Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

Приложение 11

x































x





























x















x









1.

2.

3.

1.

2.

Fp

  

Fp







92,

xt





30,

xxy





53 2,

yxy







 



44 ,

xxe

№ 7

p

123

pp p

 

  

00, 01.если xx





02, 00.если xy



№ 9

p

2

pp

12 37



000.если xx







8





.

2

t

.

1.

2.

3.

1.

2.

Fp

  

Fp







39,yyt

yx y



251,

xxy





44,yyt

№ 8

3

2

21

pp





000.если yy

21,



00, 02.если xy

№ 10

p

31

p



.

2

01, 00.если yy

1

.











231,

xxy





3.





420,

yxy





1.

2.

3.

Fp

  





 

32 ,

xxe





xx y





21,

yxy



00, 05.если xy



01,00.если xy



2

pp

01, 0 2.если xx



2,



№ 11

7

p

12 40



5

t



.



xx y



3.





yxy



Fp

1.





2.





3.





yx





40,



29,



01, 00.если xy

№ 12

34



20,yyy

22,

p

2

23

pp



01, 0 2.если yy

xy

4,

03, 01.если xy

.









281

1.













































































Fp



№ 13

2

234

pp



 



2

12

pp



.

1.

Fp



№ 14



pp



1

2

19





Приложение 11

.

 

2.

3.

1.

2.

3.

450,yyy



00, 01.если yy





xx y

 

 



yxy





Fp



 

yy ye

 



xxy



 



yxy





21,

1, 5 0,

01, 00.если xy





pp p

 

2,

01, 00.если yy



3,

2,5 2,



№ 15

p





00, 01.если xy





3



13

t



.





2.

xxy



3.



yxy



Fp

1.

2.

xy



3.



yx





352,



31,











21,



23,

1,yy

001.если yy



00, 02.если xy

№ 16

p

2

12 37

pp



2sin ,yy t

02, 00.если yy

 

01,00.если xy





5





.



№ 17

1.

Fp

2.



3.

 





pp



 

544,yyy



00, 02.если yy





281,

xxy





34,

yxy



02, 01.если xy



1

2

13





.



282

1.

2.

3.

Fp

  







22,yy

222,

xxy



41,

yy



00, 01.если xy

pp p





000.если yy



№ 18

10 2

p



13



.

Вариант 1









x



x











1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся

2



431

nn



n

2

823

nn



1



2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

n



а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак

2

;

10

n

1



2





n





n







n

 

n

21



1

2

nn

1





21 1

n



1



n

;



1

;

2

1



1

2



Приложение 12

.

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд







n



1

n

1





n

32

4. Найти область сходимости степенного ряда

2



nx



1



n



3





2

1

n



5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

1



,2.fx x

x

0

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

0,001 cos .



0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:



2

,01.yxy y



.

n

.



следующую

0

dx

8. Разложить функцию в ряд Фурье

2, 0,





2, 0 .



fx





 

283

x



Вариант 2



x











1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся



34

n







528

n





1

n



n



2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости



21

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак

n



2!





1

n







 

1

n







ln 1

1

n







n



1



;

n

2

n

4

;

n



31

1

;

n





n

.

3

1



Приложение 12

.

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд





n



1

n

15 1

n

 

53



n



4. Найти область сходимости степенного ряда



nx





1

n



5

1



21

n



5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

3

,1.fx x x

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

0,001 .





0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:

22



yx ye y

 

x

,00.

8. Разложить функцию в ряд Фурье

.

2

n

.

0

2

x



edx

следующую

0

,.fx x x



 

284

Вариант 3







x





x











1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся







n

1

533

nn

64

4

22

nn

1



2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

n



3!

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак



n



n





n



n

;

n

1





1



n

2

n

ln 1



1

;

12

nn



1





1



1

2

nn

.

;

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд

n



12









1

n

1

 

n



n

5

.

4. Найти область сходимости степенного ряда



x





n

213





1

n

2



.

n



Приложение 12

.

5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

,4.fx x x

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

4

0,001 ln 1 .





0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:

2



,01.yx yy



8. Разложить функцию в ряд Фурье

2

,.fx x x



 

следующую

0

dx 

285

Вариант 4









x













f



1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся

15 3



345

nn



86 3

nn





n

1



510

2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

3

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак





n







n



n





n

1



1

n

 



1

53

1

;

n

2

22

n

31

n

2

n



;

1

.

2

n

1

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд

1





n



1

n

1





nn

.

3

4. Найти область сходимости степенного ряда

n



41





n

1



n

x



.

n

5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

x

fx x



sin , 2.

4



0

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

2

1

x



0,001 .



4

edx



0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:



yxye y

x

,00.



Приложение 12

.

следующую

0

8. Разложить функцию в ряд Фурье

2

xx x



,1 1

 

286

.

Вариант 5













x





x







1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся



21

n





n

1

.

2

n

2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак







n





n







n







n

1



1

1!

n



;

n

2

n

2

n

 

n

1





1

;

n

4

n

1

2

nn



22

;

.

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд





1



n



n

1





2



n

21

.

Приложение 12

4. Найти область сходимости степенного ряда





n



1

x



4ln 4

nn



n

5



5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

,4.fx x x

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

5

0,001 .



sin



0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:



20,1, 01.yx yy

 

2

8. Разложить функцию в ряд Фурье

3

,fx x x



 

.



следующую

0

dx

0

x

.

287

Вариант 6









x









1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся



n





42

nn

n

1



2

1



21



2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

2

1

n



а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак

3

;



n



2

n

2

1







n











n

1







1

n



1

n



1

nn

ln

1



n



11

ne

;

.

3

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд

1





n



1

n

1





.

1

n



3

4. Найти область сходимости степенного ряда



32 3

nx







n



n

1



2



12

n

.



n

1

Приложение 12

.

n

;

5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

1

fx x



2

32

xx



,4.

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

0,001 .



0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:

2

 



,01, 01.yxyy y

8. Разложить функцию в ряд Фурье

2, 0,

 

3, 0 .

fx







 

следующую

0



0

x

edx



x



x

288

Вариант 7







x



x







1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся

2



n

.

n

2



n

1

2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

1

n



5

n



1

32

 

51



1



n

51

n

64

1



n

1!





;

n

;

1

.

1

n



3 2



1

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак





n





n



n





n





Приложение 12

3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд

n









1

n



2

1ln

n

4. Найти область сходимости степенного ряда





n



1

5

nx



n





21

5

1!

5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

1

fx x



,2.



3

x

6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

2

0,001 ln 1 .





0

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:

22



 

,00,1.yx y y

n

.

n

.

следующую

0





2

dx 

8. Разложить функцию в ряд Фурье

1, 0,

fx









2, 0 .



289

x

 

x



Вариант 8



x





x



1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся

3





n



1

n

2

n

.

1

2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные

признаки сходимости

n

2

n





1

34

n

1



7

n

83

1

n

1

2!

3



n

1

n

;

n

;

n

;

.

2

а) Признак Даламбера

б) Признак Коши

в) Признак сравнения

г) Интегральный признак





n







n



n





n



3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд











1

n

1.

n

 

29

n





4. Найти область сходимости степенного ряда



x





n

1



n

2



.

n

5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

функцию, написав первые шесть членов ряда

x

fx x



sin , 2.

3

0



6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью

1

2

0,001 cos .

3



0

xdx

7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:

Приложение 12

следующую

0



  

,01,00.yxyy y

 



8. Разложить функцию в ряд Фурье

2

x

,3 3.

fx x





2

290