Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

271

1.014

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

èöø

ø

)

èöø

ø

æ

ö

f

0.6

=

0.185

Формируем матрицу К из полученных численных значений:

f

æ

K

:=

ö

1

3

f

3

2

1.014

0.185

0.6

æ

K

=

Выполняем проверку

000

KS× K× KA×- ATK- Q-

æèö

=

0

Левая часть уравнения Риккати равна нулю, следовательно, решение верно. Проверим устойчивость системы, описываемой уравнением вида:

xt()e

A SK-( )t×

x0(

Найдем собственные числа:

l eigenvals A S K×-(

:=

0.416-

æ

l

=

0.537-

Собственные числа главной матрицы системы - отрицательные действительные значения, следовательно, система устойчива. Решение уравнения:

d

xt()

t

A SK×-( )xt()×

найдем методом Лагранжа-Сильвестра

100

æèö

E

:=

1

F t( ) exp l1t×

( )

A SK×- l2E×-

× exp l2t×

l1l2-

( )

A SK×- l1E×-

×+:=

l2l1-

xt() Ft()x0×:=

Рассчитываем коэффициенты K1 – K3 двумя предложенными способами для сравнения результатов:

272

K2E K1-AT× AK1-×+ K1-Q× K1-×+

1

èöø

K

= K2

2

( )

-:=

3.693-

æ

0.213

0.742-

-

K2 ES

=

æ

3.693-

0.217

-

-:=

0.217

0.745-

K1ATK2× K2A×- AT-:=

0.2

0.354-

0.84

0.152-

0.104

0.18

0.152-

0.511

×A×-:=

2

æ

K

= K1

1

K3QATA×+ ATK

æ

K

= K3

3

K1 ATK2× K2A×- AT-:=

K3 QATA×+ ATK2×A×-:=

æ

=

0.353-

0.84

æ

=

0.152-

Значения K1 – K3 одинаковы при обоих расчетах. Пересчитаем настройки ПИД-регулятора

K'1B1-K1×:= K'2B1-K2×:= K'3B1-K3×:=

0.204-

æ

K'

= K'

1

0.493

1.184-

0.075-

6.646-

æ

= K'

2

12.482

0.819-

1.8-

æ

=

3

Найдем управляющее воздействие

ut( ) K'1xt()× K'

æ

×+ K'

2

è

d

xt()

t

ö ø

d

Задаем значения аргумента

3

t 0 0.1, tk..:=

ó ô õ

txt()

d×+:=

Строим оптимальную траекторию движения системы и оптимальное управление (рис. 7.1):

0.2

1.341

2.992-

0.103

0.18

0.152-

0.511

0.554

1.258

273

Введение интегральной составляющей

&

1.5

0.54

1

xt()

1

xt()

2

0.5

0 2 4 6 8 10

t

ut()

0.974-

1

0 5 10

2

1

100 t

Рис. 7.1. Оптимальная траектории и выход ПИД-регулятора

для примера 1

в оптимальный регулятор

В процессе синтеза оптимального регулятора обеспечивающего минимум квадратическому показателю качества решением задачи обычно является пропорциональный многомерный регулятор с переменными матричными коэффициентами настройки. Для устранения статической ошибки, желательно иметь в структуре регулятора интегральные составляющие, которые удовлетворяют этому требованию. Достигнуть желаемого результата можно введением в критерий оптимизации производных по управляющим переменным.

Рассмотрим математическую модель динамического процесса заданную в виде (6.1):

),t(Bu)t(Ax)t(x +=

где x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A – характеристическая матрица размерности n x n, B – матрица управлений размерности m x m, точкой обозначена производная по времени.

Введение производных в критерий оптимизации приводит его к виду:

t

k

1

J

[ ]

ò

2

0

TT

&&

®+=

, (7.15)

mindt))t(uR)t(u()t(Qx)t(x(

274

в котором верхний индекс T означает транспонирование, а Q и

&&&

&

=

&

R - неотрицательно определенная размерности n x n и положительно определенная размерности m x m матрицы.

Приведем в соответствие с критерием (7.15) математическую модель объекта управления, продифференцировав уравнение (6.1)

)t(uB)t(xA)t(x

+=

(7.16)

или

2

xd

1

2

dt

2

xd

2

dt

dx

aa

1

1211

dt

dx

2

2221

dt

Представим (7.16) в виде Коши. Пусть

)t(z)t(x22=

dz

, )t(v)t(u

1

,z

=

3

dt

2

,z

=

4

dt

3

=

dt

4

=

dt

, тогда

z

aa

3

1211

z

aa

4

2221

bb

1211

bb

2221

bb

×+×

1211

2221

v

1

v

2

du

1

dt

×+×= .

du

2

dt

.

)t(z)t(x11=

(7.17)

,

От матричного вида (7.17)

z

1

&

z

2

&

z

3

&

z

4

z

0100

1

z

1000

2

+×=

z

aa00

3

1211

aa00

z

2221

4

перейдем к блочно-матричному:

00

v

00

1

v

bb

2

1211

bb

2221

275

z

&

1

&

z

2

&

z

3

&

z

4

z

1

z

E0

A0

0

2

z

3

z

4

1

+×=

,

vvB

2

где Е - единичная матрица.

С учетом введенных обозначений первое слагаемое критерия (7.15) можно представить следующим образом:

x

Т

[ ]

xxQxx

21

é

×=

ê ë

1211

qq

2212

qq

[ ]

ù

é

ù

1

=

×

ú

ê

ú

x

2

û

ë

û

x

ù

é

1

=

××+××+×=

qxqxqxqx

222121122111

ú

ê

x

2

û

ë

2 111

[ ]

zzzz

4321

zzzz

4321

2 2222112

z z

0Q

z

00

z

2

111

z

00qq

1211

2212

1

2

=×=

3 4

1

z

00qq

2

=××=

z

0000

3

0000

z

4

Т

zQ~z

.

2

=+×+=+×+=

zqzzq2zqxqxxq2xq

2222112

Таким образом, уравнение ограничения (7.16) и критерий оптимальности (7.15) можно представить в виде:

~

)t(dz

dt

t

k

1

J

ò

2

0

+=

[ ]

, (7.18)

)t(vB~)t(zA

TT

®+=

. (7.19)

mindt))t(Rv)t(v()t(zQ~)t(z(

Здесь введены следующие обозначения для блочных матриц:

276

E

(

)

~

~RB~S~

0

~

A

= ,BB

A

0

~

0

= ,

0

Q

~

Q = . (7.20)

00

Таким образом, исходная система с введением производной в критерий оптимальности приведена к обычной форме, что позволяет представить гамильтониан системы (7.18)-(7.19) в следующем виде:

)t(z)u,p,x(H

TTT

)t(vB~)t(zA

+++= , (7.21)

где p(t) - вектор сопряженной переменной размерности 2n. Согласно принципу максимума сопряженная система уравнений:

¶

~

H

dz

ì

=

ï

¶

p

dt

ï ï í ï ï ï î

dp

dt

¶

H

-= ¶

z

H

v

+=

),t(vB~)t(zA

~

T

--=

=+=

)t(pA~)t(zQ

,

,0)t(pB~)t(Rv

откуда оптимальное управление:

T1-

R)t(v

-= . (7.22)

)t(pB

Сопряженная система уравнений после подстановки вы-

ражения для оптимального управления имеет вид

~

)t(dx

ì

где

опт

ï

dt

í ï

ï

dt

î

=

~

)t(dp

T1

-

.

B

-=

),t(pS~)t(xA

T

--=

),t(pA~)t(xQ

Полученная модифицированная сопряженная система мо-

жет быть преобразована заменой переменных:

)t(Kz)t(p =

,

где K – постоянная симметричная матрица n x n. Тогда

277

ì

~

(

)

~KA~A~

B

~

ï

dt

í ï

K

ï

dt

î

Подставляя

-=

~

)t(dz

)t(KzS~)t(zA

T

--=

)t(dz

из первого уравнения полученной сис-

dt

)t(KzA~)t(zQ

~

)t(dz

темы во второе, получаем:

T

)t(KzS~K)t(zA~K

--=-

)t(KzA~)t(zQ

или

KKS~K

T

0)t(zQ

=--- ,

откуда получаем нелинейное матричное уравнение Риккати:

KKS~K

T

.

0Q

=---

Решение матричного уравнения Риккати может быть получено несколькими способами: численно, методом упорядочения расположения корней, методом разложения. Получение решения уравнения Риккати подробно было рассмотрено в предыдущем материале.

Уравнение оптимальной траектории движения системы требует дополнительного исследования устойчивости системы:

)t(dz

опт

dt

~

A~(

-=

)t(z)KS

опт

.

Решение уравнения последнего уравнения может быть

найдено с помощью метода преобразования координат либо методом Лагранжа-Сильвестра. Оптимальное управление получа-

ем из (7.22), раскрывая блочную матрицу

)t(Kz)t(p =

с учетом того, что К - симметрическая матрица

p

1

p

2

p

3

p

4

z

kkkk

1

14131211

z

kkkk

2

24232212

×=

,

z

kkkk

34332313

3

kkkk

z

44342414

4

T

и вектор

можно перейти к блочной форме записи

278

)t(1p

&

(

)

=

&

=

)t(2p

KK

é ê

KK

ë

1z

ù

é

ù

1211 2212

=

×

ú

ê

2z

û

ë

û

KK

é ê

ë

1211

KK

2212

)t(x

ù

é

ù

×

ú û

,

ú

ê

&

)t(x

û

ë

где

K =

11

1z

1p =

kk

1211

,

K =

kk

x

z

1

x

z

2

p

1

,

p

2p =

2

12

2221

,

x

===

2z

p

3

.

p

4

kk

1413

,

K =

kk

z

3

z

4

22

2423

x

1

&

,

x

===

&

x

2

Из блочной формы записи следует, что

æ

ç

è

+=

),t(xK)t(xK)t(1p

1211

&

).t(xK)t(xK)t(2p

2212

Тогда оптимальное управление (7.22) может быть найдено в виде

B0R)t(v

)t(1p

)t(2p

1T1 --

-=-= .

)t(2BpR

С учетом найденного выше значения p2(t) (7.23), получаем

T1

-

&

+-=

)t(xK)t(xKBR)t(v

. (7.24)

2212

kk

3433

kk

4434

(7.23)

Поскольку )t(v)t(u

-

t

T1

ò

0

из (7.24), интегрируя, находим:

&

( )

+-=

2211

. (7.25)

dt)t(xK)t(xKBR)t(u

Второе слагаемое в подынтегральном выражении (7.25) рассмотрим отдельно

t

dx

K

22

dt

0

t

22

òò

0

t

22

0

-===

2222

Тогда закон управления фактически представляет собой оптимальный ПИ-регулятор

t

--

T1

( )

2222

T1

---=

11

ò

0

.

)0(xK)t(xK)t(xKdxKdt

. (7.26)

dt)t(xKBR)0(xK)t(xKBR)t(u

279

Пример 2. Расчет оптимального ПИ-регулятора в

&

t

èöø

ø

èöø

ø

)

MathCad. Найти оптимальное управление, обеспечивающее перевод многомерного линейного объекта, математическая модель которого задана дифференциальным матричным уравнением

),t(Bu)t(Ax)t(x +=

из состояния

x)0(x =

в состояние

0

x)t(x =

в соответствии с

kk

критерием оптимальности, содержащим производную по управлению (7.15):

t

k

1

J

[ ]

ò

2

0

TT

&&

®+=

.

mindt))t(uR)t(u()t(Qx)t(x(

Решение. Уравнение объекта

d

x

AxBu×+

t

d

Критерий оптимальности

T

ó

1

J

2

x Qx u'+, Ru', ( )

ô õ

0

d×

Зададим исходные данные

ORIGIN1:=

0.2-

0.15

0.600

0.1

0.18-

0.4

æ

A

:= B

æ

Q

:= R

:=

0.18

0.4

0.2-

0.23

æ

:= x0

0.400

æ

0.3

1.2

æèö

:= xk

0.3

0

æèö

:=

0

Введем замену и сформируем новые матрицы

000

æèö

O

:= E

0

AA stack augment O E, ( ) augment O A, ( ), (

:=

BB stack O B, (

:=

QQ stack augment Q O, ( ) augment O O, ( ), (

:=

100

æèö

1

280

0

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

)

ç

è

÷

ø

0

1

æ

0

ç

AA

= BB

ç

0

0.2-

0.1

0

0.15

0.18-

0

ö

1

÷ ÷

0 0

0.18

0.4

0 0

0.2-

0.23

ö ÷

÷

æ ç

= QQ

ç

Функция Гамильтона с учетом новых обозначений

Hzp, v, ( )

1

zQQz× v+, Rv×, ( )× pAAz× BBv×+( ), []+

2

Сопряженная система уравнений

d

d z

d

d p

d

p

t

z

t

H

- QQ- z× AATpd

d

H

d

AAz× BBv×+

Оптимальное управление в новых координатах

0.6

0

0.4 0 0

0

ö

0

÷ ÷

0

æ

0

ç

=

ç

0 0

vt() R1-- BBT× pt(

×

Сопряженная система уравнений после подстановки в нее

оптимального управления имеет вид:

d

z

H

t

d p

d

p

t

d z

AAz× Sp×-

d

H

- Q- z× ATpd

где

SS BBR

0

æ

0

ç

SS

=

ç

0 0

× BBT×:=

0 0 0 0

1-

0 0

0.214

0.027

0 0

0.027

0.576

ö ÷

÷

Модифицированная сопряженная система уравнений в

матричном виде: