Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
251
рактеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров; S = BR-1BT – симметричная матрица.
Сопряженная система дифференциальных уравнений за-
меной переменных )t(Kx)t(p = , сводится к квадратичному мат-
ричному уравнению Риккати (6.50):
T
0QKAKAKSK
=--- ,
где К – постоянная симметрическая матрица.
Для решения полученного уравнения Риккати рассмотрим
вид:
T
0)NMK()NMK(
=++ ,
где М, К, N – треугольные матрицы, подлежащие определению,
откуда
TTTTTT
0NNMKNNMKMKMK
=+++ . (6.55)
Сравнивая (6.55) и матричное уравнение Риккати (6.50)
T
0QKAKAKSK
=--- ,
получаем
TTTT
MNA,NMA,MMS
=--== . (6.56)
Добавляя и вычитая в левой части (6.55) матрицу Q, получаем:
TTTTT
0NNQQKAAKSKK)NMK()NMK(
=++---=++ .
Первые четыре слагаемые в правой части согласно (6.50)
равны нулю, следовательно,
TT
NNQ)NMK()NMK(
+=++ , (6.57)
где на основании (6.56):
1TT -
= . (6.58)
ASANN
С учетом (6.58), уравнение (6.57) имеет вид:
1TT -
+=++ . (6.59)
ASAQ)NMK()NMK(
Правая часть (6.59) является симметрической матрицей, и
ее по аналогии с симметрической матрицей S (6.56) можно
представить в виде разложения на верхние треугольные матрицы L:
T1T=+-
LLASAQ
. (6.60)
Таким образом, уравнение Риккати с учетом ( 6. 60) можно
представить в виде произведения треугольных матриц
252
в следующей форме:
TT
LL)NMK()NMK(
=++ . (6.61)
Для того чтобы разложить на множители это выражение,
необходимо учесть условие симметричности матрицы К. Для
этого можно ввести ортогональную матрицу О, которая облада-
ет свойством EOO
T
= , где Е – единичная матрица. В результате
вместо (6.61) можно записать:
TTT
=++
OLOL)NMK()NMK(
или
TT
=++ . (6.62)
OL)OL()NMK()NMK(
Матрицу К можно получить из линейных уравнений:
OLNMK,OL)NMK( -=+=+ , (6.63)
откуда решение уравнения Риккати:
111
---
ASOLM)NOL(MK
1
2
+=-=
. (6.64)
111
---
ASOLM)NOL(MK
+-=--=
В (6.64) неизвестны матрицы М, L, О. Будем считать, что
любую положительно полуопределенную матрицу S размера nxn
можно представить в виде произведения М
T
ss
æ
æ
ç
ç
è
ö
1211
ç
÷
=
ç
÷
ss
2221
è
ø
mm
m0
1211
22
æ
ö
ç
÷
×
ç
÷
è
ø
Т
М:
mm
ö
1211
÷
,
÷
m0
22
ø
откуда элементы матрицы М находятся с помощью рекуррентного алгоритма Чолеского:
M
æ
s
ç
11
ç
=
ç
ç
ç
è
s
s0
22
ö
12
÷
s
÷
11
. (6.65)
÷
2
s
÷
12
-
÷
s
11
ø
Матрица L находится аналогично из (6.60).
æ
p
ç
11
ç
=
L
ç
ç
ç
è
p
p0
22
ö
12
÷
s
÷
11
-
, (6.66)
÷
2
p
÷
12
÷
p
11
ø
253
где ASAQP
+= .
1T -
Элементы ортогональной матрицы О находятся из условия
симметричности матрицы К:
T
K = K
,
откуда с учетом (6.64) получаем линейное матричное уравнение
для определения матричных элементов О:
----
ì
ï
í
ï
î
+=+
T1T111
)AS()OLM(ASOLM
----
+-=+-
T1T111
)AS()OLM(ASOLM
или
----
ì
ï
í
ï
î
11TT1TT1
-=-
ASSA)M(OLOLM
----
11TT1TT1
-=+-
ASSA)M(OLOLM
(6.67)
Для решения уравнений (6.67) и ортогональную матрицу
О задаем в виде:
-
yx
æ
ç
=
O , (6.68)
ç
è
где из условия О
ö
÷
÷
xy
ø
Т
О = Е, получаем
2
x1y -= . (6.69)
В результате подстановки (6.68) в (6.67), получаем два
матричных уравнения:
,F)y,х(F
=
21
,F)y,х(F
=
22
которые в общем случае содержит n(n-1)/2 матричных элементов ортогональной матрицы О, обеспечивающей свойство симметричности решения (6.64) матричного уравнения Риккати:
)y,x(1f)y,x(1f
æ
æ
ç
ç
è
æ
ç
-
ç
è
1211
2221
ö
ç
÷
=
ç
÷
)y,x(1f)y,x(1f
è
ø
)y,x(1f)y,x(1f
æ
1211
2221
ö
ç
÷
=
ç
÷
)y,x(1f)y,x(1f
è
ø
)2f2f
ö
1211
÷
÷
2f2f
2221
ø
)2f2f
ö
1211
÷
÷
2f2f
2221
ø
Откуда находятся значения х и у (приравниванием соответствующих элементов матриц левой и правой частей уравнений), а
затем формируются матрицы О
и О
из второй.
2
из первой пары решений х и у
1
254
Из (6.64) определяются матрицы К
2
и К
– решения урав-
1
2
нения Риккати. Уравнения оптимальных траекторий движения
системы с учетом решений уравнения Риккати (6.64) имеют вид:
dx
dt
dx
dt
T
-=-= , (6.70)
T
=-= , (6.71)
)t(LxOM)t(x)SKA(
)t(LxOM)t(x)SKA(
Для выбора одной из траекторий необходимо исследовать
на устойчивость систему, описывающуюся уравнениями (6.70) и
(6.71).
Решение примера 5 в MathCad на основе принципа
максимума с последующим поиском решения уравнения
Риккати методом разложения. Для системы, динамика кото-
рой описывается дифференциальным матричным уравнением
)t(dx
dt
,x)0(x),t(Bu)t(Ax
=+=
необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор
оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия:
¥
1
[ ]
J
ò
2
0
,
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
где R – положительно-, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – n-векторы состояния объекта
управления (n = 2); A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров. Выражение вида
))t(Ru),t(u( – скалярное произведение.
Управление, доставляющее минимум критерию в соответствии принципом максимума, определяется из условия, максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений:
255
¶
2
2
èöø
èöø
èöø
èöø
H
dx
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
dt
dp
dt
¶
¶
¶
p
¶
H
-=
¶
x
H
u
+=
),t(Bu)t(Ax
T
--=
T
=+=
)t(pA)t(Qx
,
,0)t(pB)t(Ru
откуда оптимальное управление:
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Подставляя выражение для оптимального управления в
функцию Гамильтона получаем:
H +-=
1
1
))t(Qx),t(x(
,
))t(Ax),t(p())t(Sp),t(p(
Сопряженная система уравнений имеет вид:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
),t(pA)t(Qx
где S = BR-1BT и граничные условия – x(0) = x(0), p(¥) = 0.
Введем замену переменных:
)t(Kx)t(p = ,
где К – постоянная матрица.
Тогда сопряженная система дифференциальных уравне-
ний сводится к квадратичному матричному уравнению Риккати:
T
0QKAKAKSK
=---
Решением уравнения Риккати является симметрическая
матрица К, размер которой n x n.
Уравнение Риккати можно представить в виде:
TT
=++ ,
OL)OL()NMK()NMK(
где М, L, N – верхние треугольные матрицы; О – ортогональная
матрица; Е – единичная матрица.
Зададим исходные данные
0.2-
0.15
0.1
0.18-
æ
A
:= B
0.18
0.4
0.2-
0.23
æ
:= Q
0.600
æ
:= R
0.4
0.400
æ
:=
0.3
256
начальные условия
ø
10
èöø
ê
ë
ú
û
èöø
èöø
ê
ë
ú
û
èöø
èöø
A
èöø
1.2
æèö
x0
:=
0.3
и конечное время
t
:=
k
Рассчитаем матрицу S:
0.214
S BR1-× BT×:=
æ
S
=
0.027
0.027
0.576
Элементы матрицы М находятся с помощью рекуррентно-
го алгоритма Чолеского:
é
s
11
ê
ê
M
:= M
ê
ê
0
s
12
s
11
s
()
s
-
22
ù
ú
ú
2
ú
12
ú
s
11
0.46300.058
æ
=
0.757
Выполняем проверку:
0.214
MTM×
æ
=
0.027
0.027
0.576
Рассчитаем матрицу P:
PQATS
+:= P
×
1-
0.84
æ
=
0.152-
0.152-
0.511
Матрица L находится аналогично матрице М:
é
p
11
ê
ê
L
:=
ê
ê
0
p
12
p
11
p
()
p
-
22
ù
ú
ú
2
ú
12
ú
p
11
L
=
0.91700.166-
æ
0.695
Выполняем проверку:
LTL×
0.84
æ
=
0.152-
0.152-
0.511
257
Элементы ортогональной матрицы О находятся из усло-
(
)
A
.96905238135678999185
(
)
A
èöø
2
(
)
A
(
)
1
A
)
ê
ê
ë
ú
ú
û
èöø
0.203
вия симметричности матрицы К:
K = KT,
откуда получаем два линейных матричных уравнения для определения матричных элементов О:
M1-O× L× LTOT× M
M1-- O× L× LTOT× M
×- ATS1-× S
×+ ATS1-× S
1-
T
1-
T
1-
×-
1-
×-
Представим матрицу О в виде:
x
Oxy,()
:=
æ
yx()
yx()-
x
где
yx() 1x
-:=
Рассмотрим первое уравнение:
M1-O× L× LTOT× M
×- ATS1-× S
1-
T
1-
×-
Обозначим левые и правые части уравнения и рассчитаем
их значения:
-
T
( )
×-
0
1
2
F1xy,()M1-Oxy,()× L× L()TOxy,()( )
1-
F2ATS
× S
1-
×-:=
é
F1xy,(
®
ê
ê
ê
( )
2.69 1. 1. x2×-
× .474 x×+
0
1
2
× M()
.474- x× 2.69 1. 1. x2×-
T
×-:=
ù
ú
ú
ú
F2
Матрицы F1(x,y) и F2 равны, если равны их элементы:
.4750- x× 2.687 1 x2-×-
Из полученного уравнения выражаем х:
.4750- x× 2.687 1 x2-×- 0.203- solve x,
0
æ
=
0.203
0.2030
-
-®
258
Присваиваем х полученное значение и рассчитываем y:
(
)
A
F2
.99495360562445755471
.9691
2
èöø
èöø
ø
èöø
0.203
.9950
2
èöø
èöø
ø
èöø
èöø
èöø
x
-:=
y 1x
Формируем матрицу О
xyy-
æ
O
:= O
1
x
Рассчитываем матрицу К
K1S1-A× M1-O1×L×+:= K
-:=
и выполняем проверку:
1
0.969-
æ
= O
1
0.247
y 0.247=
0.247-
0.969-
:
1
1
T
O1×
1
2.929-
æ
=
0.604
Рассмотрим второе матричное уравнение для определения
ортогональной матрицы О
M1-- O× L× LTOT× M
:
2
1-
T
×+ ATS1-× S
1-
С учетом введенных ранее обозначений уравнение может
быть представлено в виде:
F1xy,()-
Матрицы -F1(x,y) и F2 равны, если равны их элементы:
2.687 1 x2-× .4750 x×+
-
Из полученного уравнения выражаем х:
2.687 1 x2-× .4750 x×+ 0.203- solve x,
-®
Присваиваем х полученное значение и рассчитываем y:
x
-:= y 1x
Формируем матрицу О
xyy-
æ
O
:= O
2
x
2
Рассчитываем матрицу К
K2S1-A× M1-O2×L×-:= K
-:= y 0.1=
и выполняем проверку:
2
0.995-
æ
= O
0.1
0.1-
0.995-
:
2
æ
=
2
T
1
1.015
0.184
O1×
0.184
В результате решения уравнения Риккати были получены
две матрицы К:
2.929-
æ
K
= K
1
0.604
0.604
1.28-
и
1.015
0.184
0.184
0.6
æ
=
2
=
0.604
1.28-
×-
=
0.6
100
æèö
1
100
æèö
1
259
Уравнения оптимальных траекторий движения системы с
(
)
(
)
t
ç
è
÷
ø
èöø
èöø
èöø
èöø
учетом решений уравнения Риккати имеют вид:
dx
dt
dx
dt
-=
-=
)t(x)SKA(
)t(x)SKA(
Для выбора одной из траекторий исследуем на устойчи-
вость систему, описывающуюся последними уравнениями.
Характеристические матрицы первой и второй систем:
A SK
×-
1
æ
0.412
= A SK
4.648 103-´
0.12-
0.542
ö
×-
2
0.423-
æ
=
0.017
0.045
0.531-
Найдем собственные значения характеристических матриц
первой и второй систем уравнений:
eigenvals A S K1×-
( )
0.416
æ
= eigenvals A S K2×-
0.537
( )
0.416-
æ
=
0.537-
Система уравнений, характеристическая матрица которой
А–SK2 имеет отрицательные собственные значения, то есть система устойчива.
Таким образом, устойчивой является система:
dx
dt
опт
-= .
)t(x)SKA(
опт2
Решение этого уравнения может быть получено с помощью перехода к новым координатам или методом ЛагранжаСильвестра. Используем метод Лагранжа-Сильвестра:
xt()e
A SK2-
Обозначим
t×
x0()
F t()e
A SK2×-
×
Задаем единичную диагональную матрицу:
100
æ
E
:=
1
По теореме Лагранжа-Сильвестра фундаментальная матрица системы рассчитывается следующим образом:
260
F t()e
10
t
10
t
l1t×
A SK2×- l2E×-
× e
l1l
-
2
A SK2×- l1E×-
l2t×
×+:=
l2l
Рассчитываем x(t) и p(t):
xt() Ft()x0×:=
pt() K xt()×:=
Оптимальное управление определяется выражением:
ut() R1-- BT× pt()×:=
Задаем интервал времени и строим графики
t 0 0.1, tk..:=
полученных функций (рис. 6.12):
1.5
2
-
1
xt()
xt()
1
2
1
0.5
0.54
ut()
ut()
0.974-
0 5
1
1
0 5 10
2
1
pt()
pt()
1
1
2
0 5
1
100 t
Рис. 6.12. Оптимальная траектории и оптимальное управление для
примера 5, полученные на основе принципа максимума с
использованием уравнения Риккати, решенного методом разложения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]