Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Тогда
I
I
I
tkt ktt ktt
2
sin 1 sin 1
I
I
mk
m
kt kt
11
kk
2
0
cos cos cos cos .
1
CI
kmk
2
1
k
cos
2
I
m
k
2
.
2
1
k
1 sin cos cos sin 1 sin cos cos sin
k kt t kt t k kt t kt t
I
m
2. Вычисляем амплитуды гармонических составляющих тока, положив
1, 2 , 3.k
При
1k
cos
20
I
CI
m
1
1
m
k
2
11 0
получаем неопределённость. Для раскрытия этой неопределённости
воспользуемся правилом Лопиталя:
d
cos
22
II
dk
CI
m
1
1
mm
d
k
2
2
1
k
22
sin
2
k
.
k
dk
Так как
При
2k
, то
1k
I
m
1
m
и
2
16,2
.
8,1
m
1
2
A
2
;
0
cos 2
I
m
m
3
212
mm
2
41 33,14
2
I
m
cos 4
16 1 3 5
;3,42.
cos3
2
0.
91
2
I
;
При
При
CI I A
2216,2
2
mm
2 2
3k
CI
3
4k
CI
m
4
4
1216,2
IA
m
4
35 3,14
161
0,686 .
В результате записываем общую формулу для определения
f
x
x
f
коэффициента
Таким образом, уравнение для тока во вторичной цепи трансформатора
при однополупериодном выпрямлении будет:
C
для
k
2, 4, 6,...k
CI
kmk
в виде
2
I
m
kk
k
2
1
11
.
5,15 8,1cos 3,42cos4 0,686cos 4 ... .itttA
2
Вывод Формулы Фурье позволяют выполнить разложение
несинусоидальной кривой в ряд Фурье аналитически, если задан закон её
изменения.
9.123 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
fx
9.124 Разложить функцию с периодом
fx
9.125 Разложить в ряд функцию с периодом
равенством
,0
fx x
,0
xx
1
,0,
2
1, 0 .
2
x
x
с периодом
x
x
.
2T
в ряд Фурье
2T
.
, определенную
2T
4
9.126 Разложить в ряд Фурье функцию
,2
T
9.127 Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1 на отрезке
периодом
9.128
9.129 Разложить функцию в ряд Фурье
9.130 Разложить функцию f(x)=x в ряд Фурье по косинусам, если
функция задана на интервале [0;1],
, если
2T
()
fx
.
xfx
x
,
2
0,
x
x
.
,
.
2Tl
xx
fx
,2fx fx T
0, 1 0,
1, 0 1,
на отрезке
0
.
x
x
с
.
2Tl
162
9.131 Разложить функцию f(x)=x в ряд Фурье по синусам, если функция
F
f
задана на интервале [0;1],
9.132 Разложить функцию f(x)= 2x-3 на отрезке (5;9) в ряд по
косинусам.
,0,
xx
10.133
fx
0, 0 ,
.
2Tl
x
.
2T
9.134
fx
0, 1 0,
1
,0 1,
2
x
x
.
2T
9.135 Необходимо разложить в гармонический ряд функцию,
представляющую собой последовательность прямоугольных импульсов
напряжения (рисунок 5).
t
U
m
2
t
Рисунок 5
9.136 Напряжение на выходе генератора линейного напряжения имеет
вид (рисунок 6)
t
a
m
0
2
t
Рисунок 6
Разложить кривую напряжения в ряд Фурье.
163
Тест 9
f
1 Рядом называется выражение вида…
6
7
... ...
; 4:
n
...
n
п
2
п
; 2:
...
12
; 2:
1
; 2: ...
n
21
n
n
; 4:
3
n
uuu u
123
,,,...,
uuu u
123
cos
п
1
5
2
8
(1)
x
3
n
1
...
n
1
; 3:
n
10
...
27
n
.
n
n
.
n
;
; 4:
1
n
2
1
3
n
2
n
lim
x
n
1
; 4:
;
1
u
1
n
равен…
u
n
1
1
n
12
n
7
.
5
5
3
9
4
n
следует
...
п
12
2
п
uuu u
1:
123
, , ,..., ,...
uuu u
3.
123
2 Знакоположительный ряд будет сходится, если
1: 1.2; 2: 0.7; 3.
3 Выбрать ряд для которого выполняется необходимое условие сходимости
ряда…
1:
5
3
4
2
4 Какой из данных рядов является степенным рядом?
n
n
1
1
arctg
(1)
1:
3:
5 Для исследования сходимости числового ряда
применить:
1: признаки сравнения; 2: признак Даламбера;
...
.
3: радикальный признак Коши; 4: интегральный признак Коши.
6 Ряд Тейлора произвольной функции
)(x
в окрестности точки
вид:
)(
n
)(
x
f
0
n
)(
n
)(
x
f
fxxxfxxxfxf
f
0
!
n
n
)(2
n
!
)(
n
x
)(
0
n
;
...)(
xx
0
n
;
...)(
xx
0
n
;
...)()(...)()()()()
xxx
00
n
xx
...)(
0
.
1:
2:
3:
4:
)(
xf
)
(
xf
0
)
(
xf
0
(
0
xf
)
(
0
0
1
)(
xf
0
!1
!1
xf
)(
0
xx
0
xx
0
xx
0
)(
xf
)(
0
2
)(
xf
)(
0
!2
!2
)(
xf
)(
0
2
xx
xx
0000
xx
0
...)(
0
2
...)(
0
2
...)(
164
xx
имеет
0
7 Степенным рядом называют ряд вида:
1:
a
2:
0
a
3:
0
a a xx a xx a xx
4:
(
10
a
1
(
xx
a
1
(
xx
() ()... ()...
)
0
)
(
0
(
)
0
(
2
a
2
2
)
xx
0
a
2
...
)
xx
0
xx
0
...
(
a
(
a
n
xx
n
xx
0
2
01 0 2 0 0
(...)
axxaxxaa
n
...
n
)
0
...
;
)
n
0
;
;
...)
n
.
8 Необходимый признак сходимости числового ряда
в виде:
1:
lim 0
n
u
n
; 2:
lim 0
u
n
n
; 3:
lim 0
u
n
n
; 4:
9 Какой из данных рядов сходится условно?
1:
21
1
n
n
; 2:
3
n
n
(1)
1
21
n
n
n
3
; 3:
n
(1)
1
21
n
n
3
n
32
п
10 Четвертый член ряда
1:
4
; 2:
5
7
10
n
1
равен…
2
1
п
; 3:
13
; 4:
26
1
n
11 Найти сумму ряда
1
1:
; 2: 2; 3: -2; 4:
n
()
1
3
2
12
Какой ряд называется гармоническим?
111 1
1 ... ...
1:
248 2
111 1
3:
246 2
... ...
n
; 2:
1
n
; 4:
11 1
1 ... ...
23
11 1
1... ...
35 2 1
;
n
n
u записывается
n
1n
lim 0
u
n
n
(1)3
; 4:
n
1
10
.
17
1
.
2
.
nn
.
.
165
13 Ряд называется сходящимся, если:
x
f
х
х
х
х
x
х
х
х
х
x
1: последовательность его частичных сумм имеет конечный или
бесконечный предел;
2: предел общего члена равен нулю;
3: последовательность его частичных сумм имеет конечный предел;
4:последовательность его частичных сумм является бесконечно большой.
35 7
1...
14 Общий член ряда
имеет вид…
4916
21
п
1:
п
2
п
; 2.
u
15 Дана функция
u
()
xe
п
3
21
п
п
1
2
п
; 3:
u
п
п
1
21
п
1
2
п
; 4:
u
п
1
, тогда первые три (отличные от нуля) члена
21
1
п
разложения этой функции ряд Маклорена имеют вид…
1.
13 9
2
х +…; 2:
13
9
2
х
2
+…; 3:
13
9
2
х
2
+…; 4:
13 9
х +…
2
16 Из данных рядов выбрать сходящийся ряд…
1:
n
2
; 2:
4
n
1
; 3:
n
11n
n
5
; 4:
n
1
n
1
.
1
n
1
17 Какой из приведенных рядов сходится при любых значениях
1
п
1
n
21
21
п
; 4:
1:
п
1
!
п
п
2
2
п
; 2:
п
1
п
; 3:
!
п
1
п
1
п
.
п
3
п
.
2
п
1
п
.
2
п
18 Исследовать на сходимость ряд
1 ....
22 2 2
234
1; сходится условно; 2: сходится;
3: расходится; 3: сходится абсолютно.
11 1 1
Если ряд
19
u
сходится, то ряд полученный из него отбрасыванием любого
1nn
конечного числа его членов будет:
1: сходится и его сумма не изменится;
2: расходится;
3: сходится и его сумма уменьшится;
4: сходится и его сумма изменится.
n
20 Если радиус сходимости степенного ряда
равен 3, то интервал
n
3
n
1
сходимости этого ряда имеет вид…
1:
(0;3)
; 2:
(3;3)
; 3:
(3;0)
; 4:
(;3)
.
166
21 Пусть четная функция f(x)-интегрируемая и периодическая с периодом
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье и
0
1
n
1
n
n
1:
3:
a
)(
xf
2
n
22 Найти коэффициент
n
)sincos()(
xbxaxf
xbxa
2:
4:
n
a
в разложении функции
6
)sincos(
a
)(
xf
2
n
0
n
n
1
xf
cos
nxa
n
1
cos)(
nxaxf
)(
0,3
x
x
в ряд Фурье.
1:
6
6
; 2:
10a
; 3:
10a
0a
6
; 4:
.
5, 2a
6
2
.
,0,3
167
14 710
9.11
а)
182764
в)
ee e e
111 1
д)
13 35 57 7 9
9.12 а) U
е) U
n
251017
23 4
1
n
п
=
(1)
п
=
21п
2
; б) Un =
; ж) Un =
2
...
; г)
Ответы к главе 9
...
; б)
1...
...
; е)
1
; в) Un =
2п
2
п
32
п
3579
22 2 2 22 22
23 34 45 56
11 1
33 59 727
4 9 16 25
1 ...
; з) Un =
2624120
п
12п
;
.
;г) Un =
1
n
23
1
(1)пп
; и) Un =
; д) Un =
...
1
;
1
;
2
п
;
!п
9.13 а)
е)
9.14 а)
г)
9.15 а) сходится; б) расходится; в) расходится; г) расходится; д) сходится.
9.16 а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится; д) расходится.
9.17 а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится; д) расходится.
9.18 а) расходится; б)расходится; в) сходится; г) расходится; д) сходится.
9.19 Сходится. 9.20 Сходится. 9.21 Расходится. 9.22 Расходится.
9.23 Сходится. 9.24 Сходится. 9.25 Расходится. 9.26 Сходится.
9.27 Сходится. 9.28 Расходится. 9.29 Сходится. 9.30 Расходится.
9.31 Сходится. 9.32 Сходится. 9.33 Расходится. 9.34 Сходится.
9.35 Расходится. 9.36 Сходится.
9.39 а)
9.40
1
- нет; б)
0
- да; ж)
S
1
S
, сходится.
2
rS
n
4, 0,112nS
1
, сходится; б)
2
0,2, 0,58
0
- да; в)
0
- да; з)
; 9.41
; б)
1
- нет; г)
1
- нет.
3
S
rS
, сходится; в)
2
0,000025, 0,0953
n
4, 0,62nS
1
; 9.42
-нет; д)
1S
.
6, 0,1nS
, сходится;
0
.
- да;
9.43
9.49 сходится абсолютно. 9.50 сходится абсолютно. 9.51 сходится условно.
9.52 расходится. 9.53 сходится условно. 9.54 сходится абсолютно.
9.55 сходится условно. 9.56 сходится условно. 9.57 расходится.
9.58 расходится. 9.59 сходится абсолютно. 9.60 сходится абсолютно.
9.63
9.70 Всюду расходится. 9.71
числовой оси.
6, 0, 5nS
10;x
;1) (1;x
; 9.44
. 9.64
. 9.68
9.73 Сходится равномерно на всей числовой оси.
4, 0, 41nS
;0x
. 9.65
0;x
; 9.45
;x
. 9.69
2; 2x
. 9.72 Сходится равномерно на всей
168
5, 0, 92nS
. 9.66
.
1; 1xee
.
;x
. 9.67
9.74 Сходится равномерно на всей числовой оси. 9.75 Сходится равномерно
x
x
x
x
на всей числовой оси.
равномерно на
9.81
9.85
1; 1х
1; 1x
2; 2
. 9.82
. 9.86
.
x
9.89
9.93
9.99
9.101
1...
x
4;0 .х
1; 3х
11
2! 2 4! 2
357
xxx
9.90
. 9.98
xx
24
...
2! 4! 6!
13 19
9.103
xx x
23
23
23
11 1
xx x
9.104
11
x
23
9.105
9.112
14 6 4
0,9848
234
xxx .
. 9.113 а)
9.76 Сходится равномерно на
;
. 9.84 х=0.
3; 3x
. 9.83
x
33
22
2; 2
. 9.77 Сходится
11
;
. 9.87
(;).
9.88
10;10x
33
(;).
1 2(2)(2) (2)
22 2 2 2
xx x x
1 ... ...
9.91
23
23
. 9.100
5;3x
. 9.92
15 75
23 4
xx x
3; 5x
.
n
n
...
.
.
216256
33131
. 9.102
...
.
1 1 1 ...
22222
1
n
n
.
2
.
n
3, 0801
, б)5,01, в)0,1564, г) 2,0244. 9.114
0,1823
. 9.115
0,8186
9.118
9.120
9.123
9.124
9.125
9.127
9.128
. 9.116 а)
xx
( ) ...
yx
0,948
23
23
357
() ....
yx x
xxx
0,569
; б)
. 9.119
; в) 0,3897. 9.117 а) 0,098, б) 0,2483.
11
() 1 ...
yx x x
24
.
624
3! 5! 7!
32 sin
fx
4
13 1 1
fx x x x
435
22
412
4
fx
n
1
sin sin 3 sin 5 ...
n
1
sin 2 1
1
n
sin 2 sin 3 sin 4
fx x nx
sin ... sin ...
cos 2 1
cos
n
1
n
nx
21
n
xxx
nx
21
n
2
1
nx
. 9.126
2
fx
.
n
234
nx
.
n
.
4
2
n
1
n
cos 2 1
1
n
1
21
nx
2
n
.
.
169
9.129
9.130
9.131
9.132
9.133
fx
221
ll x x l x x
12
fx
43 2
fx
fx
2sin
n
11 cos cos cos ...
fx x x x
4925
sin 2 1
1
n
213 12
cos cos ... sin sin ...
22
1
1
32 1 1
222
21 1
nx
.
n
ll ll
nx
1
n
.
n
53555
xxx
43 4 5 4
cos cos3 cos5 ...
.
.
sin sin 2 sin 3 sin 4 ...
9.134
9.135
9.136
111
xxxx
234
fx
421
11
UU
Ft t t t
mm
235
8111
a
ft t t t t
m
2
sin 2 1
1
n
211
sin sin 3 sin5 sin 7 ... .
nx
.
n
sin sin 3 sin 5 ... .
92549
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]