Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

y

x

23



x









x





x



x



.





yx

0

2

Пример 6.82 Найти объём тела, полученного от вращения вокруг оси

0y

фигуры, ограниченной линиями

y

1

2

yx

0

3

yx

1

Найти объёмы тел, образованных вращением вокруг оси

ограниченных линиями

2

6.83

4 , 0, 0, 0yxyxx   

Решение

Применяя формулу (6.16)

b

Vfxdx

x



a

2



,

найдём

2

Vxdx êóáåä    

x

3



0

23

,yx yx



2

4

x

44

16

0

.

Решение

Воспользуемся формулой (6.19)

d

Vyydy  

y

где

22

 



21



c

0, 1cd



,

12

Тогда

1

22

Vyydy

  

y

    

3



0

5



yy

331

 

52 5210



2

3

.

6.84



1

 



0

yex x y

4..

,

3

;yy yy 



куб ед

..

фигур,

0

x

,0,1,0



.

6.85

6.87

4, 1, 4, 0

yxxx

2

,yxy x

.

6.86

6.88

yxex y

yy

x

,1, 0



23

,

x



.

28

6.89

yxyx x

cos 2 , 0, 0, 0



6.90

2

2, 1yxx



.

4

22

6.91



22

ab

1

.

51

6.92

xy

2

3, 2 6yx xy x



.



x















x





x



















Найти объём тел, образованных вращением вокруг оси

ограниченных линиями

0y

фигур,

6.93

6.95

6.97

6.99

1. Если кривая



yfx



непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится



по формуле

3

,8,0yxy x

2

4, 0yxx 

4

,0,1,4yyxx



.

6.94

6.96

6.98

2

1, 0 , 1, 2yx y x x



2

1, 31yxyx



2

4, 1

yy

.

x

,yx yx

2

.

6.100

yx

и

2y 

6.4.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

yfx

на отрезке



b

lydx





a

;ab

- гладкая (то есть производная

2

1

(6.20)

.

2. Если кривая задана параметрически

xt y yt



(



yt

t

и

-



,

непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра

от

до

t

1

t

2

t

вычисляется по формуле

t

2

22



lxydt



t

1



(6.21)

3. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением

 





, то длина дуги равна



ld





22

 

. (6.22)

Решение типовых примеров

6.101 Найти длину дуги кривой

2;1B

.



2

3

1yx





от точки

1; 0A



до точки

Решение

1

2

11, 1

   

2

.

Так как

3

, то

1yx



yx x y x

33 9



 

22 4

,

52

Тогда длина дуги находится по формуле (6.20)

x





x







1, 2ab

222

lxdxxdxxdx

    



111

22

111 12

 



229 183

11

99995

11 1



44444

95 95 95 95

xdx x dx x

11 1

95 13 4 13138.

  

x



27 27 27

6.102 Найти длину дуги кривой

Так как функция задана параметрически, то воспользуемся формулой

t

2

22

(6.21)

lxydt







t

1

b

lydx





a

13

 

2

3



1

22

33





55

cos , sin

ty t

от

Решение



, и

 

282282



25cos sin , 25sin cos ,



44

5cos sin , 5sin cos ,

tty t t

2



1

, то есть

2

1

до

0t 

1

t

2

.

2

тогда



22

25cos sin 25sin cos 5 cos sin cos sinl t t t tdt t t t tdt

 



00

66 22 4 224



cos sin cos sin cos cos sin sin

        



44 22 22 22



        

cos sin cos sin cos sin 2sin cos

 





22 22 2

    

sin cos 1 3sin cos 1 sin 2

  



313

    

11cos cos2

444



22

53 534

 

sin 2 1 cos 2 cos 2 cos 2



24 83

00

82 8 2 6 6



2



3

4



22



ttdt tdt

22

 



 



2

531 4 4 4

 

cos 2 cos 2 ln cos 2 cos 2

tt t t

22

82 3 3 3

  

  



0

53 4 4 4 4 4

             



11 1ln1 1ln1 1



16 3 3 3 3 3



















53























x



x



x



x



53 7 4 7 7

      

16 3 3 3 3

2ln1ln1

  















53 7 4 7 3 7 3

    

16 3 3

53 7 4 7 3 532 2 7 3

   

16 3 3



5273





8



Замечание: в примере 6.102 воспользовались формулой

6.103 Найти длину дуги кривой

Кривая задана в полярных координатах, значит, находим длину дуги по

формуле (6.22)

где

22



4sin

 

, тогда

22



ld d

          



00

222



2 2 2cos 2 2 1 cos 2 2 2sin

  



000

2



4 sin 8cos 8 cos cos0 8 1 1 16.

       



0

Найти длину дуги кривой



2ln ln

  



2ln 7ln

 







 



 



 

33

 

 

73 163 3 73

 

 



7ln .

373

22 22 2 22

axdx xaxa x ax c



  



1

ln

2

21 cos , 0 2

 





(6.23)





.

Решение



22



ld







0, 2 , 2 1 cos , 2sin

        

4 1 cos 4sin 2 1 2 cos cos sin



2

ddd

,

, а

222

2

41 cos  





2

,

2





d

22

0



3

6.104

6.105

6.106

2

yx

y 

от

2

от





2

4

2

yx



3

2

0

0;0A

от

до

.

4



1;

B

 

до

1



1

.

2

.

2

9

54

6.107

x









x





x











x









x







x





22

16yx

.

.108

.109

.110

.111

.112

.113

.114

.115

ln cosyx

от

0

до

x

.

6

3

t

xtyt 

,2

2

от

0t

до

3

tt

xe tye t t

cos , sin , 0



.

2

8sin 6cos , 6sin 8cos

ttytt 

9sin, 91cos



tty t 



2

от

sina 

1cosa  



0

до



.

(длину одной арки циклоиды).

3t

от

.

0t

до

t

.

2

оси

yyt

.116

.117

.118



1cos  





cos

at





sin .

ya t







3

от

.

0



до

.



2



3

cos

a

6.4.4 Вычисление площади поверхности вращения

1. Если дуга гладкой кривой

, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

0

Syydx

x

yfx

b

21

 



a

, где

2

axb

. (6.24)

вращается вокруг



2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

, где



ttt

12

, то

t

2

Syxydt

 

x



t

1

22



. (6.25)

xt

,

55

x





x



x





x



x



x

6.119

Решение типовых примеров

Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг

оси

0

дуги

cos3yx

от

до

0



x

.

2

Решение

По формуле (6.24) имеем



3sin3 , 9sin 3yxy x

 



22

2 cos3 1 9sin 3 1 9sin 3 sin3

    

Sxxdx xdx

x



22

21 1



 

39 9

2 sin 3 sin 3 ln sin3 sin 3

     



          

 





9 sin 3 sin3 2 sin 3 sin 3







00



11 1 1

 

29 9 9



11 1 11 101 3

1 1 ln 1 1 ln ln

99 9 93 39



00

22

xd x xd x

xx x x

  

 

22

  

22

2



3

  







2

0

3103







 

10 1 1



39



ln

10 3



 



    

10 1

39



ln1 ln 10 3





ln 10 3 3 10 . .





3

кв ед

При решении данного примера использовали также и формулу (6.23).

Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси

дуг кривых

6.120

yx

3

от

до

0



1

x

.

2

6.121

от

до

0



x

.

sinyx

2

1

6.122

yx

3

от



2

до

.

2

3

2

4yx



6.123

, отсечённой прямой

.

2

0

sin , 1 cos

tty t 

(площадь, образованную вращением

6.124

одной арки).

56











x





A



x



6.4.5 Физические приложения определённого интеграла

1. Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью

за промежуток времени

Пример 6.125

;tt



, выражается интегралом

12

t

2

SVtdt

Решение типовых примеров



t

1



. (6.26)

Автобус начинает двигаться с ускорением 1 м/с2. Какой

путь пройдёт автобус за 12 секунд от начала движения?

Решение

Скорость движения автобуса выражается формулой

Vat

м/с, то есть

Vt

м/с.

Согласно формуле (6.26) находим путь, пройденный автобусом от

времени

до

0t 

1

2

секунд:

12t

12

Stdt



0

t



12

2

м.

72

2

0

VVt

,

2. Работа переменной силы, заданной функцией

направленной вдоль оси

Пример 6.126

b

Fxdx



a

;ab

, равна интегралу



. (6.27)

на отрезке

0

Решение типовых примеров

Сжатие винтовой пружины пропорционально

FFx

и

приложенной силе. Найти работу, производимую при сжатии пружины на 3см, если известно, что для сжатия на 0,5см нужно приложить силу в 1Н.

Решение

0,005Fx k

Fx

, требующаяся для сжатия пружины на x м, будет равна kx,



. Согласно условию задачи

10,005k

0,005



м сила

, следовательно,

где



Сила

- коэффициент пропорциональности. При

k

1

k 

200

.

0,005

Значит,



200Fx x

, по формуле (6.27) работа, произведённая силой

при сжатии пружины на 3см (0,03 м), равна

57

0,03









f

200 100 0,09Axdxx



0

6.127 Скорость тела меняется по закону

пройдёт тело за 10сек? Чему равна средняя скорость движения?

6.128 Скорость автобуса при торможении изменяется по закону

0,03

2

0

Дж

2

0,03vt

м/с. Какой путь



полной остановки?

Найти путь, пройденный телом от начала движения до его остановки.



10 см, если сила в 20 Н растягивает пружину на 5 см?

24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 150 Дж?

пружину на 6 см, если сила в 1 Н растягивает её на 1 см.

15 3vt t

6.129 Скорость движения тела задана уравнением

6.130 Скорость движения материальной точки задана уравнением

2

64vt t



6.131 Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на

6.132 Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу

6.133 Вычислить работу, необходимую для того, чтобы растянуть

Несобственными интегралами

6.5.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами

м/с. Какой путь пройдёт автобус от начала торможения до



м/с. Найти путь, пройдённый точкой за пятую секунду.

6.5 Несобственные интегралы

называются:

1) интегралы с бесконечными пределами;

2) интегралы от неограниченных функций.

интегрирования

12 3vt t t



2

м/с.

Несобственный интеграл от функции

определяется равенством

lim

b



58

b



xdx f xdx

 



aa

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен называется расходящимся.



x

на полуинтервале

. (6.28)

, то интеграл



[; )a

Аналогично определяется несобственный интеграл функции





f





f



f

x





x

на

(;]b

bb

xdx f xdx

 





Несобственный интеграл функции

формулой

 

xdx f xdx f xdx

  



 

где

c - любая фиксированная точка оси

Решение типовых примеров

Пример 6.134 Вычислить

По определению имеем (формула (6.28))



dx



32



xxxb

11

b



3

lim lim lim lim 1

bb bb

xdx

   

111111

22 2 2

Несобственный интеграл сходится.

Пример 6.135 Вычислить интеграл

Воспользуемся формулами (6.28), (6.29), (6.30):

 

xxx

edx edx edx



 



В формуле (6.30) полагаем, что

00

xxx a

edx edx e e e





lim lim lim 1



  

aaa

a

то есть первый интеграл сходится.

b

lim lim lim

  

bbb

Но



xxx

edx edx e e e



00



то есть второй интеграл расходится.

И, следовательно, расходится несобственный интеграл

lim



a



a

c

. (6.29)

x

на

(;)



c

.

0



dx

.

3

1

Решение

bb

11



x

.

edx



Решение

0

,

0

.

0c

0

a

b

0



0







определяется

, (6.30)

 

.



,



x

.

edx





59

6.5.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций





f



f



f





f

x







f

x



x







a

yfx

xdx



bb



aa

непрерывна, но не ограничена на

b

от функции

xdx





a

, то есть





lim

0

 

xdx f xdx

 

yfx



на

[;)ab

. (6.31)

Пусть функция

полуинтервале

[;)ab

Несобственным интегралом

называется предел

.

lim

0

 

b

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции

yfx

непрерывной, но неограниченной на



Замечание. Если функция

то интеграл

b



a

xdx



bb

xdx f xdx

 



aa

lim



 

x

не ограничена при

также называется несобственным. В этом случае

bcb

xdx f xdx f xdx

  



aac

(;]ab

. (6.32)

0



c , где

;cab

(6.33)

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства.

Решение типовых примеров

1

Пример 6.136 Вычислить интеграл

dx

.

0

Решение

1

Подынтегральная функция

fx





в точке

не ограничена, а

0

,

потому имеем

11

dx



0

lim lim 2 lim 2 2 2

     

x

000

1



2

xdx x





1





.

Интеграл сходится.

2

Пример 6.137 Вычислить интеграл

dx

.

x 

2

1





0

60