Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
171
7-
æ
ç
è
ö
÷
ø
Given
,4,
,4,
´
÷
÷
÷
3-
´
´
÷
3-
C2
ç
ç
=
ç
ç
6.43- 10
0.878
4.056-
1.155 10
8.709- 10
Запишем выражение для функции у по двум участкам
Y1 t t1,( ) y t C1, a,( ) t t1£if
:=
y t t1- C2, b,( ) t t1>if
Построим график у для двух интервалов времени
(рис. 5.15):
2
Y1 t t1,( )
1
0
0 50 100 150 200 250
t
Рис. 5.15. Оптимальная траектория движения на первом и втором
интервалах
3. Для третьего участка вновь принимаем u=a и вектор
констант С3= С2. Точку переключения также задаем прибли-
женно по графику t2=210:
C3C2:= dt2 t2t1-:=
y dt2 C2, b,( )y0C3, a,( ) dy dt2 C2, 1,( ) dy 0 C3, 1,( )
dy dt2 C2, 2,( ) dy 0 C3, 2,( ) dy dt2 C2, 3,( ) dy 0 C3, 3,( )
dy dt2 C2
( ) dy 0 C3
C3 Find C3():=
( )
172
7-
æ
ç
è
ö
÷
ø
215
:=
Given
)
)
:=
´
0.272-
÷
÷
÷
3-
´
´
÷
3-
C3
=
6.43 10
ç
ç
ç
1.155- 10
ç
8.65 10
1.442
Выражение для функции у по трем участкам:
Y2 t t1, t2,( ) Y1 t t1,( ) t t2£if
:=
y t t2- C3, a,( ) t t2>if
График функции у для трех интервалов времени дан на
рис. 5.16.
2
Y2 t t1, t2,( )
Рис. 5.16. Оптимальная траектория движения на первом, втором и
1
0
0 50 100 150 200 250
третьем интервалах
.
t
4. Для четвертого участка u=b и вектор констант С4= С3.
Точку переключения задаем приближенно по графику t3=215:
C4C3:= t3
y 0 C4, b,( ) y dt3 C3, a,( )
dy 0 C4, 1, ( ) dy dt3 C3, 1, (
dy 0 C4, 2,( ) dy dt3 C3, 2,( )
dy 0 C4, 3, ( ) dy dt3 C3, 3, (
dy 0 C4, 4,( ) dy dt3 C3, 4,( )
dt3 t3t2-:=
C4 Find C4()
173
7-
æ
ç
è
ö
÷
ø
´
÷
÷
÷
3-
´
´
÷
3-
C4
ç
ç
=
ç
ç
6.43- 10
0.652
3.877-
1.147 10
7.999- 10
Выражение для функции у по четырем участкам
Y3 t t1, t2, t3,( ) Y2 t t1, t2,( ) t t3£if
:=
y t t3- C4, b,( ) t t3>if
График функции у для четырех первых участков дан на
рис. 5.17.
2
Y3 t t1, t2, t3,( )
Рис. 5.17. Оптимальная траектория движения на четырех первых
1
0
0 50 100 150 200 250
t
интервалах
5. Конечный участок: u=a, t4=218, tk=220, C5=C4.
Уточняем окончательно все точки переключения, конеч-
ную точку, константы для всех участков, исключая первый:
174
Given
y 0 C2, b,( ) y t1 C1, a,( )
,1,
,1,
,2,
,2,
,3,
,3,
,4,
,4,
,
,
,1,
,1,
,2,
,2,
0
0
0
0
0
ç
è
÷
ø
dy 0 C2
( ) dy t1 C1
( ) dy 0 C2
( ) dy t1 C1
( )
dy 0 C2, 3,( ) dy t1 C1, 3,( ) dy 0 C2, 4,( ) dy t1 C1, 4,( )
y t2 t1- C2, b,( )y0C3, a,( )
dy t2 t1- C2, 1,( ) dy 0 C3, 1,( ) dy t2 t1- C2, 2,( ) dy 0 C3, 2,( )
dy t2 t1-C2
( ) dy 0 C3
y 0 C4,b
( ) y t3 t2-C3,a
( )
( ) dy t2 t1-C2
( ) dy 0 C3
( )
dy 0 C4, 1,( ) dy t3 t2- C3, 1,( ) dy 0 C4, 2,( ) dy t3 t2- C3, 2,( )
dy 0 C4, 3,( ) dy t3 t2- C3, 3,( ) dy 0 C4, 4,( ) dy t3 t2- C3, 4,( )
y t4 t3- C4, b,( )y0C5, a,( )
dy t4 t3-C4
( ) dy 0 C5
( ) dy t4 t3-C4
( ) dy 0 C5
( )
dy t4 t3- C4, 3,( ) dy 0 C5, 3,( ) dy t4 t3- C4, 4,( ) dy 0 C5, 4,( )
dy tk t4- C5, 3,( )
y tk t4- C5, a,( )
dy tk t4- C5, 1,( )
dy tk t4- C5, 2,( )
dy tk t4- C5, 4,( )
t1t2< t2t3< t3t4< t4tk< t10>
t1
æ
ö
t2
ç
÷
ç
÷
t3
ç
÷
t4
ç
÷
tk
C2
C3
C4
C5
Find t1 t2, t3, t4, tk, C2, C3, C4, C5,( ):=
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ç
ERR 9.637 104-´=
175
2.594 10
æ
ç
è
ö
÷
ø
=
´
6-
0.25-
1.346
4.748- 10
´
0.025
÷
÷
÷
3-
÷
C5
ç
ç
=
ç
ç
Результаты определения конечных значений функции и
производных, а также точки переключения:
y tk t4- C5, a,( ) 5.379 105-´=
dy tk t4- C5, 1,( ) 4.237- 104-´= t2 216.225=
dy tk t4- C5, 2,( ) 5.311- 105-´= t3 216.225
dy tk t4- C5, 3,( ) 7.374- 105-´=
dy tk t4- C5, 4, ( ) 4.113 105-´=
t1 216.192=
t4 216.372=
tk 223.561=
Описание функций управления u и координаты у:
UUt() a t t1£if
:=
b t t2£ t t1>Ùif
a t t3£ t t2>Ùif
b t t4£ t t3>Ùif
a t t4>if
YYt() y t C1, a,( ) t t1£if
:=
y t t1- C2, b,( ) t t2£ t t1>Ùif
y t t2- C3, a,( ) t t3£ t t2>Ùif
y t t3- C4, b,( ) t t4£ t t3>Ùif
y t t4- C5, a,( ) t t4>if
Оптимальная траектория и оптимальное управление
представлены на рис. 5.18 и 5.19.
176
2
YYt()
1
0
0 50 100 150 200 250
t
Рис. 5.18. Оптимальная траектория движения
0
UUt()
10
210 212 214 216 218 220
t
Рис. 5.19. Оптимальное управление
Динамическое программирование
Метод был разработан Ричардом Беллманом для задач, которые удовлетворяют принципу оптимальности, сформулированным следующим образом. Оптимальное поведение обладает
тем свойством, что каковы бы ни были первоначальные состояния и решения в первоначальный момент времени – последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первоначального решения. Для динамических систем, описываемых диффе-
177
ренциальными уравнениями, состояние характеризуется набо-
(
)
¢
D
+
D
ром значений координат в каждый момент времени
и поведе-
t
ние такой системы определяется изменением координат во времени. Решением является управляющее воздействие на объект.
При интегральных критериях система управления удовлетворяет принципу оптимальности Беллмана.
Постановка задачи. Для системы управления, описанной
системой уравнений:
uxFx
,=
, n...1i = ,
ii
найти оптимальное управление и оптимальную траекторию,
удовлетворяющих критерию:
t
k
() ()( ) ()
0kk0
ò
t
н
,
mindtu,xFt,txgu,xJ
®+=
при переводе объекта из начального состояния x(t0)=x0 в конечное x(tk)=0 за произвольное время
tt -
.
0k
Обозначим минимальное значение критерия по управле-
нию для произвольной начальной точки t через функцию S, на-
зываемую функцией Беллмана
t
k
+=
ò
t
Введем точку
личину
ì
ï
í
min
ï
Î
Uu
î
, отстоящую от исходной на малую ве-
tt
, и запишем для нее функцию Беллмана
t
ì
min
Î
ï
í
ï
Uu
î
D+D+
Интеграл в правой части функции Беллмана
+=
ü
ï
.
dt
)t,u,x(0F)kt),kt(x(0g))t(x,t(S
ý
ï
þ
t
k
ò
t
ü
ï
.
dt
)t,u,x(0F)kt),kt(x(0g))tt(x,tt(S
ý
ï
þ
))t(x,t(S
можно представить в виде суммы
t
k
++=
òò
t
ü
ï
dtdt
)t,u,x(0F)t,u,x(0F)kt),kt(x(0g))t(x,t(S
ý
ï
þ
min
Î
D+
ì
ï
í
ï
Uu
î
tt
t
Как видно, сумма первого и последнего слагаемого при
оптимальном управлении является функцией Беллмана для на-
178
чального времени )tt(
D
+
D
+
®
D
[
]
{
}
[
]
{
}
D
®
D
¢
K
t
t
t
¶
, а интеграл от t до
при
tt
можно заменить приблизительно на произведение
.
))t(x,t(S D+D+D+
=
min
Uu
Î
t)t,u,x(0F)tt(x),tt(S
Поскольку ))t(x,t(S не зависит от u, то эту функцию можно внести под знак минимума:
.
0t)t,u,x(0F))t(x,t(S)tt(x),tt(S
min
Uu
Î
Разделив все слагаемые на
dS
получим: 0)t,u,x(F
0t
min
Î
ì
+
í
Uu
î
0
dt
и переходя к пределу при
t
ü
=
.
ý
þ
=D+-D+D+
Распишем полную производную функции Беллмана
min
Î
n
ì
ï
í
Uu
ï
î
å
=
S
¶
x
¶
i
1i
dx
S
¶
i
+
+
dt
0
t
¶
ü
ï
0)t,u,x(F
=
.
ý
ï
þ
Заменим производные от координат х, используя уравне-
ния объекта
)t,u,x(Fxii=
, n1i
= ,
ì
ï
í
0
Uu ¶
Î
ï
î
n
S
¶
)t,u,x(Fmin
+
å
x
¶
i
1i
=
ü
S
¶
ï
)u,x(F
-=
ý
i
ï
þ
.
t
Полученное уравнение носит название уравнения Беллмана.
Если
Беллмана также явно не зависит от
F в явном виде не зависит от
i
. Тогда
, то и функция
S
и уравнение
0
=
¶
Беллмана будет иметь вид:
ì
ï
í
0
Uu
Î
ï
î
n
S
¶
)t,u,x(Fmin
+
å
x
¶
i
1i
=
ü
ï
.0)u,x(F
=
ý
i
ï
þ
0t
t)t,u,x(0F D
.
Решение задач оптимального управления методом
динамического программирования
Алгоритм решения задачи
1. Составляем уравнение Беллмана, формально записывая
функцию
.
S
179
2. Находим оптимальное управление, зависящее отS.
¢
¢
3. Подставляем выражение для оптимального управления
в уравнение Беллмана, решаем его и находиv функциюS.
4. Найденные выражения для
подставляем в формулу
S
оптимального управления.
Пример 6. Для объекта, описываемого дифференциаль-
ным уравнением
,
kuxAx =¢×+
найти оптимальное управление
)t(x
, обеспечивающих минимум критерия
t
k
ò
0
22
b+l=
dt)ux(I
при переводе объекта из начального
0)t('x)t(x
ное состояние
==
за произвольное время tk.
kk
)t(u
и траекторию движения
x)0(x =
, 0)0('x = в конеч-
0
Решение. Сводим уравнение объекта к системе уравнений
Коши, приняв
¢
=
ì
í
¢
î
,xx
21
x)t(x =
:
1
-=
.Axkux
22
Критерий и граничные условия при этих обозначениях
примут вид:
t
k
ò
0
x)0(x =
22
b+l=
1
,
01
dt)ux(I
x)0(x =
,
02
0)t(x)t(x
==
k2k1
1. Составляем уравнение Беллмана
dS
min
u
ì
F
í
î
ü
0
=
+
ý
0
dt
þ
или
n
где
ì
ï
F
í
0
min
ï
u
î
F
- подынтегральное выражение критерия; S – функция
0
¶
+
å
¶
1i
=
Беллмана, зависящая от координат объекта
ü
dx
S
ï
i
0
=
,
ý
dt
x
ï
i
þ
x .
i
.
180
Производные от координат в уравнении Беллмана заме-
¶
¶
F
¶
¶
¶
ним правыми частями уравнений Коши, описывающих объект:
min
u
ì
2
í
1
î
S
¶
2
ux
+b+l
x
¶
1
S
¶
+
¶
( )
x
2
x
2
ü
0Axku
-
=
.
ý
2
þ
Обозначим
S
22
ux -
1
x
+b+l=F
x
¶
1
S
( )
+
2
x
¶
2
Axku
.
2
2. Найдем управление, обеспечивающее экстремум функ-
ции Ф. Из условия
0u=
¶
находим
S
u2
+b
¶
0k
=
x
2
.
Оптимальное управление выразим из последнего уравне-
ния и отметим символом *
*u
.
b¶
2kx
2
S
-=
3. Подставляем выражение для оптимального управления
в уравнение Беллмана, решаем его и находим функцию S :
2
k
2
x
b+l
1
2
4
b
2
ö
æ
S
¶
ç
ç
x
¶
2
è
S
¶
÷
÷
ø
x
+
¶
-
2
x
1
2
2
ö
æ
ç
ç
¶
è
k
S
¶
÷
÷
x
2
b
2
ø
S
¶
-
x
¶
2
0Ax
=
.
2
Получили нелинейное уравнение в частных производных
с неизвестной функцией
. Этому уравнению удовлетворяет, в
S
частности, квадратичная форма, поэтому его решение ищем в
виде
2
xaxxaxaS ++= ,
2222112
где
2
111
a
a
12
a
,
- неизвестные коэффициенты.
22
11
,
Подставим решение в уравнение Беллмана:
2
k
2
x
-l
1
4
b
( )
2
222112
0xxaxa2A
=+-
2112222
x)xaxa2()xa2xa(
-+++
2212111
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]