Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

Вторая строка системы (3.6) представляет собой уравне-

¶

¢

()(

)

¢-¢

(

)

(

)

x

¢

()(

)

¢

ния ограничений (3.3), так как 0

L

=

l¢¶

i

L

, а )x,x,t(

j=

l¶

i

¢

i

.

Таким образом, решение задачи на условный экстремум функционала J(x) сводится к решению задачи на исследование экстремума функционала I(x) без дополнительных условий. Алгоритм решения условной задачи оптимизации следующий.

1. Построить функцию Лагранжа (3.4).

2. Найти ее критические точки из уравнения Эйлера-

Лагранжа

L

¢

x

dt

x

¶

jj

n...1j;0

==

.

L

d

3. Дополнить полученные уравнения уравнениями огра-

ничений

j

i

.

m...1i,0)x,x,t(

==

4. Решить полученную систему уравнений с граничными

условиями (3.2).

Пример 1. Найти экстремаль функционала

1

( ) ()( ) ()( )

= (3.7)

ò

0

2

¢

( )

+

121

2

¢

dttxtxx,xJ

2

при заданных ограничениях

0txtx

=

21

, (3.8)

и граничных условиях

ì í î

1

()

2

,30x

ì í

==,10x

î

1

2

()

,21x

==.e1x

(3.9)

Способ 1. Решение сведением исходной задачи к задаче

безусловной оптимизации. Из уравнения ограничений (3.8)

выражаем

txtx21=

, (3.10)

и подставляем в функционал (3.7)

1

() ()( ) ()( )

= ,

ò

0

2

¢

( )

+

11

2

¢¢

dttxtxxJ

1

71

72

тогда получаем задачу безусловной оптимизации. Для поиска

()()()()(

)

¶

()(

)

()(

)

(

)

(

)

(

)

()(

)

(

)

(

)

(

)

экстремали задачи запишем уравнение Эйлера-Пуассона

F

¶

x

¶

¢

x

dt

¶

11

¶

0

+

dt

=

2

¶

,

¢¢

x

1

2

F

d

F

d

обозначив подынтегральное выражение функционала (3.7) как функцию

¢¢¢

=

+

111

2

¢

2

¢¢

txtxx,xF

,

1

найдем слагаемые уравнения Эйлера-Пуассона

F

0

=

, )t(x2

x

¶

1

F

d

=

1

¢

x

dt

¶

1

F

¢

x

¶

1

2

¢¢

d

)t(x2

, )t(x2

dt

¢

=

2

, )t(x2

1

F

¶

=

¢¢

x

¶

1

IV

1

F

x

¶

¢¢

=

¢¢

1

,

1

,

откуда получаем

¢¢

IV

0tx2tx2

=-

11

или

IV

1

¢¢

0txtx

=

- . (3.11)

1

Характеристическое уравнение для решения однородного

дифференциального равнения четвертого порядка имеет вид:

22

01pp

=- ,

корни его находим из

2

01p

=- , 0p2= . Откуда p

=1, p2= -1,

1

p3=0, p4=0. Решение однородного дифференциального уравне- ния имеет вид:

t

11

t

-

2

tСCeСeСtx

+++=

. (3.12)

43

В силу (3.10) получаем

¢

=

t

112

t

-

СeСeСtxtx ++=

. (3.13)

2

4

Пользуясь граничными условиями (3.9), из выражений (3.12) и (3.13), получаем систему из четырех уравнений для по- иска неизвестных постоянных интегрирования:

3ССС0x

=++= ,

3211

1ССС0x

=+-= ,

4212

1

11

1

-

2

2ССeСeС1x

=+++=

,

43

(

)

1

(

)

(

)

(

)

()()()()()()()()(

)

12

1

-

2

eСeСeС1x

=+-=

.

4

Вычтем из третьего уравнения четвертое

1

-

2

e2СeС2

-=+

3

или

Вычитая из второго уравнения четвертое:

1

11

1

--

22

е1eССeСС

-=+--

,

откуда

1

-

е1

-

1С

+= .

1

( )

2

е1

-

Подставляем значения С1 и С

1

-

Се1С

-=

2

в первое уравнение:

3

1

--

=--++-

222

тогда

С

e

=

2

1

-

е31

-

229,26

-»

.

Из ранее найденного

1

2

1

-

»--=

23

1

--

»+=-=

58,18eС2e2С

.

Из второго уравнения

877,35СС1С

-»+-= .

214

Экстремали задачи имеют вид:

tt

1

2

-

tt

-

-+=

1

-

eС2e2С

--=

23

3еС2е2ССе1

,

649,10е229,261Се1С

,

-+-=

877,35e229,26e649,10tx

t877,3558,18e229,26e649,10tx

,

.

Способ 2. Решение методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

2

¢

=l . (3.14)

+

121

2

¢

2

¢

l+

txtxttxtx,x,xL

-

21

Запишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа

¶

L

ì ï

¶

x

ï í

¶

L

ï ï

¶

x

î

¶

L

d

-

=

,0

¢

¶

x

dt

11

¶

L

d

=

.0

¢

¶

x

dt

22

(3.15)

73

74

В силу (3.14) получаем из последней системы уравнений

¢

¢¢¢

¢

¢¢¢-¢

¢

¢¢¢

¢

)

d

ì

-

0

ï

ï í

ï ï

î

¢

1

dt

d

-l-

)t(

dt

=l+

,0))t()t(x2(

или

¢

=

2

,0))t(x2(

¢¢

ì

1

í

+l

î

=l¢+

,0)t()t(x2

¢¢

=

2

.0)t(x2)t(

Дополним полученные уравнения уравнением ограничения (3.8)

¢¢

ì

1

ï

¢¢

í

2

ï

¢

î

=l¢+

,0)t()t(x2

=l+

,0)t()t(x2

=-

21

.0)t(x)t(x

(3.16)

Решим полученную систему уравнений методом исключения переменных. Первой исключаемой переменной является та, для которой отсутствуют граничные условия, то есть λ. Из второго уравнения системы (3.16 ) получаем

)t(x2)t(

-=l .

2

Дифференцируем полученное выражение для подстановки в первое уравнение системы (3.16)

)t(x2)t(

-=l

2

и выполняем замену переменной

0)t(x2)t(x

=

21

Для замены в полученном уравнении переменной )t(x

. (3.17)

2

выразим )t(x2 из третьего уравнения системы (3.16)

)t(x)t(x

=

12

и, продифференцировав трижды,

¢¢¢

IV

=

)t(x)t(x

12

подставляем в (3.17). В результате упрощения получаем уравнение (3 . 1 1 ), решение которого получено в первом способе примера 1:

IV

¢¢

11

0)t(x)t(x

=-

.

Решение примера 1 методом неопределенных множи- телей Лагранжа в MathCad. Запишем функцию Лагранжа

2

L tx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x'

1

2

x'

+ l x'1x2-

×+:=

2

(

и систему уравнений Эйлера-Лагранжа (3.15) средствами

0

MathCad

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x

d t x'

1

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x

d t x'

2

ddd

-

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

d

1

ddd

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

d

2

Найдем частные производные уравнений Эйлера Лагранжа:

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x

d

1

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x

d

2

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x'

d

1

d

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

x'

d

2

Вычислим полную производную по t от

ddd

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

t x'

d t

1

®

l-®

l 2 x'1×+®

2 x'2×®

d

2 x'1× l+

( )

d

L

¶

x

¶

L

¶

и

¢

1

:

¢

x

¶

2

d

æ

d

2tx1t()

× lt()+

t

d

d t

è

ddd

Ltx1, x2, x'1, x'2, l,

( )

t x'

d t

2

d

æ

d

2tx2t()

×

t

d

è

ö ø

2

ö ø

d

2

d

x2t()

×®

2

t

d

lt()

d

2 x'2×

( )

d

2

d

x1t()

×+®

2

t

d

75

76

Подставляя полученные значения производных в уравне-

èöø

0

ния Эйлера-Лагранжа, получаем следующую систему уравнений

æ

0 2

-

l- 2

ddd

x1t()

×

tt

d

ddd

x2t()

×-

tt

d

+

d d

lt()

t

Дополняя полученные уравнения уравнением ограничений, получаем систему для нахождения экстремалей задачи:

2

d

2

x1t()

×

2

t

d

2

d

2

x1t()

× lt()+

2

t

d

x1t()

t

d

lt()

+

t

d

x2t()-

Выразим из второго уравнения λ:

2

l t() 2-

d

x2t()

×

2

t

d

и, продифференцировав его,

d d

l t()

t

3

d

2-

×

d

3

t

x2t()

,

подставим в первое

2

d

2

x1t()

× 2

2

t

d

3

d

x2t()

×-

3

t

d

Выразим из третьего уравнения x2:

x2t()tx1t()

d

и, продифференцировав его трижды,

d d

3

t

x2t()

d d

4

t

x1t()

подставим в полученное ранее уравнение

0

ç

è

÷

ø

t

0

1

2

e

2

d

2

x1t()

× 2

2

t

d

4

d

x1t()

×-

4

t

d

,

откуда

d d

4

t

x1t()

-

d d

2

t

x1t()

Полученное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка имеет следующее характеристическое уравнение

k4k2-

корни которого

0

æ

ö

0

ç

÷

.

ç

÷

1

1-

Тогда решение дифференциального уравнения имеет вид:

x1t()C1e

t

× C2e

1

t-

×+ C

+ C

3

×+:= C

4

В силу уравнения ограничений

x2t()

d

:= x

t

d

x1t()

1

получаем

x2t() C4C2et-×- C1et×+®

Определяем неизвестные постоянные интегрирования из граничных условий:

x10()0 C1C x20()1 C1C

x11()2 C3C

x21()e C4C1e×+ C2e

+ C

® ®

®

+

2

3

- C

+

2

4

+ C1e×+ C2e

4

1-

×+

1-

×-

77

78

То есть решаем систему уравнений, записанную в матрич-

ç

÷

ç

è

÷

ø

ç

÷

ç

è

÷

ø

ç

÷

ç

è

÷

ø

0

1

2

3

t

ном виде:

1

æ

1

ç ç

e

ç

e

è

1

1-

0

1-

e

1

e1--

0

C

0

æ

ö

1

÷ ÷

1

÷

1

ø

ö

1

0

æ

ö

C

ç

÷

2

1

ç

×

ç

C

3

ç

C

4

÷

ç

÷

2

÷

e

è

ø

откуда

1

æ

1

1-

ç

C

ç

k

ç

1-

e

e1--

1-

1

0

ö

0

1

÷ ÷

1

÷

0

1

3

æ

ö

1

ç

÷

×:= C

ç

÷

2 e

è

ø

10.649

æ

26.229-

ç

=

k

ç

18.58

35.877-

Введем обозначения

C1C

:= C2C

k

:= C3C

k

:= C4C

k

:=

k

Строим экстремали задачи (рис. 3.2):

t 0 0.1, 1..:=

x1t()C1e

x2t()C4C2e

t

× C2e

×- C1e

t-

×+ C

+ C

3

t-

×+:=

4

ö ÷

÷

4

2

x1t()

x2t()

0 0.25 0.5 0.75 1

2-

4-

t

Рис. 3.2. Решение примера 1

Изопериметрическая задача

(

)

(

)

(

)

Изопериметрической называют вариационную задачу поиска уловного экстремума с ограничениями, записанными в интегральной (изопериметрической) форме. В задаче требуется исследовать на экстремум функционал (3.1):

t

к

( ) ( )

ò

t

н

KKK

n21n21n21

extrdt'x,,'x,'x,x,x,x,tFx,,x,xJ

®=

с ограничениями-равенствами в виде интегралов (условиями изопериметричности)

t

к

( )

ò

t

н

KK

n21n21q

q

===

, (3.18)

r,1qconst;ldt'x,,'x,'x,x,x,x,tf

удовлетворяющий в общем случае 2n граничным условиям (3.9):

ì í î

=

()

=

= =

;xtx

н2н2

;xtx

к2к2

L

ì í î

;xtx

ì

н1н1

í

()

;xtx

к1к1

î

=

()

=

;xtx

nннn

.xtx

nккn

Классической изопериметрической задачей является задача о цепной линии, заключающаяся в поиске формы провисания тонкой абсолютно гибкой нерастяжимой нити. Первой решенной изопериметрической задачей (IX в. до н.э.) была задача Дидоны, описанная в «Энеиде» Вергилия. Финикийская царевна Дидона, лишенная братьями престола, бежала, спасаясь от преследований. Поселение на берегу Средиземного моря Дидона основала, уговорив правителя тех мест разрешить ей построить город на бычьей шкуре, и царствовать в нём. Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски, связала их в длинную верёвку, и охватила этой верёвкой большой кусок прибрежной полосы. Так по легенде был основан Карфаген.

Задачу, решенную Дидоной, можно сформулировать в терминах классической вариационной задачи: линией заданной длины ограничить максимально возможную площадь.

Изопериметрическая задача может быть решена с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа. Уравнения ограничений, записанные в интегральной форме (3.18),

79

80

сводятся к дифференциальным уравнениям путем введения до-

(

)

(

)

полнительных функций:

t

() ( )

qq

ò

t

н

,r,1q;dt'x,x,tfty

==

(3.19)

с последующим их дифференцированием

¢

qq

.r,1q;'x,x,tfy

==

При этом добавляются граничные условия для каждой введенной переменной (3.19)

нq

()

==.lty

;0ty

qкq

ì í î

Функция Лагранжа будет иметь вид:

r

( )( ) ( )

å

=

1q

¢

-l+=

)y'x,x,tf('x,x,tF'x,x,tL (3.20)

qqq

Откуда система уравнений Эйлера-Лагранжа:

¶

L

ì ï

¶

x

ï í

¶

L

ï ï

¶

y

î

¶

L

d

¢

¶

x

dt

jj

¶

L

d

¶

'y

dt

qq

[ ]

==

[ ]

,n,1j;0

(3.21)

.r,1q;0

Из второго уравнения системы (3. 21) получаем

d

q

dt

откуда const

=l не является функцией времени. В силу этого

q

[ ]

r,1q;0

==l ,

функция Лагранжа (3.20) может быть представлена в виде суммы подынтегрального выражения функционала и произведений определенных множителей Лагранжа на подынтегральные выражения изопериметрических ограничений задачи:

r

( )( ) ( )

l+=

å

=

1q

qq

'x,x,tf'x,x,tF'x,x,tL . (3.22)

Экстремаль задачи может быть найдена из уравнения ЭйлераЛагранжа: