Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Проверим точность выполнения условий:
(
)
¢
¢
(
)
(
)
[
]
¢
¢
x C1 C2, 0, ( ) 1.929 109-´=
H C1 C2, tk, ( ) 9.772- 107-´=
x C1 C2, tk, ( ) 0.5=
Значение критерия оптимизации для найденных экстремалей:
tk
ó
( )
ô
õ
0
+
2
tu C1 C2, t, ( )2x C1 C2, t, ( )
d 0.25=
Значение критерия для заданного времени tk=1 и найденных ранее констант C1=0,213; C2=-0,213:
1
ó
( )
ô
õ
0
+
2
tu C1 C2, t, ( )2x C1 C2, t, ( )
d 0.329=
Как видно из сравнения, при произвольном конечном
времени значение минимизируемого критерия ниже, чем при
жестко заданной границе.
Задача Майера
Задача Майера является частным случаем задачи Больца,
когда функционал состоит только из терминальной части. Задача Майера формулируется следующим образом.
Для объекта, описываемого системой дифференциальных
уравнений вида
,n...1i,0u,u,x,x,t
F
i
==
изопериметрическими зависимостями
t
к
ò
t
н
( )
q
q
r,1qconst;ldtu,x,tf
===
,
и алгебраическими уравнениями
,
nh,h...1k,0u,x,t
k
<==j
найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траекторию
x(t), обеспечивающие минимум критерия оптимальности
= ,
t,t),t(x),t(x),t(x),t(xgu,xJ
кнкнкн0
при переводе объекта из начального состояния в конечное за
заданное или произвольное время, причем одна или обе границы
121
122
могут быть не фиксированы, а включены в терминальную часть
[
]
¢
(
)
критерия и (или) заданы гиперповерхностями:
0t,t),t(x),t(xg
=
, j=1...p.
кнкнj
Задача решается аналогично задаче Больца с помощью функций
Лагранжа или Гамильтона и дополнительной функции (4.16):
p
[ ]
n=
å
=
0j
,
t,t),t(x),t(xgG
кнкнjj
используемой в условиях трансверсальности.
Поскольку подынтегральная часть равна нулю, она отсутствует и в функциях Лагранжа (4.4) и Гамильтона (4.8).
Для поиска неизвестных постоянных в экстремалях используются граничные условия (если они заданы) и условия
трансверсальности (4.29) – (4.32), восполняющие отсутствующие граничные условия, выведенные для задачи Больца: уравнения (4.29) и (4.30) при использовании функций Лагранжа и
незакрепленной верхней и нижней границах, соответственно;
уравнения (4.31), (4.32) – при использовании функции Гамильтона.
Пример 4 . Задача Майера. Для объекта управления, за-
данного дифференциальным уравнением вида
)t(u)t(x)t(x +=
,
найти оптимальную траекторию и оптимальное управление,
осуществляющее перевод объекта из начального состояния
в конечное 1)t(x
00x =
mintJ
®= .
k
= за минимальное время
k
Затраты энергии на перевод объекта ограничены
t
k
2
ò
0
=
.
415,2dt)t(u
Решение. Поскольку одно из ограничений задачи нели-
нейно, поэтому свести исходную задачу к задаче безусловной
оптимизации невозможно. Однако задача может быть решена
методом неопределенных множителей Лагранжа и с применением функции Гамильтона.
Способ 1. Решение с использованием функции Ла-
¢
()()()()()()(
)
x
¶
xLdt
¶
u
¶
u
¶
uFdt
¶
(
)
¢
(
)
¢+¢
¢
()(
)
¢+¢
¢
¢
гранжа. Задача имеет два ограничения. Для составления функ-
ции Лагранжа воспользуемся только подынтегральной частью
изопериметрического ограничения, а ограничение в виде дифференциального уравнения перепишем в виде «равенства нулю»
0)t(u)t(x)t(x =--
.
В функции Лагранжа.
y=y
¢
1
2
tututxtxt,u,xL
l+-+
коэффициент λ перед интегральной частью изопериметрического ограничения представляет собой постоянную величину (см.
главу 3). Найдем критические точки функции Лагранжа из уравнений Эйлера-Лагранжа
¶
ì
ï
ï
¶
í
¶
ï
ï
¶
î
¶
L
d
L
-
x
L
-
u
=
,0
¢
¶
x
dt
¶
L
d
=
.0
¢
¶
u
dt
Рассчитаем частные производные, входящие в уравнение Эйлера-Лагранжа,
L
¶
x
¶
L
¶
)t(
y=
, )t(
1
l+y-=
1
L
¶
L
)t(u2)t(
, 0
¶
y=
, )t('
1
¢
=
, 0
¢
d
d
y=
,
1
¢
¶
=
,
¢
¶
тогда получаем следующую систему уравнений, дополненную
уравнением ограничения
=y-y
ì
ï
í
ï
¢
î
11
1
Из второго и третьего уравнений системы выразим )t(
l=y
1
,0)t(')t(
=l+y-
,0)t(u2)t(
=+
).t(u)t(x)t(x
y
1
)t(u2)t(
l=y
1
)t(x)t(x2)t(
+
продифференцируем его
1
l=y
)t(x)t(x2)t('
и подставим в первое уравнение
l ,
l-+
0)t(x)t(x2)t(x)t(x2 =
123
124
откуда получаем
¢
¢
¢
(
)
()()()()()()(
)
()()(
)
¢
()(
)
(
)
. (4.37)
0)t(x)t(x =-
Характеристическое уравнение для решения однородного
дифференциального равнения второго порядка имеет вид
2
01p
=- ,
его корни 1p
= , 1p2-= . Решение однородного дифференци-
1
ального уравнения имеет вид
t
1
t
-
eCeC)t(x
+= . (4.38)
2
Тогда оптимальное управление
= ,
1
)t(x)t(x)t(u +
t
t
t
2
1
t
--
2
t
eC2eCeCeCeC)t(u =++-=
. (4.39)
1
Для поиска постоянных времени C1, C2 и конечного времени
t в решении требуются граничные условия
k
, 1)t(x
00x =
и условие трансверсальности для произвольного времени
() ()
-
¢
txtL
=
k
t
k
tt
=
к
¶
+
¶
G
t
к
0
=
.
L
¶
кк
¢
x
¶
Уравнения, записанные на основе граничных условий,
имеют вид
,0CC
=+ (4.40)
21
t
1
t
-
kk
1eCeC
=+
2
. (4.41)
Рассчитаем отдельно слагаемые в условии трансверсальности.
Для первого
y= .
В силу того, что
k
¢
2
eC4tutL l=l= .
1k
t2
k
kkkk1k
=-+
kkk
2
tututxtxttL l+-+
0tutxtx
, получаем
k
Для второго слагаемого
¶
L
¢
() () ()
tx
к
¢
¶
x
=
t
1
tt
к
2
t
-
¢
1
t
¢
=y
к1к
1
=l
)t(u2tx)t(tx
t22
kkkk
CC4eC4eC4eCeC
l-l=l-=
.
21
В третьем слагаемом G представляет собой сумму терми-
[
]
¶
(
)
l
l
нальной части функционала и верхнего граничного условия с
произвольным t
где ν
=1, ν1 – произвольная константа.
0
Производная 1
k
1)t(xt)t(G
-n+n= ,
k1k0k
G
=
.
t
¶
k
Окончательно получаем следующее условие трансверсальности
t22
1
t22
kk
1
01CC4eC4eC4
=+l-l-l
21
или
01CC4
=+l . (4.42)
21
Поскольку в условии трансверсальности содержится неизвестная величина
, необходимо дополнительное уравнение для
нахождения четвертой неизвестной. Воспользуемся изопериметрическим ограничением, предварительно его упростив,
t
0
t
kk
2
òò
0
t22
1
t
k
t22
1
0
t22
k
1
Поиск четырех неизвестных величин
2
415,2C2eC2eC2dteC4dt)t(u
=-===
1
C ,2C ,
1
. (4.43)
,
t тре-
k
бует решения системы из четырех нелинейных уравнений приближенными методами с использованием стандартных математических пакетов:
=+
ì
ï
t
ï
1
í
ï
ï
1
î
,0CC
21
-
t
kk
=+
2
21
t22
k
,1eCeC
=+l
,01CC4
2
=-
1
.415,2C2eC2
(4.44)
Решение системы уравнений (4.44) в MathCad будет пред-
ставлено ниже.
Способ 2. Решение с использованием функции Га-
мильтона. Для удобства решения введем замену функций:
t
)t(x)t(x1= ,
2
ò
0
=
,
)t(xdt)t(u
2
125
126
Тогда, заменив в дифференциальном уравнении ограничений
¢
¢
()()()()()(
)
0)t(u)t(x)t(x =-+
функцию х на х1 и продифференцировав уравнение
t
2
ò
0
=
по t, получим систему уравнений первого поряд-
)t(xdt)t(u
2
ка в форме Коши
)t(u)t(x)t(x
+=
11
¢
2
2
=
,
)t(u)t(x
.
С учетом введенных обозначений составим функцию Га-
мильтона
2
y+-y= .
tuttx)t(utu,xH
211
Запишем сопряженную систему уравнений
¶
H
ì
ï
¶
ï
ï
í
¶
ï
ï
¶
ï
¶
î
y¢-=
,
x
¶
H
x
H
u
1
1
y¢-=
,
2
2
=
.0
Подставим частные производные функции Гамильтона в
левую часть сопряженной системы уравнений и дополним ее
уравнениями ограничений:
y¢-=y-
ì
ï
y¢-=
ï
2
ï
ï
ï
¢
í
ï
ï
t
k
ï
2
ï
ò
ï
0
î
Из второго уравнения системы следует, что const
Выразим из третьего уравнения )t(
),t()t(
11
),t(0
21
+-=
=
)t(u2)t(
y-=y ,
21
=y+y
,0)t(u)t(2)t(
),t(u)t(x)t(x
.415,2dt)t(u
=y .
2
y :
1
продифференцируем
¢
¢
¢
¢
¢+¢=+¢
¢
¢
(
)
¶
)t(u2)t(
y-=y
21
и подставим в первое уравнение системы
)t(u2)t(u2
y=y
22
или
)t(u)t(u¢= .
В силу дифференциального уравнения, описывающего
объект,
= ,
)t(x)t(x)t(u +
полученное выражение приобретает вид
))t(x)t(x()t(x)t(x
,
откуда получаем уравнение (4.37)
,
0)t(x)t(x =-
решение которого (4.38) было найдено в методе неопределенных множителей Лагранжа выше:
t
1
-
eCeC)t(x
+= .
2
t
Оптимальное управление (4.39) было также выведено в
предыдущем способе решения
t
eC2)t(u = .
1
Неизвестные постоянные интегрирования и конечное вре-
мя в решении находятся из граничных условий
, 1)t(x
00x =
= ,
k
заданных по условию задачи, условия трансверсальности для
случая произвольного времени t
( )
u,x,tH
kk
G
-=
t
¶
к
k
и изопериметрического ограничения
t
k
2
ò
0
=
.
415,2dt)t(u
127
128
Таким образом, требуется разрешить систему уравнений вида
(
)
()()()(
)
()()()(
)
(
)
(
)
[
]
¶
=
=
k
( )
kk
k
2
ò
0
,00x
,1)t(x
¶
G
-=
u,x,tH
¶
t
к
=
.415,2dt)t(u
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
t
ï
ï
ï
î
Первое и второе уравнения системы имеют вид (4.39), (4.40):
,0CC
=+
21
t
1
t
-
kk
1eCeC
=+
2
.
Левая часть третьего уравнения представляет собой следующее
выражение
2
=y+-y=
tutx)t(uu,xH
k
=
tt
k
t
12
t
12
t
1
t
1
t
1
t
2
2kk1
2
=y+-y-=
tutx)t(utu2
k
2kkk2
-
t
2
t22
--
kkkk
22
t22
kkkkk
=y+--y-=
eC4eCeCeC2eC4
12
y=y+-y-=
.CC4eC4eCeCeC4
212
Правая часть условия трансверсальности является частной
производной по времени от дополнительной функции G:
1)t(xt)t(G
-n+n= , 10=n ,
k1k0k
G
и 1
=
.
t
¶
k
Таким образом, третье уравнение системы - условие
трансверсальности имеет вид
1CC4
-=y
212
и практически совпадает с (4.41) с точностью до обозначений.
Изопериметрическое условие было преобразовано ранее в предыдущем способе (4.42)
t22
1
Поиск четырех неизвестных величин
2
k
=- .
1
415,2C2eC2
C ,2C ,2y ,kt тре-
1
бует решения системы из четырех нелинейных уравнений при-
ближенными методами с использованием стандартных матема-
¢
(
)
0
0
тических пакетов. Выполним решение в MathCad.
=+
ì
ï
t
ï
1
í
ï
ï
1
î
,0CC
21
-
t
kk
=+
2
212
t22
k
,1eCeC
-=y
,1CC4
2
=-
1
.415,2C2eC2
Решение с использованием функции Гамильтона в
MathCad. С учетом введенной выше замены переменных
)t(x)t(x1= ,
t
k
2
ò
0
)t(xdt)t(u
=
2
и преобразованных уравнений ограничений
)t(u)t(x)t(x
+=
11
¢
2
2
=
,
)t(u)t(x
составим функцию Гамильтона
H tx1, u, y1, y
( )
,
2
y1ux
-
× y2u
( )
1
2
×+:=
Запишем сопряженную систему уравнений
d
Htx1, u, y1, y
( )
x
d t
1
d
Htx1, u, y1, y
( )
x
d t
2
d
Htx, u, y, y
( )
u
d
,
,
,
0
2
2
d
y
-
1
d
d
y
-
2
d
Найдем частные производные функции Гамильтона:
d
Htx1, u, y1, y
( )
x
d
1
d
Htx1, u, y1, y
( )
x
d
2
,
,
2
2
y1-®
®
129
130
d
2
0
èöø
Htx1, u, y1, y
( )
u
d
,
y12u× y
2
×+®
Запишем систему сопряженных уравнений, дополненную
уравнением объекта:
xt()
t
-
d
d
t
d
d
d
d
y2t()
xt()-
ut() xt()-
y1t()ty1t()
0
y1t() 2u× y2t()×+
ut()txt()
d
d
Из второго уравнения следует
const
=y
2
Из третьего уравнения выразим y
y1t() 2-y
× ut()×:= y
2
2
1
продифференцируем
d
d
t
y1t()
2-y
d
×tut()
×®
2
d
и подставим в первое уравнение системы
2 y2× ut()× 2 y2×
d
ut()
×
t
d
Откуда получаем
d
ut()tut()
d
Выразим из уравнения ограничения )t(u
d
ut()
æ
:= x
t
d
xt()
xt()+
Продифференцируем и выполним подстановку
d
ut()
t
d t
d
d
xt()
2
d
xt()
+®
2
t
d
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]