Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
181
и сгруппируем слагаемые по
x
k
2
k
2
(x
1
2
2
2
-l
12
4
b
2
a4(x
-+
22
4()a
-+
2
k
4
b
:
2
k
4
b
0)Aa2a
=-+
2212
xx)Aaa2aa
+-+
2112112212
.
Левая часть будет равна нулю когда коэффициенты при
2
2
x ,
1
x ,
-
-
xx
будут нулевыми, т.е.
2
21
2
k
-l
4
b
2
k
b
2
a
22
0a
=
,
12
0Aaa2aa
=-+
,
12112212
2
k
b
0Aa2a
=-+
.
2212
Решая систему алгебраических уравнений, находим зна-
а
а
чения
11
,
12
а
,
, причем из пар корней выбираем только
22
положительные решения, так как квадратичные решения соответствующие минимальной целевой функции должны быть заведомо положительными.
Выражаем из первого уравнения
4
abl=
12
2
а
12
и, подставляя в третье, получаем два значения
2
)4AA(
a
-=
22
l++b
a
22
-=
2
k
и
Поскольку первое полученное значение
а
22
2
)4AA(
l+-b
2
k
.
является за-
а
22
ведомо отрицательным, выбираем второе значение, подставляем
его во второе уравнение и получаем
2
4A2
a
=
11
Вычислив
l+bl
2
k
а
11
.
а
12
а
,
, мы тем самым определили функ-
22
,
а
11
цию S.
182
4. Найденное выражение для
dt
¢+¢
¢
¢++¢
¢
U
(s)
X1(s)
-
подставляем в формулу
S
оптимального управления и находим его зависимость от текущих координат объекта:
2
k
*u
-=
2
b
+
)xa2xa(
.
222112
Если решается задача синтеза замкнутой системы опти-
мального управления, то ее структура представлена на рис. 5.20:
scc21+ )s(Wo
Рис. 5.20. Структура системы оптимального управления
Управляющее воздействие формируется как
dx
1
cxcxcxcu
--=--=
,
2112211
где
2
k
c
=
1
c
2
12
2
b
2
k
a
= .
22
b
02a
>l=
,
2
=
A4A
-l+
0
2
>
Чтобы получить зависимость координат объекта и управ-
ляющего воздействия от времени, необходимо подставить выражение для управления в уравнение объекта
kuхАx =
:
0xkcx)kcA(x
=+
.
12
Решая это одн ородное уравнение, получаем:
tp
21
eCeCx +=
,
2
C
C
,
1
-
2
где
tp
11
p
p
,
- корни характеристического уравнения;
1
2
константы интегрирования, которые необходимо получить из
c
начальных условий. Поскольку
c
и
1
- положительные, корни
2
характеристического уравнения получаются либо отрицательные действительные, либо с действительными отрицательными
183
частями. То есть решение уравнения устойчивое, и
¥
®
0.5
¢++¢
¢
1.0
2.2247448713915890491
0.2247448713915890491
èöø
(
)
1.2247448713915890491
èöø
t
к нулю при
, что обеспечивает выполнение конечных ус-
t
x
сходится
1
ловий.
Дальнейшее решение выполним в Mathcad, подставив ис-
ходные данные
ORIGIN 1:= A2:= k1:= b
:=
Определяем значения коэффициентов квадратичной формы
2
a
12
2
k
2
a
-
× a12+ 2Aa22×- 0 solve a22,
22
b
k
l
a12×- 0 solve a12,
4b
®:=
-
æ
®
Из двух полученных значений выбираем положительное
b A A24 l×+-
a
22
a
k
- a12× a22× 2a11×+ Aa12×- 0 solve a11,
11
b
×
-:=
2
2
k
®:=
Рассчитываем значения коэффициентов закона управления
2
k
c
1
a12×:= c
2b
2
k
2
a22×:=
2b
Получили следующие численные значения, необходимые
для построения дифференциального уравнения, описывающего
поведение объекта управления,
a
12
1= a
11
1.225= a
12
0.225= c11= c20.225=
22
0xkcx)kcA(x
=+
.
Корни характеристического уравнения действительные
отрицательные числа
p p
2
A kc2×+
( )
p×+ kc1×+ 0
solve p,
float3,
0.625-
æ
®:=
1.6-
Решение дифференциального уравнения будем искать в виде
xt()C1e
p1t×
× C2e
1
×+:= C
p
×
2
184
Неизвестные постоянные времени определяем из левог о
2
0
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
èöø
t
граничного условия
x0()2 C1C
x1()0 C1e
®
× C2e
®
+
p
1
2
×+
p
2
Полученная система в матричном виде
1
1
p
e
ö
2
æ
×
C
1
C
2
ö
2
æèö
0
ø
æ
e
p
1
Откуда вектор неизвестных постоянных времени
1
p
e
ö
2
1-
2
æèö
×:= C
0
ø
1.212-
æ
=
3.212
C
æ
e
1
p
1
Строим график оптимального управления и оптимальной
траектории (рис. 5.21).
t 0 0.1, 1..:=
xt()C1e
p1t×
× C2e
×+:=
p
×
2
ut() c1- xt()× c
2
1
xt()
ut()
0 0.25 0.5 0.75 1
1-
2-
2
d
xt()
×-:=
t
d
t
Рис. 5.21. Оптимальное управление и оптимальная траектория для
примера 6
185
Задания для самостоятельного решения
dt
(
)
(
)
()(
)
dt
(
)
(
)
Задача 1. Для теплообменника, температура продукта на
выходе которого подчиняется дифференциальному уравнению
2
a
2
dy
yd
a
2
dt
01
kuya
=++ ,
найти оптимальное управление )t(u и оптимальную траекторию
изменения температуры )t(y , обеспечивающие изменение тем-
пературы на выходе от
=
k
=
,yty
kk
,0ty
uuu ££
maxmin
=
=
0
,00y
,y0y
до
ì
í
î
¢
()
при не заданном y
за заданное время
k
ì
í
¢
()
î
и ограниченном управлении
k
Ttk=
в соответствии с критерием
max0ytyJ
®-= .
Задача 2. Для теплообменника, температура продукта на
выходе которого подчиняется дифференциальному уравнению
2
a
2
dy
yd
a
2
dt
01
kuya
=++ ,
найти оптимальное управление )t(u и оптимальную траекторию
изменения температуры )t(y , обеспечивающие изменение тем-
пературы на выходе от
=
k
=
,yty
kk
,0ty
=
=
0
,00y
,y0y
до
ì
í
î
¢
()
для заданных y0, y
управлении
bu £
.
ì
í
¢
()
î
за минимальное время при ограниченном
k
Задача 3. Объект управления описывается дифференци-
альным уравнением вида
2
dy
yd
T
2
dt
dt
ku
=+ .
186
Найти алгоритм управления, переводящий объект из положения
(
)
(
)
(
)
£
£
(
)
(
)
=
k
kk
=
0ty
,yty
ì
í
î
¢
()
=
,00y
в положение
=
,00y
ì
í
¢
()
î
за минимальное время, если на управляющее воздействие наложено ограничение a)t(ua ££- .
Задача 4. Объект управления описывается системой диф-
ференциальных уравнений вида
dx
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
ï
ï
dt
î
где управление ограничено величиной
u1
2
=-=,u2
au £
. Найти алгоритм
управления, переводящий объект из положения
1
()
2
,00x
==00x
= в соответст-
k
ì
í
î
в произвольное конечное состояние за время Tt
вии с критерием оптимальности
T
()( )
ò
0
21
maxdtuxxu,xJ
®-+=
.
Задача 5. Объект управления описывается системой диф-
ференциальных уравнений вида
dx
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
=-=,u
ï
dt
î
где управление ограничено величиной
,ux
1
. Найти алго-
au0
ритм управления, переводящий объект из начального в конечное
положение
ì
í
î
1
()
2
,10x
ì
í
==,00x
î
k1
()
==2tx
k2
,2tx
187
за произвольное время в соответствии с критерием
t
k
() ( )
ò
0
21
maxdtxx2u,xJ
®+=
.
Задача 6. Для объекта с передаточной функцией
W=k/[( Ts+ 1 ) s ] получить методом динамического программирования оптимальный закон управления как функцию координат
объекта, обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности
T
2
ò
0
2
+=
dt])t(bx)t(au[J
при переводе объекта из состояния x(0)=x0, x’(0)=0 в состояние
x(T)=0, x’(T)=0 за произвольное время Т.
Задача 7. Для объекта с передаточной функцией
W=k/[(T1s+1) (T2s+1)]
получить методом динамического программирования оптимальный закон управления как функцию координат объекта, обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности
T
2
ò
0
2
+=
dt])t(bx)t(au[J
при переводе объекта из состояния x(0)=x0, x’(0)=0 в состояние
x(T)=0, x/(T)=0 .
188
ГЛАВА 6.
Î
ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Динамические модели в задачах управления
Для решения задач управления химико-технологическими
процессами требуется описание управляемого объекта в форме
математической модели. Чаще всего динамика процессов может
быть представлена системой дифференциальных уравнений:
где
)t(dx
dt
))t(x)t(x),t(x()t(xK= вектор-столбец размерности n ´ 1
n21
x)0(x);t),t(u),t(x(f
== ,
0
T
обозначает состояние объекта; u(t) – m ´ 1 – вектор-столбец
управляющих воздействий; t – время; x0 – начальное значение
вектора состояния; индекс Т – означает транспонирование.
Состояние X)t(x Î принадлежит множеству допустимых
состояний из подмножества действительного пространства Kn.
Вектор управляющих воздействий U)t(u
принадлежит множе-
ству допустимых управлений, являющемуся подмножеством
действительного пространства Rm.
Не все составляющие вектора состояния x(t) доступны
прямому измерению в реальных условиях. Примем, что доступны измерению либо составляющие x1(t), x2(t), …xR(t), либо
функция:
y(t)=h(x(t)),
где y(t) – измеряемый вектор выхода, имеющий размерность
r ´ 1. Функции f(x,u,t) и h(x,t) являются вектор-столбцами, соот-
ветственно n ´ 1 и r ´ 1 размерности.
Векторная пара уравнений представляет собой математическое описание управляемого объекта
)t(dx
=
dt
)).t(x(h)t(y
=
),t),t(u),t(x(f
К такому виду можно привести математические модели
большинства химико-технологических процессов, протекающих
в аппаратах различной конструкции.
189
В ряде случаев левые части математического описания
объекта могут быть линейными функциями, в этом случае система называется – конечномерной линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными параметрами и может
иметь структуру:
dx
dt
)t(xC)t(y ×= .
x)0(x);t(Bu)t(Ax
=+= ,
0
Здесь A – матрица системы размерности n ´ n, B – матри-
ца распределения управления размерности n ´ m, С – матрица
состава изменений размерности n ´ r.
Построение переходных процессов многомерных
систем управления
Аналитическое решение систем неоднородных
дифференциальных уравнений методом Коши
Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений, записанную в матричном виде:
)t(dx
dt
)t(Bu)t(Ax
+= , (6.1)
где А – главная матрица системы уравнения, размера n ´ n; В –
матрица свободных коэффициентов уравнений, размера n ´ m.
Соответствующая ей однородная система:
)t(dx
dt
)t(Ax
= . (6.2)
Решение однородной системы имеет вид:
At
ce)t(x
o
×= , (6.3)
где с – постоянная интегрирования.
Общее решение системы (6.1) складывается из решения
однородной системы )t(xo и частного решения )t(xч:
)t(x)t(x)t(x
+= . (6.4)
чo
Частное решение )t(xчбудем искать в виде:
At
)t(Сe)t(x
ч
×= . (6.5)
190
Подставляя (6.5) в исходную систему (6.1), получаем:
dt
)t(dx
ч
dt
ч
+= .
)t(Bu)t(Ax
Дифференцируем )t(xч и подставляем в левую часть
уравнения
AtAt
¢
¢
×+×
ч
)t(Bu)t(Ax)t(Сe)t(С)e(
+=
,
заменяем )t(xч его значением в правой части уравнения
e)t(СAe
)t(dС
AtAtAt
+×=×+× ,
)t(Bu)t(СAe
откуда
At
e
)t(dС
dt
)t(Bu
=× или )t(Bue
)t(dС
= .
dt
At-
Разделяем переменные и находим неизвестную функцию )t(С :
t
t-
A
ò
0
, (6.6)
tt=
d)(Bue)t(С
где t – текущая переменная интегрирования.
Подставляя полученные выражения (6.2) и (6.4) в общее
решение (6.3), получаем
AtAt
)t(Сece)t(x)t(x)t(x
чo
×+×=+= ,
с учетом (6.2) и (6.5) общее решение имеет вид:
t
t-
AAtAt
ò
0
Используя начальные условия
.
tt×+×=
d)(Bueece)t(x
x)0(x = , находим оконча-
0
тельный вид решения системы неоднородных дифференциальных уравнений (6.1) в матричном виде:
t
t-
At
0
ò
0
)t(A
. (6.7)
tt+=
d)(Buexe)t(x
Пример 1. Решение системы дифференциальных уравнений методом Коши в MathCad. Решим систему дифферен-
циальных уравнений, записанную в матричном виде:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]