Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
Ставропольский государственный аграрный университет
Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин
Руководство к решению задач
по математическому анализу
Часть 2
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому
и техническому образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Ставрополь
2012
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
Г94
Гулай, Т. А.
Г94 Руководство к решению задач по математическому анализу
учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / Т. А. Гулай, А. Ф. Долгополова,
Д. Б. Литвин. −Ставрополь : Сервисшкола, 2012. – 336 с.
Настоящее руководство является составной частью комплекса
учебных пособий по курсу математического анализа, направленных на
развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Пособие
написано в соответствии с учебной программой по высшей математике
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 110.800.62
«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140.400.62
«Электроэнергетика и электротехника», 190.600.62 «Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов
использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для
самостоятельного изучения курса математического анализа.
». Может быть
УДК 517.1:517.2
ББК 22.161
:
Предисловие
Учебное пособие «Руководство к решению задач по математическому
анализу» Часть 2 охватывает традиционный курс высшей математики в объёме
второго семестра и является второй частью комплекса учебных пособий под
общим названием «Руководство к решению задач по математическому
анализу».
Структура второй части комплекса аналогична структуре первой его
части. Нумерация глав и параграфов продолжает соответствующую нумерацию
в первой части.
Часть 2 включает семь глав, список литературы и приложения. Каждая
глава руководства начинается с необходимого теоретического минимума,
включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идёт блок
задач на эту тему, рассредоточенный следующим
образом. Сначала подробно
разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения, после чего
предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных задач.
В пособии наряду с традиционными контрольными заданиями
(Приложения 5-11) предлагается достаточно большое число тестовых заданий.
Приведенные контрольные задания и тесты могут быть эффективно
использованы при проведении аудиторных и домашних контрольных работ
собеседований, на зачетах и экзаменах; при тестировании студентов (в том
числе компьютерном) по курсу математического анализа.
Авторы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного
количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для
успешного хода учебного процесса. Тем не менее, в пособии довольно много
более сложных заданий для наиболее
успевающих студентов. К подавляющему
большинству задач руководства приведены ответы, а к наиболее трудным из
них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту
широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его
время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед каждым
практическим занятием выучить относящийся к нему раздел теории,
внимательно, с выполнением всех
действий на бумаге, разобрать решённые
задачи, и только после этого приступить к решению задач, предложенных для
самостоятельного решения.
Пособие может быть использовано студентами других направлений
подготовки, где количество часов для изучения курса «Математический
анализ» значительно меньше. Кроме того пособие вполне доступно для
студентов заочных отделений вузов.
Важность разделов, представленных в пособии, заключается в том, что они
являются базовыми для последующего приобретения студентами специальных
знаний и приемов аналитической работы.
«Руководство к решению задач по математическому анализу» полностью
подготовлено к изданию на кафедре «Математика» Ставропольского
государственного аграрного университета.
,
3
f
где
x
F
f
f
F
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Глава 5 Неопределённый интеграл
5.1 Первообразная функции и неопределённый интеграл
Пусть на интервале
;
ab
, то функция
;ab
x
задана функция
называется первообразной функцией функции
x
. Если
Fx fx
,
x
на интервале
отличаются друг от друга на произвольную постоянную.
Совокупность первообразных
постоянная, функции
интегралом функции
1.
2.
3.
4. если
при условии, что
xdx dfx
xxdxfxdx xdx
;ab
. Любые две первообразные данной функции
xC
,
то
;xab
, называется неопределённым
;
xdx
x
,
x
:
xdx Fx C
Основные правила интегрирования
xdx dF x C
xdx F x C
ax b dx F ax b C
,ab
xC
,afxdx afxdx
где
1
a
- постоянные числа,
, где С – произвольная
.
;d
;
;a const
x
;
0a
5. если
функция, то
Правильность результата интегрирования проверяется дифферен-
цированием найденной первообразной, то есть
На основании определения неопределённого интеграла, правил
интегрирования и таблицы производных основных элементарных функций
можно составить таблицу основных неопределённых интегралов.
xdx Fx C
udu Fu C
ux
и
4
- любая дифференцируемая
.
.Fx C fx
1
x
x
x
x
g
x
x
g
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1
a
a
x
1
;dx x c
2
a
xdx c a
1;
3
5
7
9
11
dx
ln ;
c
x
xx
edx e c
sin cos ;
dx x c
;
dx
2
sin
x
ctg ln sin ;xdx x c
ct
c
;
x
a
ln
a
dx x c
4
6
x
adx c
cos sin ;
dx
8
2
cos
10
12
tg ln cos ;xdx x c
dx x
22
ax
arccos 0 ;
tg ;
x
arcsin
x
a
;
ca
c
c
a
1
arctg ;
ln ;
22
xa c
xax
13
15
17
dx x
22
ax a a
dx
22
xa
22 22
axdx ax c
22
18
22 22 22
xadx xa x xa c
xa
22
dx x
19 ln tg ;
sin 2
x
c
1
ln
2
xa
c
c
c
dx x a
22
xa axa
14
1
ln ;
2
axa
fx
16
2
fx
dx f x c
arcsin ;
ln ;
a
2
ln ;
dx x
20
cos 2 4
ln t
x
.
c
5
Решение типовых примеров
x
x
x
x
x
x
x
x
Найти неопределённый интеграл
5.1
32
3
xdx
23 1.
4
3
x
Решение
32 3 3
3
23 1 2 3 4
xx x x
234 .
4225
x dx x dx x dx x dx dx
424
5
4
3
x
5
3
cxxc
2
3
92
5
3
x
2
3
2
xx
3.
5.2
edx
Решение
x
2
3
22
xx
33 .
edx e dx c
x
e
ln 3
2
e
5.3
4sin
x
.
dx
2
sin 2
Решение
4sin
sin 2 2sin cos
xxx
dx dx dx x c
4sin 4sin 4sin
22 2
xx x
2
x
ln 4 sin .
2
5.4
x
2
45
xx
dx
.
2
Решение
2
45
xx
21 1
x
22
45 2 45 2
xx xx
2
ln 4 5 .
dx dx x x c
xc
2
ln 4 5
Найти указанные интегралы, результаты интегрирования проверить
дифференцированием
5.5
5.7
73
5
xdx
53 .
1
7
3
x
3
4
x
x
2.
dx
5.6
5.8
3sin 2 3 .
2
xx
1
x
23
2
xx
.
dx
1
x
9
dx
2
6
5.9
x
x
x
x
x
x
x
x
xdxx
f
x
5.11
5.13
5.15
5.17
5.19
26
7.
10 3
11
x
sin cos
3
x
x
3
xdx
8
4
x
4
x
dx
22
2
.xdx
1
.
2
1
2
x
.xdx
.4dx
3
.
x
5.10
5.12
5.14
5.16
5.18
5.20
2
x
4
dx
2
1
x
2
1
2
25
x
2
57
xx
1
xdx
2.
x
3
xdx
3
1
.xdx
.
2
.xdx
dx
.
.
dx
.
5.21
Задача нахождения неопределённых интегралов от многих функций
решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого
можно достичь путём алгебраических тождественных преобразований
подынтегральной функции
дифференциала.
5.23
x
5.2.1 Непосредственное интегрирование функций
12
22
1
xx
2
1
5.2 Общие методы интегрирования
x
или подведения части её множителей под знак
Решение типовых примеров
2
x
dx
.
5.22
cos
2sin
.
Решение
12 1
22 22 22 22
xx xx xx xx
dx dx
222
xxx
1111
22
xxx
dx dx dx dx
1
22
1
xx
1
arctg .
c
7
5.24
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
27 27 27 .
5.25
xx x x
111
21 2 2
27 .
99
1
arctg arctg
222
111
xxx
1
x
9
dx
Решение
10 10
27 27
11
dx x d x c c
2 2 10 20
arctg
x
.
dx
2
x
dx dx dx
2
dx xd x x x c
2
Решение
arctg arctg ln 1 arctg .
xx
22
5.26
cos73 cos73 73 sin73 .
5.27
5.29
5.31
5.33
cos 7 3 .
dx x d x x c
Найти данные неопределённые интегралы.
cos3 .xdx
3
56 .
x
x
ctg 3 2 .
dx
Решение
11
77
xx
dx
3
.
dx
5
dx
5.28
5.30
5.32
5.34
eedx
2
x
2
x
cos 3 .xdx
x
2
x
22
9
.
dx
9
2
5
1
dx
.
4
.
32
xx
5.35
5.2.2 Интегрирование методом замены переменной
Если функция
неопределённом интеграле вида
переменной
t
по формуле
edx
1
32
x
3.
t
имеет непрерывную производную, то в
5.36
xdx
всегда можно перейти к новой
8
sin 7 .
32
x
edx
1
2
cos 4
x
f
xdx
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
затем найти интеграл из правой части равенства (если это возможно) и
вернуться к исходной переменной
называется
большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей
подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов
интегралов даются в решениях типовых примеров.
В данном примере не очевидно, что подвести под знак дифференциала, а
поэтому сделаем подстановку, позволяющую избавиться от иррациональности.
методом замены переменной или методом подстановки.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет
Решение типовых примеров
1.
5.37 Найти
xdx
. Такой способ нахождения интеграла
ttdt
,
Обозначим
интегралу, сводящемуся к табличному.
22 2 2
55 5 3
Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции f(x),
то есть выражение
5.38 Найти
3
1xt. Эта подстановка приводит исходный интеграл к новому
Решение
1
xt
xdxxt t ttdt ttdt
11122
53
ttcx x c
1sincos 1sin .
22 42
dx t dt
2
xdx
, то имеет смысл попробовать подстановку
3
1sincos .
1sin
xdx t dt c x c
cos
53
22
11.
xdx
Решение
4
3
t
4
3
4
xt
xdx dt
1
3
tfx
3
4
.
3
x
Если под знаком интеграла стоит сложная функция
tx
используется подстановка
выражении встречается функция
3
а если
e
- то
tx
3
) .
(к примеру, если в подынтегральном
1
sin
, то стоит попробовать подстановку
9
, то, как правило,
t
1
,
3
x
x
x
2.x
5.39 Найти
3 3
xtttx
22
e x dx x dx dt e dt e dt e c e c
exdx
3
xt
3.
2
xdx dt
1
3
Если интеграл содержит радикал
подстановка
at
.
sin
5.40 Найти
22 222
a x dx dx a t dt a a ta tdt
22
xa t
.axdx
sin
cos sin cos
x
arcsin
t
a
2222
cos cos cos cos 2
a t tdt a tdt a dt dt tdt
22 22
aa aa
ttctttc
sin 2 sin cos
24 22
.. cos 1 sin 1
m к tt
2
2222
axaxxaxx
arcsin 1 arcsin .
22 22
aaa a
2
Если интеграл содержит радикал
atgt
подстановка
.
Решение
11 1 1
33 3 3
22
ax
, то может быть эффективной
Решение
1cos2
ta a
22
222
2
x
a
caxc
22
2
22
a
, то может быть эффективной
22
xa
5.41 Найти
2
x
dx
.
Решение
tg
xat
22
xa adt
dx dt
22222
xattt
dx
adt
cos
2
t
22 2 2
tg 1 tg
ata t
tg cos sin
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]