Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие

Глава 10 Дифференциальное исчисление функции нескольких







D



y



x







переменных

10.1 Область определения функции

Функции одной переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому вводится понятие функции нескольких переменных.

Все основные положения теории функции нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных и обобщаются на случай большего числа переменных.

Переменная величина z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре ( друга переменных величин x и y из некоторой области изменения D соответствует определённое единственное значение величины z.

Обозначается функция 2-х переменных:

x, y) значений двух независимых друг от

,, ,, ,, 0z f xy z z xy F xyz 



Множество пар (x, y) значений x и y, при которых определена функция



yxfz ,

называется областью определения функции и обозначается

или

Поэтому пару значений (x, y) называют точками, а функцию называют функцией точки М(x,y) плоскости хОу и записывают

222

является круг радиуса окружность.

f

.



Каждой паре значений (x, y) в плоскости хОу соответствует точка М(x,y).

Решение типовых примеров

10.1

Найти область определения функции

Решение

Функция

0axy

, то есть

Найти область определения функции

10.2

принимает действительные значения при условии

z

222

ya

a с центром в начале координат, включая граничную

. Областью определения данной функции

zax

22 2

ln , 0zxyRR

.

zfM



22 2

 

.



.

z



yxfz ,

.

Решение

Область определения функции характеризуется неравенством

171

22 2

x

R







x



z

x





f





f





x

yR

асимптотами



12

. Область определения – внутренняя часть гиперболы

,yx

2;0 , 2;0FR FR 

222 2

(

10.2 Частные производные функции нескольких переменных

полуосями

 ).

2cab R

abR

, фокусами



22

xy



22

R

1

с

Частной производной

по x функции

отношения частного приращения по



,,,

x

к нулю и обозначается

По определению

zfxy

xx



z



x

 





lim lim .

x

xx

00

xx



к приращению

z

.

xxyfxy

z

 

,zfxy

называется предел



x

при стремлении

,,



Аналогично

z







lim lim .

z

y

 

y

yy

00



yy

 

,,

xy y f xy

Значение частной производной зависит от точки, в которой она вычисляется. Поэтому частная производная есть функция точки

,xy



, т.е.

также является функцией 2-х переменных.

Частные приращения и производные функции

n переменных

2n 

определяются и обозначаются аналогично.

Из определения частных производных следует, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Все правила и формулы дифференцирования для функции одной переменной сохраняются для частных производных функции нескольких переменных.

Решение типовых примеров

10.3

Найти частные производные функций:

22

y

а)

ze





;

Решение

Рассматривая у как постоянную величину, получим

z



x



22 22

exy xe



22

yxy





'

2.

x

Рассматривая х как постоянную величину, получим

z



y



22 22

exy ye



22

yxy





'

2.

y

172



22

y

x





y

z

x

z

x



x





z

x



lnz



б)

Рассматривая у как постоянную величину, получим

x



.

Решение

2zxy





Рассматривая х как постоянную величину, получим

zy



ln



yxy



Найти и изобразить область определения функции:



22

xy

22

xy

.

2

22

.

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

arcsin 1 arcsin 2zx





zxy

.

yx

22



19zx

.

22

x

.

4

z

.

y

ln lnuxy

1





5

arccos arcsin arctg .

zz

.

22

xy

22

.

x

.

Найти частные производные функций:

22

y

.

34Ux xy y 

10.12

10.14

10.16

Ue

zy

arctg .

.

10.13

10.15

10.17

173

sin(3 5 4 )Uxyz

nx x y

y

zx

.



22

.

10.18

y













y



x



y

f

fy

x



x



xy



f



f





f

222

.Ux

z

10.19

42

cos .U

10.20

10.21

10.22

10.24

10.26

10.28

 

22

32

xyxy

Ue при xy

ze







22

()

xy x y



.

3

23 .uyxyz

22

cos2 sin .zx xyy xy

53

sin .ut z

22



21.

10.23

10.25

10.27

10.29

110.Uxyxzyzпри xy z     

322

()

xy



ze

.

xy

z



33 2

yx xy

6

z

ux xy z 

y

tg .

zx

1

.

xy

.

10.3 Полный дифференциал. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Главная часть полного приращения

функции называется

Обозначается полный дифференциал

''

z f xy x f xy y x y  

(, )zfxy

, линейная относительно приращений аргументов

,,



xy

полным дифференциалом этой функции.

или

dz

(, )df x y

.

y

и



По определению

dz z x z

xy

Учитывая, что

или

dx x





При достаточно малом

(, )zfxy

xxyyfxydz   



справедливы приближенные равенства

,,

dz

dy y

,

x

xy

, можно записать





  

. Это соотношение используется в

, или

22

для дифференцируемой функции

dz x y

dz dx dy

zz

 



zz

y







y

.

zdz

.

и

приближённых вычислениях для нахождения значений функции

xxyy 



00

,

x xy y fxy f xy x f xy y      



0 0 00 00 00

близких к значению функции

,,,,

''

xy

,fxy



00

:



.

,

174

Решение типовых заданий

x



x







f



f

y

f











z



y

x



x



z

arctg

10.30

Найти полный дифференциал функции





Решение

Найдем частные производные:



zyy





1

Следовательно,

12

22

xy





xy





xy







dz dx dy

zxx



22

xy

,



yxy

1

zzxdyydx

 



 

yxy

12





xy







xy



22



xy



.

10.31

Вычислить приближенно 1,07

3,97

.

Решение

Число 1,07

3,97

есть частное значение функции

(, )zfxy

при х = 1,07, у

y

.

y

22

.

= 3,97. Известно, что f (1,4) = 1. Поэтому, принимаем х

0,07, 0,03.xxx yyy     

00

Значение

,,

xy dfxy



00 00

x

Таким образом, 1,07

xxyy 

. Имеем:

'1



3,97

,



yx

fxxf f

,

1, 4 4 0 , 0 7 0 0 , 0 3 0 , 2 8.df   



вычислим при помощи формулы

'''

y

yxy

ln , 1,4 4, 1, 4 0,

≈ 1+ 0,28 = 1,28.





Найти полный дифференциал функций:

10.32

10.34

10.36

nx x y



sin sinzx yy x

znx





22

.

10.33

10.35

10.37

= 1, у0 = 4. Тогда

0

y

arctg

zx

.

ay вх

z



.

ву ах

y



zn



tg

 .

 

2sin

xy



ze x yy x

10.38



cos sin



.

175

10.39

z



arctg



4sin



y



y

10.40

x





y









x

















Ue

yz

.

10.41

U



x

22

yz



.

10.42

10.44

10.45

Вычислить приближенно

10.46

10.48

10.50

10.52

z

ze при xy x y

(1,03)

(0,97)

(1,04)

sin280cos610.

xy

3,001

2,02

2,03

.

y

22

10.43

34;0,10,2.zxy x yпри xyx y     

sin .zx



1 1; 0,15 0,1.

.

10.47

10.49

10.51

10.53

6,03 8,04



0,9 0,99n 

1, 04 3,01



1, 002 2,003 3,004

y

22

33

22

23

.

10.54

10.4 Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование

Пусть

является функцией независимой переменной t, то есть

Тогда функция

независимой переменной t. Переменные х и у являются промежуточными аргументами.

Предположим, что

место равенство

sin290sin460.

,zfxy

- функция двух переменных х и у, каждая из которых



10.55

неявной функции

является сложной функцией

t

дифференцируемые функции. Имеет



t

,zf t t

и









33

1, 02 1, 9 7

t

yt

,

.



zzt



dz z dx z dy



dt x dt y dt



.

Если t совпадает с одним из аргументов, например, t = x, то

176



dz







x

















x

















x







F



F



x





x



и

переменных:

функцией двух переменных

называется полной производной z по х.

dx

Если аргументы х и у функции

,

xuv



,

dz z z dy dx x y dx

,yyuv

, то

,uv



.





,zfxy

являются функциями двух



,, ,zfxuvyuv

также является

Пусть

функции. Имеют место формулы:

Дифференциал сложной функции

(, )

Если

некоторой области D и

однозначно неявную функцию

производная находится по формуле:

10.56

Производную находим по формуле

zzdxdy



52, 23, 2sin2, .

xy xy t

   

 

dz

dt

25 2 sin2 2 3 .

     

xy

Найти

42

xy txy



,zfxy



- дифференцируемая функция переменных

dz dt

ydtdtt

,

zzxzyzzxzy



 

uxuyuvxvyv



Fxy

Решение типовых примеров

, если

xuv

dz du dv



'

(, ) 0

y

'

y



,

;.

,zzxy

где



zz



uv

,то уравнение

yx

, также дифференцируемую, и ее



F

dy dx

53

Решение

F

y

2ècos2,arctg.zx xyy x ty t   

dz z dx z dy

dt x dt y dt

1





,yyuv

.





1

2

t

- дифференцируемые

,

xuv

(, ) 0

1

2

,

xy

,yyuv



определяет

,xy

в

В результате можно сохранить как переменные х и у, так и заменить их

через t.

10.57 Найти



zz

,, zlnu , cos, sin.

åñëè v u x y v y x



xy

 

22



177

Решение

z

x



x



x











x

z



x

 



22 22

cos sin

xyyx

zu v



  

yu v u v U V

  



22 22

cos sin

xyyx

zy

и

находим по формуле:



zzuzvzzuzv



 





ux vx y uy vy

zu zv u

uu v vu v x

22



22 22

,,cos,

uvv

  

sin , cos , sin

yyx x



yxy



zu v

  

xu v u v U V

22 2

  

22 22 2 2

2

cos cos cos cos

yyx UyVyx

22

cos sin cos ;



yy x x

,.



y







222

sin sin sin sin

22 22 2 2

2

yxVxUxy

22

sin sin cos .

yxxyy







10.58

Здесь

Найдем

Следовательно,

Найти:

cos 0xy y

FF



    

xy



dz

10.59

, если , где

dt

dU x

10.60

, если sin , где .

dt y

dU

10.61

, если , где sin .

dx



, cos 0.Fxy x y y



sin , sin 1.

'

y

Uxeyt

Uz y zy z xye



xy xy

 

 

 

sin sin

 

1sin 1sin

22 23

xxyy xtyt

  



22

  

. Найти

yxy



yxy



.y

Решение



t



.

2

178

10.62

x

z

x

z

x

10.63

dU

, если , где ,.

UV Vy V nxye

2

  



dx

zdz x



и , если arcsin , где 1.

xdx y



zyx



2

10.64

10.65

10.66

10.67

10.68

10.69

dz

, если , где cos , sin .

22

xy



exatyat



dt dz

, если ,

dt

где sin , ln , , arctg .

zz u



,,если arctg , sin , cos .

xy v



zu

,,если ,,.

uv v



zz

,,если ,,ln.

uv



zz



, и , если cos , , ln .

uv



dz z xy x ue y v u

xy xyv yuv

 

ty tue v t

zuxyvxy



33

zx y xuv y

  

t

22

xyxuyuv

  



v

10.70

10.71

10.72

10.73

10.74

10.75

zz



, и , если ,tg, ctg.

uv



22

xy

sin cos 0.

eye x

yarc y

334

yyxa

ynya

dz z x y x u v y u v

   

6.xxyy





ctg .

.

179

10.76



f

z

x



f



f



f







f





10.77

222

xyz



222

aâc

28.y

xe y nx

1.

10.78

10.79

10.80

z





y



y

exe x

1ln 0.

  

22

2

y



9260.



xy e e

xy xy



ln ln 0.xyyx



10.5 Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция

Частные производные от частных производных

'

,

xy



y

называются частными производными второго порядка функции

(, )zfxy

имеет частные производные

zz



xy



''

,, ,.



xy f xy

 

xy



z



x

'





x

,,

xy

(, )zfxy

.

zy

Каждая частная производная первого порядка

и

имеет две



частные производные. Таким образом, получаем четыре частные производные второго порядка:

zz

 

 

xx x

 





 

zz



yy y

 



2



2



2

zz

 



,

xy

,

xy

,



2

x





2

y

 

yx xy

 





 

zz



xy yx

 



2





2



xy



xy



xy



yx

,

.



,

Производные

xy



производными второго порядка и

;



,

xy

yx



,,

xy f xy

xy yx



называются смешанными

.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х,

так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Частная

180