Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

211

()(

)

1

&&&&

&

(

)

&

(

)

(

)

DxxCx+

=

&&&

F

¶ ¶

¶

=

x

x2

¶

1

¶

xSx

+

x2

¶

111Т1Т ----

&&

AxSxSAxSx2

-=-

и найдем производную по времени

d

F

d

¶

dt

x

dt

¶

1111

----

&&&&

xASxSAxSxS

-=-=

.

Подставляем все найденное в уравнение Эйлера:

111Т1Т

----

&&&&

0xASxSxSAx)ASAQ(

=+--+

,

откуда

&&&

1Т1Т --

++×-=

x)ASAQ(SxSASAx

. (6.27)

Чтобы решить полученное уравнение, введем обозначе-

1Т

ния: CSASA

1Т

-

=×-

,

-

DASAQS

=+×

, тогда

.

Для того чтобы воспользоваться способом решения дифференциальных уравнений изложенным выше, требуется понизить порядок уравнения. Рассмотрим понижение порядка для простейшего случая n=2, тогда

2

xd

2

dt

2

xd

2

dt

Пусть

dz

1

= ,

dt

1

2

zx = ,

z

3

11

dz

dx

cc

1

1211

dt

dx

2

2221

x

dd

1

1211

×+×= .

x

dd

2

2221

dt

zx = , тогда

22

2

dz

z

= ,

dt

xd

dt

3

1

=

2

dt

2

dz

xd

,

2

dt

2

= ,

4

dt

получим

dz

ì

1

,z

dz

3

dt

2

==,z

4

dt

3

=

dt

4

=

dt

z

cc

3

1211

z

cc

4

2221

z

dd

1

1211

×+×

.

z

dd

2

2221

ï

ï í

ï ï

î

ì ï

ï í

ï ï

î

212

В матричном

&

l

-

l

-

l

-

l

-

l

-

l

-

l

-

l

-

z

1

&

z

2

&

z

3

&

z

4

z

0100

1

z

1000

2

×=

z

ccdd

3

12111211

ccdd

z

22212221

4

и в блочно-матричном виде:

z

1

&

z

2

&

z

3

&

z

4

z

1

z

EO

2

×=

.

z

CD

3

z

4

Получили матричное дифференциальное уравнение четвертого порядка

)t(dz

dt

где

U = - блочная матрица размером n ´ n.

EO CD

)t(zU

×= ,

Решение полученного уравнения в силу (6.7) будем искать в виде (для B = 0)

Ut

)0(ze)t(z

×= .

Решать можно как методом преобразования координат, так и методом Лагранжа-Сильвестра.

1. Метод Лагранжа-Сильвестра.

Записываем формулу для расчета фундаментальной матрицы )(te

Ut

F= (6.22) и подставляем в z(t). Например, для ис-

ходных матриц размера 2x2 блочная матрица U и единичная диагональная матрица Е имеют размер 4x4, тогда фундаментальная матрица рассчитывается следующим образом:

EUEUEU

l

1

==F

ee)t(

l

2

+

e

1

t

l-l

2

tUt

l-l

21

l-l

32312

3

l-l

31

EUEUEU

4

+

l-l

42

4

+

l-l

41

EU

l-

l

3

+

e

1

t

l-l

13

EU

2

l-l

23

EU

4

+

l-l

43

213

EUEUEU

l

-

l

-

l

-

=

&

+

где

l - собственные значения матрицы U.

i

l-l

24

1

t

l

4

e

2

l-l

34

3

,

l-l

34

2. Метод преобразования координат.

Пусть Tyz

)Ty(d

= ,

dt dy

T = ,

dt

dy

TT

dt

dy

-

= ,

dt

, тогда

UTy

11 --

UTyT

= ,

1

yUTT

321

L

где L - диагональная матрица собственных значений матрицы U, тогда

dy

y

L= .

dt

Решение последнего уравнения

t×=L

)0(ye)t(y

в силу того что zTy

1-

= , может быть преобразовано к виду

1t

-L

F==

)0(z)t()0(zTTe)t(z

.

Остается только сформировать начальные условия )0(z . По условию задачи известны начальное и граничное состояние

системы. Поскольку

)t(x

1

)t(x

2

)t(z

= , то

)t(x

3

)t(x

4

)0(z

Найдем неизвестные значения )0(x

)0(x

ü

1

известно

ý

)0(x

2

=

þ

&

ü

)0(x

1

неизвестно

ý

&

)0(x

þ

2

, )0(x

1

, используя

2

граничные условия. Для )0(z)t()t(z ×F= , записанного в более подробной форме:

214

()()()(

)

)t(x

()(

)

()(

)

()(

)

()(

)

()(

)

()(

)

()(

)

&

(

)

()()(

)

()()()()(

)

(

)

1

)t(x

2

&

)t(x

1

&

)t(x

2

() () () () () () () () () () () ()

tфtфtфtф

14131211

tфtфtфtф

24232221

tфtфtфtф

34333231

tфtфtфtф

44434241

)0(x

1

)0(x

2

×=

&

)0(x

1

&

)0(x

2

выделим блоки

)0(x

)t(x )t(x

() ()

tGtG

1211

×= ,

&&

tGtG

2221

)0(x

где

()

tG

= ,

11

21

()

tG

() ()

= ,

() ()

tфtф

1211

tфtф

2221

tфtф

3231

tфtф

4241

()

tG

= ,

12

22

()

tG

() ()

= .

() ()

tфtф

1413

tфtф

2423

tфtф

3433

tфtф

4443

Граничные условия

)t(x

k

)t(x

k

() ()

tGtG

k12k11

tGtG

k22k21

)0(x

×= ,

&&

)0(x

откуда

×+×=

ì í î

() ()

),0(xtG)0(xtG)t(x

k12k11k

&&

×+×=

).0(xtG)0(xtG)t(x

k22k21k

(6.28)

Выразим из первого уравнения (6.28) )0(x&, домножив обе

части выражения на

&

21

1

121-

tk

F слева:

1

--

21

11

)0(xtkGtkG)tk(xtkG)0(x

××-×=

. (6.29)

Полученные начальные условия (6.29) подставляем в решение:

1

211211

21

1

--

11

)0(xtkGtkG)tk(xtkGtG)0(xtG)t(x

××-××+×=

.

Пример 5. Задача оптимального управления. Для сис- темы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением

)t(dx

dt

),t(Bu)t(Ax

+=

215

-

èöø

ø

èöø

t

ë

û

(

)

ëùû

èöø

æ

где

ç

=

A ,

ç è

1,02,0

ö ÷

=

B ,

÷

-

18,015,0

ø

-

2,0018

æ ç

ç è

ö ÷

÷

23,04,0

ø

=

)t(x

ö

æ

1

÷

ç

ç è

.

÷

)t(x

ø

2

необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор оптимальных траекторий x(t), обеспечивающих перевод системы из начального состояния в конечное ( 10t

2,1

ö

æ

÷

ç

=

)0(x ,

÷

ç

3,0

ø

è

0

ö

æ

÷

ç

=

)10(x .

÷

ç

0

ø

è

= ):

k

из условия минимума среднеквадратичного критерия:

¥

J

æ

где

ç

=

R ,

ç è

1

[ ]

ò

2

0

04,0

ö ÷

÷

3,00

ø

æ ç

=

Q .

ç è

®+=

06,0

ö ÷

÷

4,00

ø

,

mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(

Решение примера 5 приведением к задаче безусловной оптимизации в MathCad. Пусть отсчет индекса массива начи-

нается с 1:

ORIGIN1:=

Зададим исходные данные

0.2-

0.15

0.600

0.4

0.1

0.18-

æ

A

:= B

æ

Q

:= R

0.18

0.4

0.2-

0.23

0.3

æ

:= x0

0.400

æ

:=

tk10:=

:=

1.2

æèö

0.3

Критерий оптимальности

t

ó

1

J

2

xTQ× x×

õ

0

( )

ô

( )

uTR× u×

+

d×

Подынтегральное выражение функционала в задаче безусловной оптимизации

F

где

1

é

xTQATS×A×+

×

2

S BR1-× BT×:=

T

d

x×tx

d

0.214

æ

S

=

0.027

1-

d

S

×tx

×+ 2tx

d

0.027

0.576

× S1-× A×x×-

d

Td

Уравнение Эйлера

216

(

)

d

шжицш

0

1

èöø

ç

è

÷

ø

)

ç

è

÷

ø

F

x

d t x'

d

æèö

d

-

F

d

Для полученного выражения функционала уравнение Эйлера принимает вид

&&&

1Т1Т --

++×-=

x)ASAQ(SxSASAx

.

Введем замену

2

d d

где

D

x

2

t

=

d

æèö

Ctx

× Dx×+

d

ø

C A SAT× S

0.176

æ

0.065-

×-:= D SQ× SAT× S1-×A×+:=

0.019-

0.291

-

æ

5.417- 103-´

C

=

0.117-

0.044

5.417 103-´

ö

Заменой переменных дифференциальное матричное уравнение второго порядка сводится к дифференциальному матричному уравнению первого порядка

d

zt()

d

t

Uzt()×

Матрица U формируется с помощью функций слияния строк матриц stack и слияния столбцов a ugment следующим образом:

000

æèö

O

:= E

0

U stack augment O E, ( ) augment D C, ( ), (

:=

0

æ

0

ç

U

=

ç

0.176

ç

0.019-

100

æèö

:=

1

0 0

5.417- 103-´

1 0

0 1

0.044

ö ÷

÷ ÷

0.065-

0.291

0.117-

5.417 103-´

Решение полученного матричного дифференциального уравнения имеет вид

zt() Ft()z0()×

Фундаментальная матрица может быть получена одним из двух способов, либо с помощью преобразования координат:

217

F t()T1-expL t()

T

ç

÷

)

1

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

либо методом Лагранжа Сильвестра:

F t()

4

e

å

1

i

= 1

lit×

×

Õ

j

4

=

æ

è

A ljE×-

lilj-

ö

ø

Найдем собственные значения и собственные вектора главной матрицы системы U:

l eigenvals U(

:=

T eigenvecs U()

:=

-

0.537

æ ç

l

= T

ç

0.416

0.416-

0.537-

ö ÷

÷

=

0.512

æ

0.786

ç ç

0.489

0.138

0.613-

0.076-

0.235

0.582-

1.171

1.862

1.313-

0.023-

1.056-

0.013

0.421-

1.074

ö ÷

÷

Формируем диагональную матрицу собственных значений матрицы U

l1t×

expL t()

æ

e

ç ç

:=

ç ç

0

e

0

l2t

0

e

0

l3t

0

l4t

e

0

ö ÷

÷ ÷ ÷

Рассчитываем фундаментальную матрицу системы либо первым способом:

F t()T1-expL t()T×:=

либо вторым (формула разорвана на две части для удобства представления, но в MathCad должна быть сформирована единой строкой). Размерность матрицы Е 4x4:

l2t×

l1t×

U l1E×-

×

l2l1-

F t()e

e

Ul2E×-

×

l1l

U l3E×-

×

-

l2l3-

Ul3E×-

×

l1l

2

U l4E×-

×

-

l2l4-

Ul4E×-

× +:=

l1l

3

-

+

4

218

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

èöø

ø

x'0

U l1E×-

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

(

)

xk

èöø

l3t×

e

×

l3l1-

U l2E×-

×

l3l2-

U l4E×-

×

l3l4-

+

U l1E×-

l4t×

e

×

+ .

l4l1-

×

U l2E×-

l4l2-

U l3E×-

×

l4l3-

Вернувшись к первоначальным обозначениям, представим решение дифференциального матричного уравнения в виде

æ ç

ç ç

xt()

x't()

1

2

Ft()

ö

æ

F t()

÷

ç

÷

ç

F t()

1

÷

ç

F t()

2

11,

21,

31,

41,

F t()

12,

22,

32,

42,

F t()

13,

23,

33,

43,

F t()

14,

24,

34,

44,

x0()

ö

æ

÷

ç

×

÷

ç

÷

ç

x0()

x'0()

1

2

1

2

ö ÷

÷ ÷

Выделим блочные матрицы и запишем в компактной форме

xt()

æèö

x't()

G11t()

æ

G21t()

G12t() G22t()

x0

æèö

×

x'0

,

где x(t), x`(t) – векторы размера 2´1, блочные матрицы:

Ft()

æ

G11t()

:= G12t()

F t()

Ft()

æ

G21t()

:= G22t()

F t()

11,

21,

31,

41,

F t()

12,

22,

32,

42,

ö

Ft()

æ

:=

F t()

Ft()

æ

:=

F t()

33,

43,

13,

23,

F t()

14,

24,

34,

44,

Рассчитываем недостающее начальное условие

x'0 G12 tk()1-G11 tk()× x0

- G12 tk()

0.494-

æ

x'0

=

0.14-

1-

×+:=

Оптимальная траектория движения объекта имеет вид

xt( ) G11t()x0× G12t()

×+:=

Оптимальное управление

1-

ut()B

d

xt()

× B1-A× xt()×-:=

t

d

ö

219

Строим графики оптимального управления и траектории движения системы (рис. 6.7). Задаем значение аргумента

t 0 0.1, 10..:=

1.5

1

xt()

1

xt()

2

0.5

0 2 4 6 8 10

t

0.5

ut()

1

0 2 4 6 8 10

ut()

2

0.5-

1-

t

Рис. 6.7. Оптимальное управление и оптимальные траектории для

примера 5, полученные сведением задачи к безусловной оптимизации

Решение задачи оптимального управления

на основе принципа максимума

Рассмотрим сформулированную ранее задачу поиска вектора оптимальных управлений u(t) и вектора оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия(6.23):

t

k

1

[ ]

J

ò

2

0

,

®+=

mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(

для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением (6.1),

)t(dx

dt

x)t(x,x)0(x),t(Bu)t(Ax

==+= ,

kk0

где R, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров.

Управление, доставляющее минимум критерию (6.23) в соответствии с принципом максимума, определяется из условия максимума функции Гамильтона:

220

2

H +++=

2

1

))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(

(6.30)

и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений:

¶

H

dx

ì

=

ï ï ï

í ï ï ï î

dt

dp

dt

¶

p

¶

H

-= ¶

x

H

u

+=

),t(Bu)t(Ax

T

--=

T

=+=

)t(pA)t(Qx

, (6.31)

,0)t(pB)t(Ru

из последнего уравнения находим оптимальное управление:

T1

-

-= . (6.32)

опт

)t(pBR)t(u

Подставляя (6.32) в функцию Гамильтона (6.30) получаем:

H +-=

1

))t(Qx),t(x(

. (6.33)

))t(Ax),t(p())t(Sp),t(p(

Сопряженная система уравнений после подстановки вы-

ражения для оптимального управления имеет вид:

)t(dx

ì

опт

ï

dt

í

)t(dp

ï ï

dt

î

-=

),t(Sp)t(Ax

, (6.34)

T

--=

),t(pA)t(Qx

где S = BR-1BT.

Оптимальную траекторию движения системы можно получить разрешением сопряженной системы уравнений (6.34) в матричном виде. Введем замену переменных х1 = z1, х2 = z2, p1 =

z3, p2 = z4, тогда (6.34) имеет вид:

dz

ö

æ

1

÷

ç

dt

÷

ç

dz

÷

ç

2

æ

÷

ç

dt

ç

=

÷

ç

dz

ç ç

dz

ç ç è

ç

3

÷

dt

÷ ÷

4

÷

dt

ø

--

è

z

æ

ö

æ

1

ç

÷

ç

-

z

SA

ö ÷

T

÷

AQ

ø

ç

÷

ç

2

=

ç

÷

ç

z

3

ç

÷

ç

÷

ç

z

4

è

ø

è

--

----

z

ssaa ssaa aaqq aaqq

ö

æ

ö

1

12111211

÷

ç

÷

z

÷

ç

÷

2

22212221

21111211 22122221

ç

÷

z

ç

÷

ç

÷

z

è

ø

. (6.35)

÷

3

÷ ÷

4

ø