Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Вариант 14
1. Найти частные производные в данной точке:
22
lg ; 2,1 .uxyM
2. Найти полный дифференциал функции:
3. Найти частные производные второго порядка:
ln 3 .zyx
4. Вычислить значения частных производных функции
cos .zxy
22
0
2
Приложение 13
yxfz ,
, заданной
неявно, в данной точке М(х
5. Найти производную сложной функции:
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности
S в точке М
0(х0
, у0, z0)
, у0, z0) с точностью до двух знаков после запятой:
0
33222
2
x
)
ua
1
y
2
u
zб
Mzyzxxyzyx
0
arctgtytx
.2,2,)
yxryxu
r
222
MyxzzyxS
0
.2;1;2;44223
;,21,
.2,1,3,1342:
311
x
Вариант 15
1. Найти частные производные в данной точке:
x
uxy M
2
;3,2.
0
y
2. Найти полный дифференциал функции:
arctg .
zy
3. Найти частные производные второго порядка:
Приложение 13
1
zxy
3
4. Вычислить значения частных производных функции
неявно, в данной точке М(х
5. Найти производную сложной функции:
, у0, z0) с точностью до двух знаков после запятой:
0
222
x
ua
223
().
Mzxzyx
0
2
tt
;2,,)
eyex
.1;1;1;02242
yxfz ,
, заданной
y
22
ru
)
zб
2
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности
S в точке М
0(х0
, у0, z0)
22
x
.,,
rxyu
y
MzxzxyzyS
0
.1,2,1,9344:
312
Исследовать на экстремум следующие функции:
z
z
Вариант 1
Вариант 2
Приложение 14
1.
2.
3.
1.
2.
3.
3
33
2
.168
xyyxz
xyyxz
2
.22
yxz
.4303622
Вариант 3
22
.22151
yxyxxz
4.
xy x y
33
22
3.zx y xy
2
1.
2.
3.
ze x y
22
xy
6.zyxy yx
36.zx xyy x y
22
2.
Вариант 4
22
.61
1.
2.
42
42.zx xy y
yxyxxz
50 20
3.
,00.zxy x y
xy
Вариант 5
1.
2.
2 3 2 10.zxyx y
zyxy
3.
23
22
8
x
,0,0.
yxxyyxz
xy
Вариант 7
1.
2.
22
32
834.zxyxy
36.zx xyy x y
Вариант 6
.2018396
1.
2.
32 5
3.
33
34 .zx y x y
42
2 3 18 4.zx yx y
.5622
xyyxz
Вариант 8
22
23.zx y xy x
1.
2.
2
22.
xy
2
2
3.
23.znxy x
3.
313
33
861.zxyxy
Приложение 14
22
.336
yxyxz
15 .zx y xy
2
.1022
yxz
242.zxyxxyy
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Вариант 9
23
322
24 2.zx xy xy
yxyxz
1.zxy y
22
.4
Вариант 11
22
2
22
424 326.zxy xyy y
1.zx y
2
.96
yxyxyxz
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Вариант 10
33
32
345.zxy y
Вариант 12
2
22
236 .zx y xyx
44 2 2
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Вариант 13
2
32
14 27 69 54 .zx xy xy
2
.15
yxz
22
Вариант 15
22
.422
yxxyz
x
23
.222yyxez
Вариант 14
1.
33
.3
xyyxz
.1
yxyxyxz
2.
33
.10933
xyyxz
22
3.
yx
22
.2
yxez
Вариант 16
1.
2
.36
xyxyxz
2
2
2.
.1
yxz
.00,6
yxyxyxz
3.
2223
.52
yxxyxz
314
Вариант 1
x
x
x
x
x
x
x
1. Изменить порядок интегрирования
10 00
dy f x y dx dy f x y dx
21
2
,,.
yy
2 Вычислить
а)
22 44 3
54 150 : 1, ,
yxydxdy xyxyx
44
б)
00
22
cos sindx x y dy
;
Приложение 15
;
в)
dxdydz V y x y x z xy z
V
,: 10, 0, 1, , 0
.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
22
,4,4yx y x y
.
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
D
22
ydxdy D
;
- ограничена кардиоидой
1cosa
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
2
1 , 1, 0, 0, 0.zyxy x y z
6. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями
22
,2,1,2yx y x x x
.
7. Вычислить криволинейный интеграл
а)
L
ydx x ydy
222
22 ,
б)
L
zzxydll
в) по формуле Грина:
вдоль ломаной ОАВ, О(0;0), А(2;0), В(4;5);
cos , sin , , 0 2
- дуга кривой
22
ydx xy dy L
L
- окружность
,
315
ttyttzt t
22 2
yR
.
.
Вариант 2
x
D
x
x
x
x
1. Изменить порядок интегрирования
10 2 0
dy f x y dx dy f x y dx
01
,,.
y
2
y
2
2 Вычислить
а)
22 33 2
948 :1, ,
yxydxdy xyxyx
;
2
2
x
б)
1
2
dx x y dy
x
;
dxdydz x y z
в)
V
xyz
1
348
Vyxz
, : 1, 0, 0, 0
4
348
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
2
4, 3, 0yxxy y
.
Приложение 15
.
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
2
4cos2
D
dxdy
если
,
ограничена лемнискатой
.
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
2
1,3 6, 0, 0.zxxy y z
6. Вычислить момент инерции, относительно начала координат фигуры,
ограниченной линиями
2 3 6, 0, 0
yxy
.
7. Вычислить криволинейный интеграл
ydx y x dy
а)
L
б)
L
22
ydl L
2
, где L дуга кривой
,
- окружность
в) по формуле Грина:
22
2,
L
ydx x ydy L
4xy
2
2yxx
, расположенная выше оси
.
- часть параболы
yx
хорда, проходящая через точки А(-1;1) и В(1;1).
2
и
.
0
316
Вариант 3
x
L
L
1. Изменить порядок интегрирования
2
2
y
y
12
dy f x y dx dy f x y dx
00 1 0
,,.
2 Вычислить
а)
22 33 3
36 96 : 1, ,
yxydxdy x yxyx
3
32
x
б)
2
dx x y dy
x
2
;
в)
V
22
15 , : 1, 0, 0, , 0
x z dxdydz V x y y x z x y z
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
2
3, 1yxyx
.
Приложение 15
;
.
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
3222
ydxdyD x y a yxx
D
;: 2, , 0
в I четверти.
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
22
3, 4 , 2, 1.zy z y x x
6. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями
,4yx x
, если плотность в каждой её точке равна сумме координат.
7. Вычислить криволинейный интеграл
2
1
yx
dx dy
а)
yy
L
вдоль отрезка АВ, А(1;2), В(2;4);
2
dl
б)
L
8
22
xy
- отрезок прямой ОВ, О(0;0), В(2;2).
,
в) по формуле Грина:
xy
L
- квадрат с вершинами А(1;1), В(3;1),
,
dx dy
С(3;3), D(1;3).
317
Вариант 4
x
x
x
x
x
x
x
1. Изменить порядок интегрирования
yy
12
dy f x y dx dy f x y dx
00 1 0
,,.
2
2 Вычислить
а)
22 33 3
18 32 : 1, ,
yxydxdy x yxyx
3
;
2
sin
xy
dx e y dy
б)
00
cos
;
в)
34 , : , 0, 1, 5 , 0
x y dxdydz V y x y x z x y z
V
22
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
2, 0yxxxy
2
.
Приложение 15
.
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
D
dxdy
22
1
xy
;: 3
Dxy
22
II четверть.
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
22 22
,3,3,0.xyyxy yzy z
6. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями
2, 3, 0yxxy y
относительно оси
.
0
7. Вычислить криволинейный интеграл
ydx dy
а)
С
, где С - дуга кривой
y
ye
от А(0;1) до В(-1;е);
3
б)
43 ,
L
ydl L
- отрезок прямой АВ, А(-1;0), В(0;1).
в) по формуле Грина:
L
22
11,
ydx x y dy L
- окружность
22 2
yR
.
318
Вариант 5
x
x
L
L
x
1. Изменить порядок интегрирования
10 00
dx f x y dy dx f x y dy
2
x
2
,,.
2
1
x
2 Вычислить
а)
22 33 2
27 48 , : 1, ,
yxydxdy x yxyx
3
2
y
2
б)
dy x xy y dx
00
2
32
;
в)
12 , : 9, 0, 1, , 0
V
32
x dxdydz V y x y x z xy z
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
22
xy
1
- эллипс.
16 25
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
xydxdy
22
xy
D
;: 2
Dxy
22
- II четверть.
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
22
1, 3 , 0 .xy z xyz
Приложение 15
;
.
,4,0yx x y
6. Найти массу фигуры, ограниченной линиями
плотность в каждой её точке равна произведению координат.
7. Вычислить криволинейный интеграл
22 2
а)
L
ydx x ydy
вдоль линии
:
yx
от А(1;1) до В(2;2);
dl
,
б)
5
xy
L
- отрезок АВ, А(0;4), В(4;0).
в) по формуле Грина:
yxydx xyxydyL
L
319
- окружность
,
, если
22
1xy
.
Вариант 6
x
x
x
x
1. Изменить порядок интегрирования
1
yy
arcsin arccos
2
dy f x y dx dy f x y dx
00 0
,,.
1
1
2
2 Вычислить
а)
22 33 3
18 32 : 1, ,
yxydxdy x yxyx
;
y
2
б)
10
dy x y dx
22
;
в)
27 54 , : , 0, 1, , 0
V
3
y dxdydz V y x y x z xy z
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
2
6, 2, 0yxxy x
.
Приложение 15
.
4. Перейдя к полярным координатам вычислить
22 22
4;:4
x y dxdy D x y
D
.
5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями
22
4, 24, 0, 0, 0.yzxzzxy
6. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями
2
,,0yaxxay
.
7. Вычислить криволинейный интеграл
3
cos
at
sin
, совершая обход против часовой
3
а)
L
dy ydx
вдоль астроиды
ya t
стрелки;
б)
xy
L
y
dl L
22
,
- дуга кардиоиды
21 cos , 0
2
.
22
xy
в) по формуле Грина:
yxydx xyxydyL
L
320
- эллипс
,
16 9
1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]