

,

nn

21

n



21 21





1



n



21

22

2

поведение ряда на концах интервала сходимости.

111

При

x      

, сходится по признаку Лейбница.

1, 1 . ..

357

111

При

x 

, тоже сходится по признаку Лейбница.

1, 1 . ..

357

Следовательно, областью сходимости является отрезок

n



n



1

или

.

,

x

11



.

. Исследуем

1; 1



.



(3)

x

9.80 Найти область сходимости степенного ряда



n



n



1



Решение

Находим радиус сходимости ряда по формуле (9.14)

lim : lim 3

R

 

nn

11



nnn

 

3(1)3 3

nn n

Следовательно, ряд сходится при

11 (1)3

nn

31



 

nn

31

. Это гармонический ряд – расходится.

nn

При



0, 3



x



6, 3





nn

11





11

nn



n

333



. Сходится по признаку Лейбница.

n



.

, то есть при

Следовательно, областью сходимости является интервал

Найти область сходимости степенных рядов

9.81

9.82

9.83







n

1



1...

  

32 3 3 3 4

1...

  

33

1

n



1



xx x



24 8

xx x

2

n

nx

.

23

22 23

53 73

.

n

.

1



n

3

06



0;6

.





.

145

9.84

x





x





R

x

9.85

9.86

n





n



n

1 3 ... 1 3 ...

.

!

n

1



1

n







1

 



x



.

n

11

nn

xn x





.

9.87

9.88

9.89

9.90

9.91

9.92

9.93

321

xx

x

 

33! 2 1 2 1!

xx

 

x

20 10









n



1





 



1

n



1...

x

   



4...

x

   



... 1 ...





2

... ...



n

1

n



1

n

2

nn

12



x



x

n

111

xxx





24 34 44

 

444

xxx





1

n



nn



n

1

n



n

.

2

.

234



23

234



n



.

234

1( 1) ( 1)

xx x 

22 2

23



23

...

.

9.6 Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию степенной ряд, т. е. функцию

Если функцию окрестности точки

производные

0

()fx

представлять в виде суммы степенного ряда.

()fx

- любая функция, имеющая в некоторой

(1)n

-го порядка включительно,

справедлива формула Тейлора:



n

() 0,

Rx n

n

где

() ()

fx fx

  

()() () ()

fx fx x x x x

(1)

n



()

() ( ) (; )

n

fc

xxxcxx



(1)!

n



00 0



  

1

n



00

1! 2!

n

()

fx

0

()(),

xx Rx

!

n

0

- остаточный член в форме Лагранжа.

Если для некоторого значения формула Тейлора преобразуется для этого значения

()fx

разлагать в

2



(9.16)

, то в пределе

в ряд Тейлора:

146



  



x

f











()() () ()

fx fx x x x x

  

Если в ряде Тейлора положить

   

( ) (0)

fx f x x x

Этот ряд называется рядом Маклорена функции

Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора

Если в некотором интервале, содержащем точку

выполняется неравенство

() ()

fx fx

00 0



00

1! 2!

n

()

fx

0

( ) ....

xx

!

n



(0) (0) (0)

ff f

0

1! 2! !

n



()

xM, где M - положительная постоянная, то



2



(9.17)

n

, то получим ряд Маклорена:

0x

()

2

n

(9.18)

n

()fx

.

, при любом n

0

lim 0

R

n

Некоторые примеры разложения в ряд Маклорена следующих функций:

arctg ( 1) 1;1

и функция разложима в ряд Тейлора.

23

x

1(;)

ex x

      

xx x

2! 3! !

35 21

xx x

sin ( 1) ;

     

xx x



3! 5! (2 1)!

24 22

xx

cos 1 ( 1) ;

xx x

     



2! 4! (2 2)!

234

ln(1 ) ( 1) ( 1;1]

     

xx x

xxx x

234

35 21

     

xx x

35 21

35 7

113 135

arcsin ...

xx

     

xx x

23 245 2467

(2 1)!!

nx

... ..., [ 1;1];

   



(2 )!! 2 1

nn

n

; (9.19)

n

1

n



1

n







n



n





n



n



1

; (9.20)

; (9.21)

; (9.22)

n







1



n



; (9.23)



n



21

(9.24)

x





m n

  

(1 ) 1

xx x x

mmm mm mn

1! 2! !

(1) (1)( 1)

2





n

1;1 , 0



m



1

1 ... ... ( 1;1)

xx x x x

      

1

x



xm

23

(1;1],1 0



(1;1), 1





n

m

; (9.25)



. (9.26)

147

Решение типовых примеров

x



x



x



x



x

9.94 Разложить в ряд по степеням

функцию

fx

Решение

Найдём значения функции и её производных при

() 2, (0) 1,

fx f



() 2ln2, (0) ln2,

fx f

 

() 2ln2, (0) ln2,

fx f

x



x



22

x



........................................................,

() ()

nxn n n

() 2ln2, (0) ln2,

fx f



() 2

:

0

.

Так как

n



() 2

fx для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в

0ln21

, то при фиксированном х имеет место неравенство

виде суммы ряда Маклорена:

22 33

ln 2 ln 2

x

21 ln2 ... (;)

xx    

xx

2! 3!

Это решение можно получить иначе: достаточно в разложении

23

x

1

ex

     

xx x

2! 3! !

заменить х на

, так как

ln 2

n

x

ln 2 ln 2

xx

2

ee



.

2

()

fx

9.95 Разложить в ряд по степеням

функцию



.

3



Решение

Воспользуемся формулой (9.26). Так как

2221

 

()

fx

x



33

3(1 ) 1

,

x



33

то заменив х на

получим:

3

22



33333

x



xx x

  

1...



 

23

   

 

,

или

где

11

 

,

222 2 2

xx x

  

3 3 33 33 33

x



2

... ...

2

n

,

3

то есть

33

 

.

148

9.96 Разложить в ряд по степеням

x

f

x



x

f

x

f

x



x

f

x



f



f

функцию

Это разложение справедливо, как и в случае

В итоге получим:

9.97 Разложить в ряд по степеням

функцию

Решение

1

() cos (1 cos2)

xx x

2

, поэтому достаточно разложить в ряд

2

cos 2

, заменив в формуле (9.21) х на 2х:

22 44 66

222

cos 2 1 , ( ; )

xx    

xxx

2! 4! 6!

cos

x

12 2 2

   

22!4! (2)!

     



22!4! (2)!





2...(1)...

 



122 2

2

cos 1 1 ... ( 1) ...

22 2

1 ... ( 1) ...

    

2! 4! (2 )!

22 44 2 2

xx x

22 44 2 2

xx x

n

nn

n

234 212

xx x

nn

n



n

функцию

() cos

xx

2

.

, для всех x.

nn

n

x

() sin

xe x





.

Решение

Ряд для функции и абсолютно сходится на всей числовой прямой. Ряд для функции



e

получается из ряда для функции

e заменой х на -х

также

sin

абсолютно сходится на всей числовой прямой. Поэтому, чтобы получить

x

() sin

разложение функции

xe x

сходящиеся ряды для функций

x



sin 1 ... ... ...

ex x xxx x



         



1! 2! 3! 3! 5! 6 40



23 35

xx x x x





в ряд, достаточно перемножить абсолютно

e

и

sin

.

13

23 5

Полученный ряд, по свойству сходящихся рядов, сходится на всей

x

числовой прямой к функции

() sin

xe x





.

1

9.98 Разложить функцию ряд Тейлора

()fx

по степеням (х+2).

Разложить функцию ряд Тейлора, взяв три члена разложения

9.99

9.100

() sin

xx

()

fxx

по степеням

2

x

по степеням х.

45





x



 

.

2

x



() 2cos

xx x

9.101



2



2



по степеням х.

149

9.102

f







f

x

xx



R

x



f



f

fx

()

x



2

xx



32

по степеням х.

9.103

() ln(1 6 )

xxx

2

по степеням х.

ynx

y 



в ряд Тейлора в окрестности точки

1

xx

4

.

sin

2

в ряд Тейлора в окрестности

9.104

х=1 (при х

9.105 Разложить в ряд Маклорена функцию

9.106 Разложить функцию

Разложить функцию

=1).

0

точки х = 0.

9.7 Некоторые приложения степенных рядов

9.7.1 Вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции

()fx

при

с

1

заданной точностью. Предположим, что эту функцию можно разложить в степенной ряд:

(;)

1

.

RR

Тогда

( ) ( ) ... ( ) ...

fx a ax x ax x

( ) ( ) ... ( ) ...

fx a ax x a x x    

10110 10



01 0 0

n

на интервале

n

. Взяв достаточное

(;)

R

и

число первых членов ряда, получим

() ( )... ( )

xSxaaxx axx

110110 10



nn

n

Абсолютная погрешность этого приближенного равенства, то есть

() ()

xSx

11

( ) ( ) ( ) ...

rx a x x a x x

1110 210

nn n

n



точностью

() () ()

fx S x rx

11 1

nn

равно модулю остатка ряда

12

nn



, нужно взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы

0

.

Чтобы вычислить значение

Оценить погрешность можно с помощью остаточного члена ряда

()fx

Тейлора. Если функция

разложена в степенной ряд, то этот ряд является

ее рядом Тейлора (или Маклорена). В этом случае

(1)

n



()

fc

(1)!

n



где

() () () ( ) ,

fx S x R x x x

(),cx x x

010

  

11 1 10

01

nn

.

В зависимости от конкретного случая применяется тот или иной метод оценки остатка ряда (или оценки погрешности).

150

() () (),

xSx rx

 

11 1

nn

n



1

где

с

()

x

1