Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

8 Если одним из частных решений дифференциального уравнения





f





f





f





x

f



x



x



















y"-16y=-32x-48 является функция y=2x+3, то общее решение данного уравнения имеет вид ...

44

хх

Се Се

1:

Се С е х

3:



12

44

хх



12



3

; 2:

23

; 4:

44

хх

Се С е х

12

44

хх

Се С е х

12



2





23



;

.

9 Частному решению линейного неоднородного дифференциального

уравнения у″+ у′-30у=х+7 по виду его правой части соответствует функция …

1:

3:

xAxB



xAxBx



2

; 2:

; 4:

xeAxB xAe Be

5x





56

;

x

.

10 Дифференциальное уравнение у″-3 у′-4у=0 имеет решение

yCe Ce

1:

yCe Ce

3:





12





12

4

x

; 2:

x

; 4:

yCe Ce

ye C xC x

4



12

3

x

12

x

;

cos 4 sin 4

.

11 Частное решение дифференциального уравнения у″+4у′+4у=3cos2x

следует искать в виде

у AxBxx

1:

3:

.

част

у Ax

.

част

cos 2 sin 2



cos 2

; 4:

; 2:

у AxBx

част

у AxBxx

част

cos 2 sin 2

.

cos 2 sin 2



;

12 Каким методом необходимо проинтегрировать данное уравнение

y″=f(x)

1: применить подстановку





,



xPyxPy

;

2: проинтегрировать последовательно дважды;

3: применить подстановку







,



PyxPy 

;

dy

dP

4: проинтегрировать последовательно «п» раз .

13 Каким методом необходимо проинтегрировать данное уравнение

,', " 0Fyy y



dP

1: применить подстановку







,



PyxPy 

;

dy

2

.

2: проинтегрировать последовательно «п» раз;

3: применить подстановку







,





yxPy

;

dx

dP

4: проинтегрировать последовательно дважды.

91

х











14 Указать соответствия между видом корней и общим решением

дифференциального уравнения 2-го порядка.

yeC xC x

1:

yCCxe

3:

k

1,2

kx

cos sin



12

kx



12

; 4:

корни комплексно сопряженные  

; 2:

kx k x

yCe Ce

12

x





15 Указать соответствия между видом корней и общим решением

дифференциального уравнения 2-го порядка.

yeC xC x

1:

yCCxe

3:

12

kx

cos sin



12

kx



12

; 4:

,kk корни действительные различные

; 2:

kx k x

yCe Ce

12

x



16 Указать соответствия между видом корней и общим решением

дифференциального уравнения 2-го порядка.

yeC xC x

1:

yCCxe

3:

12

kx

cos sin



12

kx



12

; 4:

,kkkкорни действительные равные

; 2:

kx k x

yCe Ce

12

x





17 Два частных решения

xy

и

1



xy

однородного линейного

2

;

)sincos(

xCxCey



21

.

;

)sincos(

xCxCey





21

.

;

)sincos(

xCxCey





21

.

дифференциального уравнения второго порядка образуют

фундаментальную систему решений на некотором интервале

определитель Вронского



xW



 

1: равен нулю во всех точках этого интервала;





xyxy

21



xyxy

21

2: равен нулю хотя бы в одной точке этого интервала;

3: меньше нуля во всех точках этого интервала;

4: не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.



,

, если

92

7.5

x

х



x



x



у



х





х



х





y



2

c

2

yx

1

2

7.6

Ответы к главе 7

1

yce

7.7

7.8

7.10

7.11

7.12

7.15

7.17

7.18

7.22

y

e

cx

 

ye

1





ln

1





x

общий интеграл exyчастный интеграл

1

7.9

c

ar



xy



,11

2

St c

1



t



x

y общее решение у х частное решение

 

cx



1

21sin ,212sinусx общий интеграл yxчастный интеграл   

2

yce



1y 

2

x



7.16

4

7.13

ln 1yxxx

c

y общее решение у частное решение

 

,

22 2

ln

у cx

7.14

8

,

ln sin cosyy xxxc

x х

y



y 

7.19 200 м 7.20 ≈ 66 мин 7.21

x

y

ln ln 1

xc





x

7.23

yc

sin ln



x

7.24

)2 )

ау х бу

x



2

e

3



y

7.25

x

 

16

16 33

х



x



yx

xe

yx





cx

7.26

7.32

7.35

7.38

7.42

7.45

7.49

y



ln

c



7.27

ln lnyx cx

1

()

ее

()sinухс x

7.33



х

11



у cx

у



11

1cos2ух

 

x

cos 2



2

sin sinyx xc x

2

х

е

2



22

xc x  

cos 2

7.43

с

7.39

у

7.47

7.50

7.36

ухсе

2



1

12

2arctgyx x

7.28

х

7.34

()

ухсе

2



7.40



сх х

7.37

ух

1

у

7.44

2



се

3ln 2 6 6уххх

2



ctg ln 1усххаrx xc  

7.29

32



ес



у

с

2



7.41

х



2



7

1

71

х

сх





7.48

2

ycxxx

х



3

х



у

ln

ln cosу x

1

cx

93

7.51





х

у





у



у







y



y



y



y

x

y

x

y



x

y



х

у

х

у

х

у

х

y

   

х





2

усхс

1

сх

1

2

23

7.52

1cos2yx



7.53

7.55

7.59

7.61

7.63

7.66

7.74

7.76

7.78

7.80

7.82

2

ххе



ln 3 3ln 3у xx x x cxc

у cxx xc 

sin sin 2

12

уех сх с

х

arcsin arcsinyxcxc 

2

112

ec cx x

yec cx x x x

x

cce xx x  

12

ce ce xe

12

ссе х е

  

12

31

1

2

(1)

2

12

1су сх с 



x



12



12

323

x

22

7.54

2

12

2

7.67

32

xx

3

525



7

yxx x e x xcxc

12

7.60

7.62

7.64

3

7.75

61824

7.81



636



32 2

   

7.58

сх xcxc



2

ycxc

ctg ycxc



12



12

ec cx x x

7.77

7.79

eccx xe



х

7.83

  

21 cos3



x

12

1

схс



ln

12

х

ln

112

cosу cxxc

12

x

222

се с е х е



7.65



12

ce ce e

12



cce x x



12

23



3

y

cy x c

12

3

2

644

32

x

2

xx

2

3



1

х

2

428

 

525



x



х

2

1

323

x

7.84

7.85

7.86

7.87

ye c cx ххе

усе се х хе

уссх х хе  





 

  



12

 

12

()

ссхе х хе

12

()

12

22 2

2322



 

6



хх

23



21

 

32



13

32

62

532

7.88

7.89

7.90

cce x x x   

12



ce ce x x

 

12

yc xc x x x

cos sin cos

12

x

23

xx

15

sin 3 cos3

66

1

2

5

1

х

94

7.91

y

x

y



x



7.92

7.93

2

xx



ce c e x x

 

12

11

sin 2 cos 2

44

cos sin

cxcxxe

12

yce cxe e x

  

xxx

12

11



cos

7.94

42

2

x

cce x



12

x

5

2

7.95

7.97

22

yce ce e





12

1

xx

7.96

4

yc xc x x

cos sin sin 2

12

1

3

yc xc x x 

7.98

1

sin cos sin 5

12

24

yc x c x x

sin 3 cos3

12

 

 



2

39

.

95

Глава 8 Операционное исчисление



f



f





f



f

p



f



f



f



F







8.1 Основные понятия операционного исчисления

Определение 1. Оригиналом

обладающая следующими свойствами:

0ft

1.

2.

циальной функции, где М и

3. На любом конечном отрезке

функция

а) ограничена; б) либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрыва I рода; в) имеет конечное число экстремумов. Функции, являющиеся оригиналами, в операционном исчислении

называются иначе

по Лапласу.

Определение 2. Изображением

комплексного аргумента



tMe



t

удовлетворяет условиям Дирихле, то есть



при

St

0

при

начальными функциями, или функциями, изображаемыми

.

0t 

0t 

- постоянные положительные числа.

S

0

si

, определяемая равенством:

Fp e ftdt



 

называется функция

, то есть возрастает не быстрее экспонен-

,ab

положительной полуоси 0t

оригинала



pt





0

(8.1)

.

t

называется функция



t



,

Функция

L-изображением

Операция перехода от оригинала

прямым преобразованием Лапласа.

Замечание.

оригинал находится по формуле

Тот факт, что функция

обозначают следующими символами:

Соответствие между оригиналами и изображениями обладает

следующими

наоборот.

свойствами:

Любому оригиналу соответствует единственное изображение и

1.

Fp

, а несобственный интеграл в (8.1) – интегралом Лапласа.

иначе называется преобразованием Лапласа или



В общем случае, если известно изображение

обратного преобразования Лапласа

tFpedp

 

Fp



pft







t

к изображению



Si



1



является изображением оригинала



2



, или

i





Si

pt

.

Fp

(8.2)



называется



.Fp Lft

Fp



, то

t



96

2. Любой линейной комбинации конечного множества оригиналов в

f



f



p



p



p



p



p



p

s

p







p





качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображений

(свойство линейности), то есть

kn kn



CF p C f t



kk

11



 

kk







. (8.3)

На основе равенства (8.1) составлена таблица изображений некоторых

функций (таблица 8.1).

Таблица 8.1 Оригинал - изображение

№№

1

2

C const

3 t

4

5

6

t



1 t



n

t



e

nt



te

Fp



№№

1

11

C

12

1

2

13

et

!nn

1



14

et

1

15

p 

!

n

p





1

n

16

t



sintt

costt

t



sin

t



cos

t shat

tchat

Fp



2

22

p



22

pp

22





2



p



p



2

 

p



2

 

2

2ap

22



22

pa

22

pa



2

a



2



7

8

9

10

sin t

cos t

hat

chat

t

22

p

22

p 

17

18



eshat



e chat

t



a

22

a

19

20

97

sinAt



t





0, 0

  

t

,0

t

Ae



0



a

2

p



2

 



0

p





22

p

1



a 

a



2

8.2 Основные теоремы операционного исчисления



f



p



















f





p



f











f









f



f



f



Fpp



f

F

x



p

На практике при нахождении изображений функций-оригиналов и при отыскании (восстановлении) оригиналов по данным изображениям, а также при решении дифференциальных и интегральных уравнений кроме таблицы «Оригинал – изображение» используются и теоремы операционного исчисления, которые в символической форме представлены в таблице 8.2. (При этом

считают, что







).



tFp

Таблица 8.2

Название теоремы Оригинал Изображение

1



Теорема подобия

Теорема

запаздывания

Теорема смещения

,0fat a





bt



eft

,0ft b b

F

aa

bp



eFp

Fp b



 



(или затухания)

Дифференцирование

изображения

n

tft

n

1

n

Fp





Дифференцирование

оригинала

Теорема о свёртке

(теорема умножения

изображений)

Интегрирование

оригинала

Интегрирование

изображения



n

t

ft d

  

12



0

t

ft d

  

21



0

t





0

t



t



 

d

t



t

nn n

pF p p f p f

... 0 0

 

Fp f



2

pf f



12



nn



21



Fp Fp

 

12

0

00pF p pf f

00





Fp Fp

 

12





zdz



p



Интеграл Дюамеля



pxt



 



1

pht

 

2







,

0

ht x ht d



    



t





0

98

Fp Fp



12



f







f



p





f



f





f







f



есть

8.3 Нахождение изображений и оригиналов по таблице

Решение типовых примеров

Используя таблицу, найти изображения функций-оригиналов:

2

t

8.1

Применяя формулу 14 (таблица 8.1) при

8.2

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, то

Согласно формуле 8 (таблица 8.1) имеем

te t



ttt



cos5 .

cos cos2 .

cos , cos3 .

Решение

2, 5,



2

Fp





tt









Решение

cos cos 2 cos cos 3

tt t t 

22

pp

p



2

225



1



2

19

.

p



получим

.

С учётом свойства линейности получим



Fp



8.3

По определению гиперболического синуса имеем

Следовательно, согласно формуле 5 (таблица 8.1) имеем

8.4

8.6

tsht



tte



tt



8.

Fp

cos .





3

2



t

1



21 9

at e e

sh



11 1 8



28 8 64

pp p



pp



22

pp





Решение

1

at at





2

 

8.5

8.7



tt te 

tt

.

2

.

22

325sin2.

2

sin .



t

Восстановить оригиналы по данным изображениям:

1

Fp

8.8





13

pp



 

.

99

Решение

A













f

Функция

Fp



является дробно-рациональной функцией. Разложим

данную дробь на сумму простейших дробей:

1



13 1 3

pp p p

  

 

Для определения коэффициентов имеем тождество:

311.Ap Bp





Используя метод частных значений, получим

1p 

3p 



41 ;

AA

41 .

BB

Таким образом,

11

Fp

 



4143

pp





Согласно формуле 5 (таблица 8.1)

11 11

 

41 4 43 4

pp



 

 

tt

,.

ee

B

.

1

4

1



4

.



3

Окончательно имеем

11

13 4

pp











3

tt

ee



.

p

8.9

Fp





2

pp



25

.

Решение

В этом примере используем элементарные приёмы для разложения данной дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны:

а) выделим в знаменателе полный квадрат:

ppp

2



pp

25



2



pp



214



2

p

14

;



б) применим искусственные приёмы (сначала в числителе вычтем и прибавим единицу, а вторую слагаемую дробь умножим и разделим на два)

11

p





14 12

pp

 

 



22

112

p



2

212

p



2



.

2

Используя формулы 13 и 14 (таблица 8.1), находим

12

p

22

12 12

pp

 

 



tt

cos 2 ; sin 2 .



22

et et



Учитывая свойство линейности, получим

ttt

  

te t e te t t



cos2 sin2 cos2 sin2 .

11

22

100

 

