Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
тогда
(
)
¢+¢
¢-+¢
¢
¢
()(
)
(
)
t
к
() ( )
=
ò
t
н
2
¢
[ ]
-
2
¢
min)1(xdt)t(x)t(x)t(x2)t(xxJ
®-+
.
Экстремум полученного функционала находится из уравнения Эйлера.
F
d
F
¶
¶
¶
-
dt
x
¶
,
0
=
¢
x
где
¢
=
-
2
¢
2
¢
)t(x)t(x)t(x2)t(x)x,x(F
+
Найдем частные производные, входящие в уравнение Эйлера,
F
¶
x
¶
F
¶
x
¶
¢
-=
¢
=
¢
)t(x2)t(x2
+
-
,
F
d
)t(x2)t(x2
, )t(x2)t(x2
¶
x
dt
¶
¢¢
=
¢
¢
-
,
откуда получаем
-
0)t(x2)t(x2)t(x2)t(x2 =
или
0)t(x)t(x =-
.
Характеристическое уравнение для решения однородного
дифференциального равнения второго порядка имеет вид:
2
его корни 1p
0)1p(
=- ,
= , 1p2-= . Решение однородного дифференци-
1
ального уравнения имеет вид:
t
1
t
-
eCeC)t(x
+= . (4.35)
2
В силу (4.33) и (4.35) получаем
t
¢
= ,
t
-
eC2)t(u
-= . (4.36)
2
t
1
t
2
---=-
1
t
--
eCeCeCeCtxtx)t(u
2
Для поиска неизвестных постоянных интегрирования в
решении (4.35) требуется начальное условие на левой границе
, заданное по условию задачи, и условие трансверсально-
00x =
111
112
сти для случая фиксированного времени 1t
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
4
2
[
]
правого конца
=
ì
ï
¶
í
0
ï
¶
î
где )1(x)1(x(g
0
-= - терминальный член функционала.
.
1x
,00x
¶
F
))1(x(g
+
)1(x
=
¢
¶
x
,0
=
1t
= и свободного
к
Найдем отдельно частные производные, входящие в условие трансверсальности:
¶
F
¶
=
¢
x
¶
1t
=
))1(x(g
0
¶
[ ]
=
)1(x
¢
))1(x(
-¶
¶
1
-=
)1(x
t
t
1
1t
=
t
2
1
t
--
2
1t
=
1
-
eC4eCeCeCeC2)t(x2)t(x2
-=---=-
2
Условия для поиска неизвестных постоянные времени имеют
вид:
e
21
e
-==+,
4
,0CC
откуда
=
ì
ï
í
ï
î
,00x
-
1
=--
2
или
.0eC41
ì
ï
í
C
2
ï
î
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
,
C
1
4
e
-==.
C
2
4
Оптимальная траектория (4.35) движения объекта имеет вид:
e
)t(x
tt
-
ee
-= ,
оптимальное управление (4.36):
e
t
e
)t(u-= .
Способ 2. Решение с использованием функции Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
2
¢
y+= .
)t(u)t(x)t(x)t()t(u)u,x(L
--
Найдем ее критические точки из уравнений ЭйлераЛагранжа:
¶
ì
ï
ï
¶
í
¶
ï
ï
¶
î
¶
L
d
L
-
x
L
-
u
=
,0
¢
¶
x
dt
¶
L
d
=
.0
¢
¶
u
dt
Рассчитаем частные производные, входящие в уравнение Эйле-
=
y
¢
¢+¢-¢
¢
¢
¢
(
)
(
)
(
)
ра-Лагранжа:
L
¶
x
¶
L
¶
u
¶
)t(
y-=
, )t(
y-=
L
¶
x
¶
L
¶
)t()t(u2
, 0
u
¶
y=
¢
¢
, )t('
=
, 0
L
d
¶
y=
¢
x
dt
¶
F
d
¶
¢
u
dt
¶
,
=
,
тогда получим следующую систему уравнений:
=y-y-
ì
í
î
,0)t(')t(
=y-
,0)t()t(u2
и дополним ее уравнением ограничения (4.33)
=y+y
ì
ï
í
ï
¢
î
,0)t()t('
=y-
,0)t()t(u2
+=
)t(u)t(x)t(x
Из второго и третьего уравнений системы вытекает
),t(u2)t(
=y
).t(x2)t(x2)t( -
Дифференцируя второе уравнение и подставляя в первое
уравнение системы, получаем
0)t(x2)t(x2)t(x2)t(x2 =-
или
.
0)t(x)t(x =-
Это же уравнение было получено при решении первым
способом. Его решение (4.35 ) – оптимальная траектория объекта
t
1
-
eCeC)t(x
+= .
2
t
Для поиска неизвестных постоянных интегрирования в
решении (4.35) используем начальное условие на левой границе
, заданное по условию задачи, и условие трансверсаль-
00 =x
ности для случая фиксированного времени 1t
правого конца
=
ì
ï
¶
í
0
ï
¶
î
где )1(x))1(x(g
0
:
1x
,00x
))1(x(g
¶
F
+
)1(x
=
¢
¶
x
,0
=
1t
-= - терминальный член функционала.
= и свободного
к
113
114
Найдем отдельно частные производные, входящие в усло-
[
]
(
)
(
)
4
2
()()()()(
)
вие трансверсальности,
¶
¶
¶
))1(x(g
0
¶
L
¢
x
=
)1(x
=
1t
1
))1(x(
-¶
)1(x
¶
[ ]
=l=
t
t
2
1
-=
,
¢
t
1
=-
)t(x2)t(x2)t(
==
1t1t
t
--
2
1t
=
1
-
.
eC4eCeCeCeC2
-=---=
2
Условия для поиска неизвестных постоянные времени
имеют вид:
e
21
e
-==+,
4
,0CC
откуда
=
ì
ï
í
ï
î
,00x
-
1
=--
2
или
.0eC41
ì
ï
í
C
2
ï
î
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
,
C
1
4
e
-==.
C
2
4
Оптимальная траектория (4.35) движения объекта имеет вид:
e
)t(x
tt
-
ee
-= ,
оптимальное управление (4.36):
e
t
e
)t(u-= .
Способ 3. Решение с использованием функции Гамильтона. Составим функцию Гамильтона:
2
0
tutxtuu,xH
+y+y= .
Запишем сопряженную систему уравнений
¶
H
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Примем
y¢-=
¶
x
¶
H
¶
u
,
=
.0
. Найдем частные производные функции
10=y
Гамильтона и подставим в сопряженную систему
y¢-=y
ì
í
î
),t(
=y+
.0)t()t(u2
Дополним полученную систему уравнением ограничения:
2
(
)
¢
(
)
¢-¢
¢
¢
()(
)
¢-¢-¢
¢
¢
¢
(
)
(
)
(
)
¢
ì
ï
í
ï
¢
î
=y+y
,0)t(
=y+
,0)t()t(u2
+=
).t(u)t(x)t(x
Выразим из второго и третьего уравнений )t(u :
ì
ï
í
ï
î
1
y-=
)t(u
=
),t(
2
¢
-
).t(x)t(x)t(u
Из равенства левых частей вытекает равенство правых
частей уравнений
1
¢
=y- .
)t(x)t(x)t(
-
Выразим из последнего уравнения )t(y
,
-=y
)t(x)t(x2)t( -
продифференцируем
,
-=y
)t(x)t(x2)t(
и подставим в первое уравнение системы
,
-
0)t(x)t(x2)t(x)t(x2 =-
откуда снова получаем уравнение
.
0)t(x)t(x =-
Его решение (4.35) (найдено выше в первом способе) - оп-
тимальная траектория изменения координаты объекта )t(x :
t
1
-
eCeC)t(x
+= .
2
t
Неизвестные постоянные интегрирования в решении
(4.35) находятся из начального условия на левой границе
, заданного по условию задачи, и условия трансверсаль-
00x =
ности для случая фиксированного времени 1t
правого конца
=
ì
ï
í
=y
)1(
ï
î
:
1x
,00x
¶
))1(x(g
0
¶
,
)1(x
= и свободного
к
115
116
где )1(x))1(x(g
[
]
[
]
(
)
(
)
4
2
(
)
)
1
0
0
-= - терминальный член функционала.
Поскольку
¢
-=y
t
t
1
¶
0
)1(x
¶
t
1
2
))1(x(g
=
))1(x(
-¶
¶
-=
)1(x
=-
)t(x2)t(x22)t(
== 1t1t
t
--
2
1t
=
1
,
1
-
,
eC4eCeCeCeC2
=----=
2
то условия для поиска неизвестных постоянных времени имеют
вид:
e
21
e
-==+,
4
,0CC
откуда
или
ì
ï
í
C
2
ï
î
=
ì
ï
í
ï
î
,00x
-
1
=
1eC4
2
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
,
C
1
4
e
-==.
C
2
4
Оптимальная траектория (4.35) движения объекта имеет вид:
e
)t(x
tt
-
ee
-= ,
оптимальное управление (4.36):
e
t
e
)t(u-= .
Решение с использованием функции Гамильтона в
MathCad. Составим функцию Гамильтона:
H tx, u, y, y
( )
Примем
,
0
y
0
y0u
:=
2
× y xu+(
×+:=
Запишем сопряженную систему уравнений
d
Htx, u, y, y
( )
x
d t
d
Htx, u, y, y
( )
u
d
,
,
0
0
d
y
-
d
Найдем частные производные функции Гамильтона
d
Htx, u, y, y
( )
x
d
d
Htx, u, y, y
( )
u
d
,
,
0
0
y®
y 2u×+®
Запишем систему сопряженных уравнений, дополненную
)
èöø
0
ø
уравнением объекта,
xt()
t
-
d
d
ut(
y
t
y t()
yt() 2 ut()×+ 0
d
d
Выразим из второго и третьего уравнений )t(u
ut()
y t()
-
2
d
ut()txt()
d
xt()-
откуда следует
y t()
-
2
d
d
xt()
t
xt()-
тогда
d
y t() 2-txt()
æ
:= xx
d
xt()-
Продифференцируем полученное выражение
d
d
y t()
t
d
2txt()
× 2
d
2
d
xt()
×-®
2
t
d
и подставим в первое уравнение системы
d
æ
2txt()
d
è
ö
xt()-
ø
d
2txt()
× 2
d
2
d
xt()
×-
2
t
d
Откуда получаем следующее дифференциальное уравнение
2
d
d
t
xt()
2
x-
характеристическое уравнение которого
2
k
1- 0
Корни характеристического уравнения
1
æèö
1-
117
118
Решение дифференциального уравнения будем искать в виде
t
0
(
)
1
èöø
1
1
(
)
xt()C1e
t
× C2e
1
×+:= C
-
Определяем неизвестные постоянные времени из левого
граничного условия
x0()0 C1C
®
+
2
и правого условия трансверсальности
y 1()
d
x
d
k
Gx
()
k
Найдем обе части условия трансверсальности отдельно
Gkx
xk-:=
k
d
x
d
k
Gkx
()
k
-®
Для поиска левой части используем полученную ранее зависимость
d
y t() 2-txt()
æ
:= x
d
xt()-
тогда
y 1() 4C
-
× e
×®
2
Приравнивая полученные левые и правые части условия
трансверсальности
4C
× e1-×
2
получаем значение постоянной времени С
C24C
Из левого граничного условия находим значение С
C1C1C2+ 0 solve
-
× e1-× 1-solve
2
®:=
2
e
-®:=
4
1
e
4
Оптимальная траектория и оптимальное управление (рис. 4.3):
d
d
e
4
×:=
xt()
ut()txt()
etet--
xt()-
eet-×
®:=
2
2
[
]
[
]
1.5
xt()
1
ut()
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
t
Рис. 4.3. Оптимальная траектория и оптимальное управление
для примера 3
Значение функции в конечной точке равно x(1)=1.597, ве-
личина критерия
1
ó
ô
õ
2
tut()
dx1()- 0.799-=
0
Задача Лагранжа при незакрепленных границах
Если одна или обе границы не заданы численно как и в за-
даче Больца, для восполнения недостающих граничных условий
необходимо воспользоваться условиями трансверсальности
(4.29) – (4.32).
Так, если в примере 1 время конечное не будет задано,
т. е. достижение конечной точки может произойти за произвольное время tk, верхняя граница x(tk)=0.5, то в случае использования функции Гамильтона дополнительное условие трансверсальности (4.31) запишется как
G
¶
)t(H
к
,
-=
t
¶
k
где
() ()
0
-×=
k
22
5,0)t(xvG
.
()()
y++y=
1
tuttxtu)u,x(H
,
Частная производная от G по tk будет равна нулю, т. к. в
функции для G эта переменная не входит непосредственно (она
является аргументом другой функции – x). Условие трансверсальности в этом случае будет записано как
119
120
[
]
()(
)
2
t
t
t
2
0.2
0.2
Given
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
ç
ç
÷
÷
æ
ç
è
ö
÷
ø
0k
2
() ()
k
k
1
0tuttxtu)t(H
=y++y=
.
kk
Это уравнение совместно с граничными условиями x(0)=0;
x(tk)=0,5 позволит найти конечное время tk и неизвестные посто-
янные С
, С2 в выражениях для x(t) и u(t).
1
Используя выражения для функций x(t), u(t), y1(t), полученные в примере 1, а также записанное выше условие трансверсальности, решим задачу из примера 1 в Mathcad при произвольном кон ечном времени:
x C1 C2, t, ( ) C1et× C2e
u C1 C2, t, ( ) C1et× C2- e
y1 C1 C2, t, ( ) 2- C1e
-
×+:=
-
×+:=
t
× 2C2e
×+:=
-
H1 C1 C2, tk, ( ) u C1 C2, tk, ( )2x C1 C2, tk, ( )
H C1 C2, tk, ( ) H1 C1 C2, tk, ( ) y1 C1 C2, tk, ( ) u C1 C2, tk, ( )×+:=
+:=
Решение будем искать численно, поэтому зададим начальные приближения искомым величинам произвольно:
C1
:= C2
-:= tk1:=
Озаглавим блок Given, запишем условия поиска неизвест-
ных и процедуру поиска:
x C1 C2, 0, ( ) 0
C1
C2
tk
Find C1 C2, tk, ( ):=
x C1 C2, tk, ( ) 0.5 H C1 C2, tk, ( ) 0
Результатом поиска является вектор, содержащий константы и конечное время,
C1
æ
C2
tk
è
ö
ø
=
ç
4.943 10
4.943- 10
6.919
4-
´
4-
´
÷
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]