Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
41
Откуда
(
)
(
)
2
2
(
)
2
'
x
x
¢
¢
()
()
1C0x
== ,
4
1C0'x
== ,
3
1
1
C
C1x
C1'x
6
1
2
321
=++= .
2CC
=+++= ,
4321
1CC
Подставляя С
C
C
найдем 0CC
1
C
21
6
1
21
, С
в последние два уравнения
3
4
1
0
=+ или 0C
2
0C
=+ ,
== .
21
1
C
=+ ,
21
3
Решение будет равно
1ttx += .
Замечание. Первое слагаемое под интегралом функцио-
нала, равное
2
t , не влияет на искомую экстремаль, так как инте-
грал может быть записан отдельно для каждого слагаемого
2
1
+=
òò
0
()( )
2
dtt''xdttI ,
1
0
и первый интеграл равен постоянному значению. Прибавление
же константы к функционалу или умножение его на константу
не равную нулю не влияет на искомую функцию, обеспечивающую экстремум (экстремаль).
Решение примера 4 в MathCad. Запишем подынтеграль-
ное выражение функционала:
F tx, x', x'', ( )t
2
+:=
x''()
Уравнение Эйлера-Пуассона:
d
Ftx, x', x'', ( )
x
d t x'
ddd
-
Ftx, x', x'', ( )
d
Найдем частные производные F по х,
2
ddd
2
x''
t
d
Ftx, x', x'', ( )
,
:
+ 0
42
d
æ
çèö
÷
ø
0
(
)
Ftx, x', x'', ( )
x
d
d
Ftx, x', x'', ( )
x'
d
d
Ftx, x', x'', ( )
x''
d
0®
0®
2 x''×®
Так как первые два слагаемых уравнения Эйлера-
Пуассона равны нулю, достаточно вычислить полную произ-
водную второго порядка от
2
ddd
Ftx, x', x'', ( )
2
x''
t
d
¶
:
''xF¶
2
d
2 x''×( )
2
t
d
или
d
d
2
2
t
2
d
2
xt()
×
2
t
d
2
4
d
xt()
×®
4
t
d
Уравнение Эйлера-Пуассона представляет собой одно-
родной дифференциальное уравнение четвертого порядка:
4
d
2
xt()
× 0
4
t
d
Его характеристическое уравнение
4
k
имеет четыре нулевых корня. Тогда решение дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона имеет вид:
2
321
3
tCtCtCC:tx ×+×+×+=
4
Для определения неизвестных констант интегрирования
С
, С2, С3, С4: найдем х':
1
¢
()
d
:tx +××+××®=
dt
4
2
CtC2tC3)t(x
23
43
и запишем граничные условия:
(
)
(
)
(
)
¢
(
)
¢
(
)
1C10x
=®=
1
2CCCC21x
=+++®=
4321
1C10x
=®=
2
1C3C2C11x
=×+×+®=
432
Из первого и третьего уравнения получили
1:C1= 1:C2=
Выразим из второго уравнения С
:
3
CC,solve2CCCC -®=+++
434321
С учетом полученной зависимости
CC -=
43
Определяем из последнего уравнения значение С
0C,solve1C3C2C
®=×+×+ 0:C4=
4432
Находим значение С
C:C -= 0C3=
43
:
3
:
4
Строим график решения (рис. 2.5). Задаем значения аргу-
мента и формируем выражение для расчета экстремали:
t 0 0.1, 1..:=
2
321
3
tCtCtCC:tx ×+×+×+=
4
2
1.8
1.6
xt()
1.4
1.2
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Рис. 2.5. Экстремаль примера 4
44
Задача со свободным концом
Задача вариационного исчисления для функционала, зави-
сящего от функции одной переменной и её производной
t
к
¢
=
ò
t
н
( )
®
extrdtx,x,tF)x(J .
с естественными граничными условиями отличается от рассмотренных ранее задач тем, что граничное условие задано
только на одном конце, например на левом: x(tн)=xн. Значение
функции x(tк) на другом конце t
может быть произвольным и
к
граничные условия заданы следующим образом:
x(tн)=xн,
tк=Т.
В такой постановке задачи экстремум функционала ищется на классе функций с закреплённым левым концом (δx(tн) = 0)
и свободным правым (δx(tк) ¹ 0). То есть в более широком клас-
се, чем в рассмотренном ранее классе функций с двумя закреплёнными концами.
Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации: dJ=0. Если функционал J(x)
достигает экстремума на классе функций с произвольным значением x( tк), то он тем более будет достигать экстремума на более узком классе функций с неподвижной правой точкой. Следовательно, экстремаль задачи должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера (2.5).
Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное
уравнение второго порядка. Для его решения требуется два граничных условия. Граничное условие на левом конце известно:
x(tн)=xн. Недостающее правое граничное условие найдем из необходимого условия экстремума: dJ=0.
Вычислим вариацию функционала и приравняем её нулю.
Разложим подынтегральную функцию F в ряд Тейлора и ограничимся только линейными членами:
45
t
(
)
к
xdt
¢
dtx,x,tFxx,xx,tFxJ
=
t
к
F
¶
¢
.dtx
+d
d
òòò
¢
x
¶
t
н
¢
() ( )( )( )
ò
t
н
t
к
F
¶
æ
=
ç
x
¶
è
t
н
F
¶
x
+d
x
¶
¢
-
d+=d
d
¢
d+
t
к
F
ö
¢
÷
ø
¶
dtx
=
x
¶
t
н
Проинтегрируем второе слагаемое полученного выражения по частям:
t
к
ò
¶
t
н
=
t
-
t
¶
F
¢
x
F
¶
¢
x
¶
к
d
dt
н
¢
d
F
¶
x
¶
dtx
t
t
¢
ì
ï
=
í
ï
î
к
н
xdt
du
dt
t
ò
t
н
к
=d
u
d-d×
=
=
d
xx
dt
F
¶
x
¶
¶
F
¶
x
d
dt
¶
¶
¢
=
¢
¶
F
¢
¶
x
F
¢
x
tt
к
dt
=
d=u
F
¶
¢
x
¶
= 43421
t
()
tx
-d×
к
t
dx
¢
dtxd
dt
()
ò
¶
() ()
tx
-d×
tt
к
к
d
¶
òò
dt
¶
н
¶
F
.xdt
d
¢
x
() ()
d=d=u
xxd
F
tx
нк
¢
x
0
=
Полученное выражение подставляем в (2.16), получаем
t
к
F
¶
æ
ç
ò
x
¶
è
t
н
F
d
¶
-
ö
÷
¢
x
dt
¶
ø
xdt
F
¶
+d
()
¢
x
¶
0tx
=d
. (2.17)
tt
=
к
Поскольку в (2.17) выражение под интегралом представ-
F
d
F
ляет собой уравнение Эйлера, то 0
¶
¶
¶
-
x
=
. Тогда из усло-
¢
x
dt
¶
вия равенства нулю выражения (2.17) вытекает
F
¶
x
¶
¢
tt
=
к
()
0tx
=d
к
.
В силу произвольности вариации функции на правом конце
0txк¹d , получаем недостающее второе граничное условие
F
¶
¢
x
¶
0
=
. (2.18)
tt
=
к
(2.16)
ü
d=d=d=
xddxdt
ï
=
ý
ï
þ
-d×
46
Полученное граничное условие называется естественным.
xFdtdx
¶
¶
[
]
(
)
()()(
)
Таким образом, поставленная задача заключается в следующем.
Если из всех экстремалей, полученных решением уравнения Эйлера
F
-
¶
0
=
,
¢
¶
удовлетворяющих заданному граничному условию слева
0)t(x
=
н
и различным граничным условиям справа, выбрать функцию,
доставляющую экстремум функционалу, то эта функция будет
удовлетворять естественному граничному условию на правом
конце
F
¶
¢
x
¶
0)t(
=
.
к
Аналогично решается задача для функционала (2.9), зависящего от нескольких функций, если граничные условия заданы
только на одном из концов, например, на левом, недостающие
граничные условия на правом конце имеют вид:
F
¶
к
¢
x
¶
i
n,1i,0)t(
==
. (2.19)
Пример 5 . Найти функцию, обеспечивающую экстремум
функционала
p
2/
2
()( )
ò
0
-=
¢
2
dt)t(xtx)x(J ,
рассмотренного ранее в примере 1, при том же самом граничном
условии на левом конце,
1)0(x =
и незаданном граничном условии на правом конце 2/t
p= .
k
Решение. Для поиска экстремали задачи запишем уравнение Эйлера, обозначив подынтегральное выражение функцио-
нала как функцию
F
d
F
¶
x
¶
¶
æ
-
ç
dt
¶
è
ö
0
=
.
÷
'x
ø
22'
t'xtxx,xF -= :
Уравнение Эйлера было сформировано в примере 1:
47
(
)
0t''x2)t(x2 =+ ,
()()(
)
()()(
)
()()(
)
()()(
)
¢
(
)
()(
)
(
)
()()(
)
)
1
а затем там же было получено его решение:
+= .
tsinCtcosСtx
21
Константы С1 и С2 будем искать из граничного условия на
левом конце: 1)0(x = ,
10sinC0cosС0x
21
=+= , откуда 1C1= ,
и естественного граничного условия на правом конце
F
¶
¢
x
¶
0
=
.
5t
=
k
Ранее в примере 1 было найдено
F
¶
'x
¶
В силу того, что
()
t'x2
-=
.
+= , можно записать
+-=
tcosCtsinСtx
21
.
tsinCtcosСtx
21
Тогда
F
¶
¢
x
¶
k
Откуда
5t
=
С
2
()
k
21
5sin
()
5cos
0t'x2
=-=
=+- .
, откуда
05cosC5sinС
381,3)5(tg
-»== .
05'x = или
Экстремаль задачи с естественным граничным условием
имеет вид:
tsin)5(tgtcostx += .
Решение примера 5 в MathCad. Воспользуемся получен-
ным ранее решением примера 1. К имеющемуся расчету добавим следующее. Решение дифференциального уравнения, полученное ранее
xt( ) C1 cos t()× C2 sint(
×+:= C1
Определяем неизвестные С1 и С2 из граничного условия:
x0()1 C1
® C11:=
и необходимого условия экстремума, из которого вытекает второе граничное условие
48
d
2
)
(
)
)
)
)
)
d
где
x'
Ftkx, x',
( )
0
тогда
где
F tkx, x',
( )
d
Ftkx, x',
( )
x'
d
x't
()
k
k
для
tk5:=
2 x't
× 2 C2× cos5()× 2 sin5(
d
t
d
k
k
x2x'()
-:=
xt
()
k
получаем
2-x'×®
C2 cost
× C1 sint
()
k
×-®
×-®:=t
откуда граничное условие на правом конце
2 C2× cos5()× 2 C1× sin5()×- 0
2 C2× cos5()× 2 C1× sin5()×- 0solve C2, tan5(
C1 sin5()×
C2
:=
cos5()
Строим график решения (рис. 2.6)
xt()C1cost()× C2sint(
xgrt() C1 cost()× C2 sint(
xt()
×+:=
×+:=
4
2
(
k
®
xgrt()
Рис. 2.6. Экстремали примера 1 (x(t)) и примера 5 (xgr(t)).
0 1 2 3 4 5
2-
4-
t
49
Задача с подвижным правым концом
и
j(t
)
Найти экстремум функционала (2.1)
t
к
¢
=
ò
t
н
( )
®
extrdtx,x,tF)x(J ,
если на левом конце задано граничное условие: x(tн)=xн, а на
правом конце tк график функции проходит через точку Mк(t
к,хк
лежащую на заданной линии y=j(t) (рис. 2.7):
x
),
x( t)
x
н
t
н
Mк(tк,xк)
t
.
Рис. 2.7. Геометрическая интерпретация вариационной задач
с подвижным правым концом
Выведем необходимое условие достижения экстремума
функционала в задаче с подвижным правым концом. Если
функционал J(x) достигает экстремума в классе функций с варьируемой правой точкой Mк(t
), то он тем более будет дости-
к,хк
гать экстремума в более узком классе функций – с закрепленной
правой точкой. В этой связи экстремаль должна удовлетв орять
уравнению Эйлера (2.5).
Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное
уравнение второго порядка. Его решение содержит 2 произвольные постоянные C1 и C2, которые подлежат определению.
Кроме того, неизвестны обе координаты точки сопряжения Mк(tк,xк) экстремали x(t) и заданной кривой j(t). Для нахож-
дения этих четырех неизвестных имеются следующие условия.
50
1. По условию задачи задано граничное условие на левом
(
)
¢
конце: x(tн)=x
н.
2. С одной стороны известно, что экстремаль проходит
через неизвестную точку Mк(tк,xк), следовательно x(tk)=x
k.
3. С другой стороны точка Mк(tк,tк) принадлежит линии
ограничения, то есть xк=j(tк).
4. Недостающее четвёртое уравнение выведем из необхо-
димого условия экстремума dJ=0.
Вариация функционала вызывается вариацией функции
x(t), её производной x¢(t) и вариацией правой точки tк:
d+
tt
кк
() ( )( )( )
t
ò
t
ò
t
н
к
( )( )( )
н
tt
d+
кк
( )
ò
t
к
1
+-d+d+=
dt'x,x,tF'x'x,xx,tF
.JJdt'x'x,xx,tF
d+d=d+d++
2
=-d+d+=d
dt'x,x,tF'x'x,xx,tFxJ
В полученном выражении первое слагаемое было найдено
в задаче с естественными граничными условиями (см. выражение (2.17)), откуда следует
F
¶
J
1
x
d
=d . (2.19)
¢
x
¶
tt
=
к
Для вычисления второго интеграла воспользуемся теоремой о среднем, так как он вычисляется на малом участке. В силу
непрерывности подынтегральной функции с точностью до бесконечно малых высшего порядка этот интеграл равен
=d
tx,x,tFJ d
. (2.20)
кккк2
С учетом (2.19) и (2.20) необходимое условие экстремума
имеет вид
F
¶
JJJ
=d+d=d
21
¢
x
¶
tt
=
к
( )
+d
¢
0tx,x,tFx
=d
. (2.21)
кккк
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]