Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
найти оптимальное управление u(t), обеспечивающее оптималь-
(
)
(
)
¢+¢
¢
(
)
(
)
¢
(
)
¢
¢
¢+¢
¢
ное изменени е температуры на выходе от x0 до x
в соответствии
k
с граничными условиями
¢
ì
í
()
î
=
=
,x0x
0
,xtx
ì
í
¢
()
î
kkk
=
=
,00x
0tx
и минимальном расходе энергии
t
к
()
2
ò
t
н
mindt)t(uuJ
®=
.
2. Задача Больца. Функционал имеет как интегральную,
так и терминальную часть
t
к
() ( )
=
¢¢
кнкнкн0
+
ò
t
н
¢¢
dtu,u,x,x,tF)t,t),t(x),t(x),t(x),t(x(gu,xJ
.
Верхние и/или нижние границы, входящие в терминальную часть функционала, не фиксированы. Например, для теплообменника, описываемого дифференциальным уравнением
)t(ku)t(xa)t(xa)t(xa
=+
012
,
найти оптимальное управление u(t), обеспечивающее минималь-
ный расход энергии и минимальную скорость изменения температуры на выходе теплообменника в конце интервала времени
t
к
2
()
=
¢
[ ]
k
2
ò
t
н
mindt)t(u)t(xuJ
®+
при переводе значения температуры на выходе теплообменника
от
,x0x0=
до
00x =
за произвольное время.
xtx =
kk
3. Задача Майера. Функционал состоит только из терми-
нальной части
.
=
)t,t),t(x),t(x),t(x),t(x(gJ
кнкнкн0
Верхние или нижние границы экстремалей фиксированы только
если они не входят в терминальную часть функционала. Пример. Определить оптимальное управление траекторией изменения координаты объекта, описывающегося уравнением
)t(ku)t(xa)t(xa)t(xa
=+
012
,
91
92
обеспечивающее перевод координаты объекта из начального
(
)
¢
¢
(
)
состояния в конечное за минимальное время
mintt)t(J
®-=
нkk
при заданном расходе энергии
t
к
2
ò
t
н
bdt)t(u
=
.
Задача Лагранжа
Задача Лагранжа формулируется следующим образом.
Для объекта, описывающегося системой дифференциальных
уравнений вида (4.2)
,n..1i,0u,u,x,x,t
F
i
==
найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траекторию
x(t), обеспечивающие экстремум критерия оптимальности
t
к
() ( )
=
ò
t
н
и переводящие объект из начального состояния
нечное
за заданное или произвольное время при нали-
x)t(x =
кк
¢¢
dtu,u,x,x,tFu,xJ
в ко-
x)t(x =
нн
чии (или отсутствии) ограничений вида
t
к
ò
t
н
( )
q
q
r,1qconst;bdtu,x,tf
===
,
.
hv,h..1k,0u,x,t
k
<==j
Задача Лагранжа может быть решена с использованием
рассмотренных в главах 2 и 3 методов – сведением к задаче безусловной оптимизации и использованием уравнения Эйлера,
либо с использованием метода неопределенных множителей
Лагранжа.
Для реализации метода множителей Лагранжа записывают
функцию Лагранжа:
n
K
K
K
K
[
]
( ) ( )
y=
r
qq
1q
¢¢
å
h
åå
==
1k
Fy+
=
1i
jx+l+
ii0
)u,x,t()u,x,t(f
kk
¢¢
+
u,u,x,x,t)t(u,u,x,x,tFL
(4.4)
и поиск экстремалей проводят по уравнениям Эйлера (ЭйлераЛагранжа):
L
d
L
¶
x
¶
L
¶
u
¶
¶
(
-
dt
d
(
-
dt
0)
=
, n1i
'x
¶
ii
L
¶
'u
¶
jj
= ; (4.5)
, m1j
= , (4.6)
0)
=
где xly ,,
0
- коэффициенты Лагранжа, причем
y - коэффици-
0
ент, задаваемый произвольно, (обычно его принимают равным +1 или -1); )t(y – множители-функции Лагранжа.
Если функционал не содержит производных, т. е.
t
k
=
ò
t
н
dt)t,u,x(FJ
, либо это можно обеспечить введением новых
переменных, а дифференциальные уравнения ограничений можно записать в форме Коши:
*
)u,x('x
F= , n1i
ii
= ,
или в виде
*
i
=-F n1i
i
,0'x)u,x(
= , (4.7)
тогда система уравнений для поиска управляющих воздействий
может быть проще.
Подставим (4.7) в функцию Лагранжа (4.4)
n
( ) ()
1i
h
jx+
å
=
1k
kk
)u,x,t(
*
ii0
i
r
åå
==
1q
qq
+l+-Fy+y=
)u,x,t(f)t('xu,x)t(u,x,tFL
93
94
и перенесем слагаемые содержащие производные с правой части
K
K
в левую:
n
1i
r
1q
qq
ii
( ) ()
h
jx+l+
kk
åå
1k
==
n
åå
1i
==
.)u,x,t()u,x,t(f
*
ii0
u,x)t(u,x,tF)t('x)t(L
+Fy+y=y+
Функция, представленная правой частью последнего выражения и не содержащая производных, называется функцией
Гамильтона:
n
( ) ()
1i
h
jx+
å
1k
=
kk
.)u,x,t(
*
ii0
r
åå
1q
==
qq
)u,x,t(fu,x)t(u,x,tFH
+l+Fy+y=
(4.8)
Она связана с функцией Лагранжа зависимостью
n
,
)t('x)t(LH
ii
.
)t('x)t(HL
ii
или
n
å
=
å
1i
y+=
=
1i
y-=
Подставим выражение для L в систему уравнений Эйлера Лагранжа (4.5), (4.6) и, учитывая, что Н не содержит производных от x и u, получим
d
H
¶
dt
x
¶
i
H
¶
¶
, m1j
0
=
u
j
=y+
i
= ;
0)t(
, n1i
= ;
или
¶
H
ì
ï
¶
x
ï
í
¶
H
ï
ï
¶
u
î
i
i
==
j
K
==y¢-=
,n1ii);t(
K
(4.9)
.m1j,0
Решать систему (4.9) проще, чем систему Эйлера-
¢
(
)
(
)
Лагранжа.
Таким образом, для решения задачи требуется составить
функцию Гамильтона (4.8), записать сопряженную систему
уравнений (4.9) и решить её совместно с уравнениями ограничений. Для поиска неизвестных произвольных постоянных решения используются граничные условия.
Задача Лагранжа с незакрепленными границами будет
рассмотрена позже, после задачи Больца.
Пример 1 . Задача Лагранжа. Для объекта, описываемого
дифференциальным уравнением вида:
)t(u)t(x =
(4.10)
найти оптимальную траекторию, удовлетворяющую граничным
условиям:
()
,00x
==5,01x
ì
í
î
и оптимальное управление, обеспечивающее минимум критерия
t
к
()
[ ]
ò
t
н
22
mindt)t(x)t(uu,xJ
®+=
. (4.11)
Способ 1. Решение сведением исходной задачи к задаче
безусловной оптимизации. В критерии (4.11) выполним замену
значения )t(u2. В силу (4.10)
2
2
)t(x)t(u¢= ,
тогда
t
к
() ( )
=
ò
t
н
2
¢
[ ]
2
mindt)t(x)t(xxJ
®+
.
Для поиска экстремума полученного функционала запишем уравнение Эйлера .
F
d
F
¶
¶
¶
-
dt
x
¶
.
0
=
¢
x
95
96
Обозначив подынтегральное выражение функционала (4.11) как
()()(
)
¢
¢
¢
¢
(
)
функцию
¢
¢
=
22
)t(x)t(xx,xF +
найдем слагаемые уравнения Эйлера
F
¶
x
¶
)t(x2
=
, )t(x2
F
¶
¶
¢
=
¢
x
, )t(x2
F
d
¶
x
dt
¶
¢¢
=
¢
,
откуда получаем
-
0)t(x2)t(x2 =
или
0)t(x)t(x =-
. (4.12)
Характеристическое уравнение для решения однородного
дифференциального равнения второго порядка имеет вид:
01p2=- ,
его корни 1p
= , 1p2-= . Решение однородного дифференци-
1
ального уравнения имеет вид:
t
1
t
-
eCeC)t(x
+= . (4.13)
2
В силу (4.10) получаем
¢
= . (4.14)
t
1
t
-
eCeC)t(x)t(u
-=
2
Пользуясь граничными условиями, в силу (4.13), получаем
систему из двух уравнений для поиска неизвестных постоянных
интегрирования:
0CC)0(x
=+= ,
21
1
1
Из первого уравнения
1
-
5,0eCeC)1(x
=+=
2
.
CC -= , тогда второе уравнение
21
имеет вид
1
1
1
-
5,0eCeC
=+-
2
откуда
С
e
=
2
С
,
1
2
)e1(2
-
e
-=
.
2
)e1(2
-
Оптимальная траектория (4.13) движения объекта имеет вид:
e
)t(x -
=
2
)e1(2
-
tt
-
ee
,
оптимальное управление (4.14):
(
)
()()(
)
[
]
()()()(
)
¢
¢
¢
¢
(
)
)t(u +
e
-=
2
)e1(2
-
tt
-
ee
.
Способ 2. Решение с использованием функции Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
0
22
¢
y++y=y .
tutxttxtu,u,xL
-
Запишем систему Эйлера-Лагранжа
¶
ì
ï
ï
¶
í
¶
ï
ï
¶
î
приняв 1
¶
L
d
L
-
x
L
-
u
=y .
0
=
,0
¢
¶
x
dt
¶
L
d
=
,0
¢
¶
u
dt
Найдя частные производные функции Лагранжа и подставляя их в систему уравнений Эйлера-Лагранжа, получаем
ì
ï
í
ï
î
d
)t(x2
dt
=y-
,0))t((
=y-
.0)t()t(u2
Последнюю систему дополняем уравнением ограничения (4.10)
=y-
ì
ï
í
ï
¢
=
î
,0)t(')t(x2
=y-
,0)t()t(u2
).t(u)t(x
Из второго и третьего уравнений системы вытекает
),t(u2)t( =y
Дифференцируя
)t(x2)t(¢=y
).t(x2)t(¢=y
и подставляя в первое урав-
нение системы, получаем
или
-
0)t(x2)t(x2 =
.
0)t(x)t(x =-
Получили уравнение (4.12), решение которого - оптимальная траектория движения объекта (4.13) и оптимальное
управление - были найдены в первом способе
e
)t(x -
=
2
)e1(2
-
tt
-
ee
,
97
98
(
)
)t(u +
()()(
)
[
]
()(
)
¢
¢
¢
¢
(
)
e
-=
2
)e1(2
-
tt
-
ee
.
Третий способ решения с использованием функции
Гамильтона. Составим функцию Гамильтона:
0
22
tuttxtuu,xH
y++y= .
Запишем сопряженную систему уравнений
¶
H
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
y¢-=
¶
x
¶
H
¶
u
,
=
.0
Найдем частные производные функции Гамильтона при
10=y и подставим в сопряженную систему
y¢-=
ì
í
î
),t()t(x2
=y+
.0)t()t(u2
Дополним полученную систему уравнением ограничения
y¢-=
ì
ï
í
ï
¢
=
î
),t()t(x2
=y+
,0)t()t(u2
).t(u)t(x
Выразим из второго уравнения )t(y
.
)t(u2)t( =y
В силу третьего уравнения системы
).t(x2)t(¢=y
Продифференцируем полученное выражение и подставим
в первое уравнение системы
,
)t(x2)t(x2
-=
откуда снова получаем уравнение (4 . 12 ), поиск решения которого подробно изложен в первом способе
.
0)t(x)t(x =-
Решение с использованием функции Гамильтона в
MathCad. Составим функцию Гамильтона:
H tx, u, y, y
( )
,
0
y0u2x2+
× yu×+:=
Запишем сопряженную систему уравнений:
0
0
0
)
0
d
Htx, u, y, y
( )
x
d t
d
Htx, u, y, y
( )
u
d
,
,
0
0
d
y
-
d
Найдем частные производные функции Гамильтона:
d
Htx, u, y, y
( )
x
d
d
Htx, u, y, y
( )
u
d
,
,
2 y0×x×®
0
y 2u× y
0
×+®
Дополним сопряженную систему уравнением объекта:
ut(
-
d
d
y
t
2 y0× xt()×
y t() 2 ut()× y0×+
d
xt()
t
d
Выразим из второго уравнения )t(y :
y t() 2- ut()× y0×
В силу уравнения ограничения получаем
y t() 2-txt()
d
× y0×:= x
d
Продифференцируем полученное выражение:
d
d
y t()
t
2-y
×
×®
0
d
d
2
2
t
xt()
и подставим в первое уравнение системы:
2
2 y0× xt()× 2 y0×
d
xt()
×
2
t
d
Выполняя упрощение, получили уравнение:
2
d
xt()
x-
d
2
t
99
100
характеристическое уравнение которого
0
t
0
0.5
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
èöø
t
t
k21-
.
Корни
характеристического уравнения (1, -1). Решение дифференциального уравнения будем искать в виде:
xt()C1e
t
× C2e
1
Определяем неизвестные С
x0()0 C1C
®
+
×+:= C
2
-
, С2 из граничных условий:
1
x1( ) 0.5 C1e× C2e1-×+
®
Полученную систему уравнений можно записать в матричном виде:
1e1
æ
e
C
æ
ö
1-
ö
1
×
C
2
0
æèö
0.5
ø
откуда
1e1
æ
C
e
1-
ö
1-
æèö
×:=
0
0.5
ø
0.213
æ
C
=
0.213-
Строим оптимальные траекторию и управление (рис. 4.1):
t 0 0.1, 1..:=
xt( ) 0.213 et× 0.213 e
ut()
x C1 C2, t, ( )
u C1 C2, t, ( )
d
xt()
t
d
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.213 et× 0.213 e
-
×-:=
-
×+®:=
t
Рис. 4.1. Оптимальные траектория и управление для примера 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]