Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
151
и выполняются условия
¢
¢
(
)
(
)
¢=¢
¢=¢
¢=¢
¢
(
)
(
)
.
1,1
-=n-=y
00
Пример 3. Объект управления описывается дифференци-
альным уравнением вида:
)t(u)t(x =
, где 1)t(u1 ££- .
Найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траекторию x(t), обеспечивающие минимум критерия
t
к
()
2
ò
0
mindt)t(xu,xJ
®=
,
при переводе объекта из начального состояния в конечное за
произвольное время tk.
=
ì
í
î
¢
()
=
=
,40x
ì
í
¢
,00x
î
k
()
=
k
,0tx
.0tx
Решение. Для составления функции Гамильтона требует-
ся представление уравнения ограничения в виде Коши. Приведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе из
двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введем
обозначение
)t(x)t(x1= ,
тогда
)t(x)t(x)t(x
=
,
21
)t(x)t(x)t(x
.
21
Уравнение ограничения преобразуется в систему уравнений Коши
¢
=
ì
í
¢
2
î
),t(x)t(x
21
=
).t(u)t(x
Граничные условия для полученной системы приобретают вид
ì
í
î
1
()
2
,40x
ì
í
==,00x
î
()
,0tx
k1
==.0tx
k2
Функционал в новых обозначениях
t
к
2
1
ò
0
mindt)t(xJ
®=
.
152
Составим функцию Гамильтона
()()()()(
)
(
)
()(
)
(
)
¢
¢
(
)
(
)
(
)
(
)
2
10
221
max)t(uttxttxtH
®y+y+y= .
Допустимое возможное управление u(t), доставляющее
минимум функционала, в соответствии с принципом максимума
Понтрягина в каждый момент времени должно обеспечивать
максимум функции Гамильтона. Так как функция Гамильтона
линейна относительно управления u(t), то для обеспечения его
максимума необходимо, чтобы управление совпадало по знаку с
функцией
t2y :
y= ,
tsign)t(u
2
то есть
>y
2
2
()
,0t,1
<y-
.0t,1
ì
=
)t(u
í
î
Из сопряженной системы уравнений
¶
H
ì
ï
¶
ï
í
ï
ï
¶
î
y¢-=
,
x
¶
H
x
1
1
y¢-=
,
2
2
получаем
y¢-=y
ì
í
î
y¢-=y
),t()t(x2
110
).t()t(
21
Продифференцируем последнее уравнение сопряженной
системы и подставим во второе:
)t(x2)t()t(
y-=y¢-=y
Определить вид функции
.
1012
t2y достаточно сложно, по-
этому выберем начальное значение управляющего воздействия
u(t), опираясь на физический смысл задачи, а не на поведение
функции
t2y .
Поскольку требуется перевести выход объекта из положения
40x1=
в
0tx
=
, то очевидно, что в начальный момент
k1
времени требуется выбор отрицательного управляющего воздействия u(t)= - 1. Оценим значения выхода объекта и скорости
его изменения:
153
dx
(
)
(
)
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
ï
dt
î
-==.1
),t(x
2
Разделим переменные
ì
í
2
î
,dt)t(xdx
21
-==.dtdx
и поочередно проинтегрируем уравнения, вначале второе, а затем, подставив полученный результат в первое уравнение, получим значение x1(t):
+-=
ì
í
î
ì
ï
)t(x
1
í
ï
î
,dtCtdx
11
+-=
,Ct)t(x
12
2
t
2
+-=
++-=
,CtC
21
.Ct)t(x
12
Неизвестные постоянные времени найдем из левого граничного условия
ì
í
î
1
()
2
,40x
ì
í
==,00x
î
,C4
2
==.C0
1
Получаем следующую траекторию движения
ì
ï
1
í
ï
2
î
2
t
+-=
)t(x
-=
,4
2
.t)t(x
Построим графики полученных функций с помощью
Mathсad (рис. 5.8).
2
x1t()
x2t()t-:=
t 0 0.1, 4..:=
t
-4+:=
2
154
(
)
(
)
x1t()
4
2
x2t()
0 1 2 3 4
2-
4-
t
Рис. 5.8. Начальная траектория и скорость изменения координаты
объекта для примера 3
Из рис. 5.8 очевидно, что скорость t)t(x
сможет достичь требуемого конечного значения
-= никогда не
2
0tx
=
k2
В этой связи требуется переключение управления с отрицательного на положительное значение u(t)=1 на втором интервале
движения. Оценим значения выхода объекта и скорости его изменения после переключения управления на интервале [tп, tk]:
dx
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
ï
dt
î
==,1
),t(x
2
разделив переменные и проинтегрировав поочередно уравнения,
ì
ï
1
í
ï
î
2
t
)t(x
2
+=
++=
,CtC
43
.Ct)t(x
32
Неизвестные постоянные времени для второго интервала
движения [tп, tk] найдем из правого граничного условия
ì
í
î
k1
()
==.0tx
k2
0
t
k
2
2
+=
ì
++=
,Ct0
3k
ï
,CtC
C
4k3
í
ï
î
ì
,0tx
ï
í
ï
î
=
4
t
k
2
-=
2
,
.tC
k3
.
155
Получаем следующую траекторию движения на интервале
4
2
[tп, tk]:
ì
ï
1
í
ï
î
2
t
)t(x
2
-=
k2
2
t
k
+-=
,
tt
k
2
.tt)t(x
Из условия сопряжения траекторий выхода объекта и скорости ее изменения на первом [0, tп] и втором [tп, tk] интервалах
движения в точке переключения t
найдем неизвестные время
п
переключения tп и конечное время движения tk:
2
ì
-
t
п
ï
í
2
ï
î
2
ì
ï
п
í
ï
==,t2t
î
2
t
п
4
2
-=-
.ttt
kпп
или
ì
ï
í
ï
î
,4t
пk
2
t
k
+-=+
tt
п
k
,
пk
2
,2t
==.4t
2
ì
-
t
п
ï
í
2
ï
=
î
2
t
п
4
2
.t2t
пk
2
t
2
п
+-=+
,
4t2
п
2
Таким образом, получили оптимальное управление, представляющее собой кусочно-постоянную функцию
Î-
u
опт
í
Î
î
ì
=
],2,0[t,1
],4,2[t,1
оптимальную траекторию движения объекта
2
ì
() ()
txtx
1опт
t
ï
ï
2
==
í
2
t
ï
ï
2
î
Î+-
],2,0[t,4
2
t
k
tt
k
Î+-
2
],4,2[t,
и соответствующую ему скорость изменения выхода объекта
Î-
¢
() ()
=
ì
¢
=
txtx
í
2опт
î
k
],2,0[t,t
Î-
].4,2[t,tt
Графическое отображение решения примера 3 представлено в виде фрагмента Mathсad на рис. 5.9:
t
:= t
k
ut() 1- tt
:=
1 otherwise
:= t 0 0.01, tk..:=
n
<if
n
156
(
)
¢
¢
(
)
(
)
2
xt() 4
:=
t
- tt
2
2
t
2
x't() t- tt
:=
<if
n
2
t
tkt×-
k
+ otherwise
2
<if
tt
- otherwise
k
ut()
xt()
n
4
2
x't()
Рис. 5.9. Оптимальное управление, оптимальная траектория и скорость
изменения выхода объекта для примера 3
0 1 2 3 4
2-
t
Пример 4. Задача максимального быстродействия.
Объект управления описывается дифференциальным уравнением вида:
)t(utx =
, где 1)t(u1 ££- .
Найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траек-
торию x(t), обеспечивающие перевод объекта из начального со-
стояния в конечное
=
ì
í
î
¢
()
=
-=
,40x
ì
í
î
¢
,00x
k
()
=
k
,0tx
.0tx
за минимальное время tk.
mintJ
®=
к
.
Решение. Для составления функции Гамильтона приведем
уравнение ограничения к виду Коши - системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введем обозначение
157
)t(x)t(x1= ,
¢=¢
¢=¢
¢=¢
¢
(
)
(
)
()()(
)
(
)
()(
)
(
)
тогда
)t(x)t(x)t(x
=
,
21
)t(x)t(x)t(x
.
21
Уравнение ограничения преобразуется в систему уравне-
ний в виде Коши
¢
=
ì
í
¢
2
î
),t(x)t(x
21
=
).t(u)t(x
Граничные условия для полученной системы приобретают вид
ì
í
î
1
()
2
,40x
ì
=-=,00x
í
î
k1
()
==.0tx
k2
,0tx
Составим функцию Гамильтона
max)t(uttxtH
221
®y+y=
Согласно принципу максимума Понтрягина допустимое
возможное управление u(t), обеспечивающее минимум функционала, в каждый момент времени должно обеспечивать максимум функции Гамильтона. Функция Гамильтона линейна относительно управления u(t). В этой связи ее максимум достигается, если управление совпадает по знаку с функцией
tsign)t(u
y= ,
2
t2y :
то есть
>y
2
()
,0t,1
<y-
.0t,1
ì
í
î
2
=
)t(u
Из сопряженной системы уравнений получаем
y¢-=
ì
í
î
откуда
ì
í
î
Разделим переменные dtCd
),t(0
1
y¢-=y
),t()t(
21
==y
Cconst
11
¢
-=y
.C)t(
12
=y и проинтегрируем обе
12
части уравнения
158
=y
y
>
y
C
ì
í
î
Функция
сти от значений постоянных времени
11
+-=y
.CtC)t(
212
)t(2y
представляет собой прямую. В зависимо-
C
C
и
1
функция
2
может занимать различное положение (рис. 5.10), не пересекать
ось абсцисс либо пересекать один раз.
0)t(
)t(
2
2
1
2
t
3
0)t(2<y
4
)t(2y
Рис. 5.10. Альтернативы поведения функции
Если функция
мая 1 на рис. 5.10) ]t,0[t
на всем интервале движения (пря-
0)t(2>y
Î , то управление не требует переклю-
k
)t(2y
чения u(t)=1. Аналогично, прямая 4 на рис. 5.10 соответствует
случаю
, u(t)= - 1 на всем интервале ]t,0[t
0)t(2<y
Î . Прямые 2
k
и 3 на рис. 5.10 пересекают ось времени, следовательно, необходимо переключение управления для случаев 2 и 3 рис. 5.10 соответственно
Î
ì
=
u
í
î
],t,0[t,1
п
Î-
и
],kt,t[t,1
п
ì
=
u
í
î
Î-
Î
],t,0[t,1
п
].kt,t[t,1
п
Поскольку выбор начального значения управления может
быть осуществлен на основе начальных условий для траектории
движения объекта, рассмотрим поведение объекта в фазовой
плоскости. Выведем фазовое уравнение, разделив одн о уравнение, описывающее поведение объекта, на другое
159
dx
2
(
)
2
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
ï
dt
î
==),t(u
),t(x
2
dx
dx
u
2
.
=
x
21
Разделим переменные и проинтегрируем обе части фазо-
вого уравнения
2
x
udxdxx = ,
122
2
Cux
+= ,
31
C2ux2x +±= .
312
Фазовый портрет представлен на рис. 5.11. C3 представля-
ет собой смещение фазовой траектории относительно начала
координат и определяется начальными условиями.
Движение по фазовым траекториям в верхней полуплоскости осуществляется слева направо, в нижней – справа налево.
Из рис. 5.11 следует, что переход в конечное состояние
k1
()
==0tx
k2
,0tx
ì
í
î
можно осуществить только по жирно выделенным кривым, соответствующим фазовым уравнениям для C3=0 в нижней полуплоскости для u(t)=1,
x21x ×+-= ,
12
в верхней полуплоскости u(t)=1,
x21x ×--= .
12
Следовательно, если начальные условия задачи принадлежат указанным фазовым траекториям, переключение управления не требуется.
В остальных случаях требуется одно переключение
управления. Жирно выделенные ветви параболы являются линиями переключения.
Если начальная точка траектории объекта лежит слева
внизу от линии переключения u(t)= - 1,
x21x ×-= , то необ-
12
ходимо вначале выбрать управление u(t)=+1, чтобы двигаться по
2
x
траектории
2
Сx
++= , где C
31
определяется начальными ус-
3
160
ловиями задачи. При достижении линии переключения требует-
2
ся смена управления u(t)= - 1. Движение после переключения
управления осуществляется по траектории
x21x ×-= до ле-
12
вой граничной точки.
Рис. 5. 11. Фазовые траектории задачи максимального быстродействия
В случае расположения начальной точки траектории объ-
екта справа вверху от линии переключения u(t)= + 1 ,
x21x ×+= , то вначале прикладывается управление
12
u(t)= - 1, и движение осуществляется по траектории
2
x
2
Сx
+-= до пересечения с траекторией
31
x21x ×+= , а за-
12
тем управление меняется на u(t)= + 1, и движение продолжается
по
x21x ×+= до начала координат.
12
Определим начальную фазовую траекторию движения из
левого граничного условия
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]