Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
201
2) В MathCad для расчета собственных значений матрицы
L
=-TATTT
L=T
AT
используется функция eigenvals(A). Аргумент А функции eigen-
vals – матрица. Функция возвращает вектор собственных значе-
ний аргумента, из которых затем нужно сформировать диагональную матрицу L.
Для нахождения матрицы Т условие (6.14) умножим слева
на Т:
1
,
. (6.17)
Для того чтобы получить Т такое, чтобы оно диагонализировало матрицу А, необходимо найти решение уравнения (6.17).
В MathCad можно воспользоваться функцией расчета
нормализованной матрицы (составленной из собственных векторов матрицы-аргумента) с помощью функции eigenvecs(A).
Аргумент А функции eigenvecs – матрица. Функция возвращает
нормализованные значения аргумента. Результат функции ei-
genvecs(A) – матрица Т.
После определения элементов матриц – L и Т. можно воспользоваться известной формулой решения систем дифференциальных уравнений в матричном виде (6.7), скорректированной для решения (6.15) с учетом его отличий от уравнения (6.1):
t
t
0
ò
0
В силу (6.13) неизвестные начальные условия
-t-LL
1)t(
. (6.18)
tt+=
d)(buTeye)t(y
y в (6.18)
0
могут быть получены из соотношения
)t(xT)t(y1-=
Неизвестное значение )t(x определяем из (6.13)
x(t) = Тy(t). В случае размера матриц 2х2 решение имеет вид:
l
0
ö
æ
1
÷
1
ç
ç
2
è
è
÷
=
e
÷
)t(y
ø
ç
ç
)t(y
ö
æ
t
÷
y
æ
l
0
01
12
ø
ç
ç
y
02
è
l
0
ö
æ
1
t
ö
÷
+
e
ò
÷
ø
0
÷
ç
ç
0
è
t-
)t(
÷
l
æ
12
ø
ç
ç
è
-
1
0
tt
1211
tt
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
b
2221
è
ø
,
÷
t
d)t(u
÷
ø
где начальные условия
-
1
y
ö
æ
01
÷
ç
=
÷
ç
y
02
ø
è
tt
æ
ç
ç
tt
è
x
ö
æ
ö
1211
2221
01
÷
ç
÷
÷
ø
.
÷
ç
x
02
ø
è
202
Искомая функция x(t):
t
èöø
èöø
ø
ø
y
x
ö
æ
1
÷
ç
=
÷
ç
x
2
ø
è
tt
æ
1211
ç
ç
tt
è
ö
æ
ö
1
÷
ç
÷
.
÷
ç
÷
y
2
2221
ø
è
ø
Пример 3. Решение системы дифференциальных уравнений методом преобразования координат в MathCad. По-
строим переходной процесс системы, описывающейся дифференциальным уравнением вида
где 2,0T
2
T
= , 2,1T2= .
1
)t(xd
1
2
dt
)t(dx
T
2
dt
)t(ku)t(x
=++ ,
Решение. Воспользуемся результатами примера 2, полу-
ченными выше. Введением новых переменных дифференциальное уравнение второго порядка может быть представлено в виде
системы двух уравнений в виде Коши. Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений для нулевых начальных условий и управляющего воздействия в виде единичной ступенчатой функции:
)t(dx
æ
ç
ç
ç
ç
è
ö
1
÷
dt
÷
=
)t(dx
÷
2
÷
dt
ø
10
æ
æ
ç
ç
è
ö
1
ç
÷
÷
ç
56
--
2
è
ø
0
)t(x
ö
æ
ö
÷
÷
ç
+
÷
)t(x
ø
)t(u
.
÷
ç
2
ø
è
Задаем исходные данные:
ORIGIN1:= A
06-1
æ
:= B
5-
000
æ
:= u
2
0
æèö
:= x
1
0
æèö
:=
0
0
Так как матрица А недиагональная, то приведем систему
дифференциальных уравнений к новым координатам. Решение
будем искать в виде:
t
yt()e
Lt×T1-
× x0×
ó
ô
õ
0
Ltt-()×
e
1-
×
()
T
× B×ut
d+
Определяем собственные значения матрицы А – вектор l
и формируем матрицу L:
203
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
ç
÷
÷
èöø
)
ø
l
ç
è
÷
ø
èöø
)
1
èöø
èöø
èöø
èöø
(
)
ë
û
ë
û
ê
ë
ú
û
(
)
l eigenvals A(
:=
2-
æèö
l
= L
3-
æ
:= L
1
00l
ö
2
находим матрицу Т, а затем и матрицу L, обратную T:
T eigenvecs A(
:= LT
-
:=
2-00
æ
=
3-
0.447-
æ
T
= L
0.894
0.316-
0.949
Выполняем проверку:
0.894
æ
AT×
= T L×
0.949
1.788-
2.849-
Находим значения матрицы
()
expl t t,
exp L
é
11,
t t-
×
0
exp L
22,
0
( )
t t-
×
и подынтегрального выражения BuTe
æ
()
Integr t t,
()
( )
expl t t,
Находим функции y(t) и x(t):
t
æ
ó
ô
õ
ç
yt( ) expl t0,( )L× x0×
0
+ simplify
ç
t
ó
ç
ô
õ
0
L×B×u×
ç
®:=
ç
()
tIntegrtt,
d
1
()
tIntegrtt,
d
2
æ
=
0.894
æ
=
1.788-
teL
:
ù
exp3-t× 3t×+
æ
®:=
è
t 1)( --L
t
( )
12- exp3-t× 3t×+
× 10
( )
12exp2-t× 2t×+
× 5
ö
÷
÷
÷
:
æ
4- 10
ç
®:=
ç
65
è
6.697-
6.309
0
×
× 4exp3-t×( )× 10
× 6exp2-t×( )× 5
0.948
2.847-
×
1
2
1
2
1
2
2.23-
3.155
( )
exp2-t× 2t×+
1
ö
2
÷
÷
0
×+
×-
1
2
ö
ø
1
ö
2
÷
÷
ø
xt() Tyt()× simplify
2 4exp3-t×( )× 6exp2-t×( )×-+
æ
®:=
12- exp3-t×( )× 12exp2-t×( )×+
204
Строим графики полученных функций (рис. 6.5.), задавая
5
50t
первоначально значения аргумента t 0 0.01,
2
2
1.6
1.2
xt()
1
xt()
2
0.8
0.4
0
0 1 2 3 4 5
Рис. 6.5. Решение методом преобразования координат
..:=
Решение системы дифференциальных уравнений
методом Лагранжа-Сильвестра
Метод позволяет получить аналитическое решение системы нормальных дифференциальных уравнений (6.1), в случае
если матрица А недиагональная, не прибегая к линейному преобразованию координат. Матрица eAt представляет собой фундаментальную матрицу системы Ф(t). Рассчитать значения элементов матрицы Ф(t) можно с помощью интерполяционного
многочлена Лагранжа-Сильвестра:
aa
æ
ç
ç
è
ö
1211
÷
t
÷
aa
2221
ø
==
)t(Фe
фф
æ
ç
ç
è
ö
1211
÷
.
÷
фф
2221
ø
Теорема утверждает, что ряд от матрицы сходится к ко-
нечной сумме
¥
lll=
å
=
1i
),(F)(f)A(f ,
jii
где li – собственные значения матрицы А,
205
n
l
-
l
-
èöø
èöø
ø
ø
t
)
ø
èöø
l-
EA
=ll
),(F
ji
Õ
=
¹
j
. (6.19)
l-l
1j
ij
ji
Для функции f(A) = eAt с учетом (6.19) получаем:
n
n
l
tAt
i
=
ee
Õå
1i
l-
EA
j
. (6.20)
l-l
==
1j
¹
ij
ji
Таким образом, для матрицы А, размером 2х2 имеем:
EA
tAt
ee
=
2
l-l
21
t
ll
21
e
+
EA
1
, (6.21)
l-l
12
для матрицы размером 3х3:
EAEA
l-
2
At
t
ee
=
l-l
l-
t
l
3
e
+
l-
3
ll
e
+
l-l
21
EA
1
l-l
31
EA
l-
.
l-l
23213
l-
1
t
21
l-l
EAEA
l-
l-l
32312
+
. (6.22)
Пример 4. Решение системы дифференциальных урав-
нений методом Лагранжа-Сильвестра в MathCad. Решим
систему дифференциальных уравнений из примера 3 другим
способом. Задаем исходные данные:
ORIGIN1:=
06-1
æ
A
:= B
5-
000
æ
:= u
2
0
æèö
:= x
1
0
æèö
:=
0
0
Решени е будем искать в виде:
t
xt()e
At×
ó
x0×
õ
0
e
Att-()×
ô
()
B×ut
×
d+
Так как матрица А недиагональная, то значение eAt получим с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра. Для этого опре-
деляем собственные значения матрицы А – вектор l и задаем
единичную матрицу:
l eigenvals A(
:=
2-
æèö
l
= E
3-
100
æ
:=
1
206
Рассчитываем элементы фундаментальной матрицы
(
)
(
)
(
)
(
)
èöø
(
)
(
)
èöø
ç
ç
è
÷
÷
ø
Al2E×-
tt-()×
× e
l1l
-
×+
( )
×-
l2tt-()×
2
()
F t t,
l
()
F t t,
æ
®
6exp3-t× 3t×+
1
e
2-exp3-t× 3t×+
× 3exp2-t× 2t×+
( )
× 6exp2-t× 2t×+
Находим значение подынтегрального выражения e
12- exp3-t× 3t×+
× 12exp2-t× 2t×+
()
Integr t t,
()
Ftt,
B×u×
æ
®:=
36exp3-t× 3t×+
× 24exp2-t× 2t×+
( )
Al1E×-
×+:=
l2l
-
1
exp3-t× 3t×+
- exp2-t× 2t×+
( )
3exp3-t× 3t×+
× 2exp2-t× 2t×+
+
×-
A(t-t)
×+
( )
×-
( )
Bu(t):
Находим решение системы дифференциальных уравнений:
t
xt() Ft0,( )x0×
æ
ç
+
ç
ç
ó
ô
õ
0
t
ó
ô
õ
0
()
()
tIntegr t t,
d
1
tIntegr t t,
d
2
ö
÷
®:=
÷
÷
24 6expt()×-( )exp3-t×( )×+
é
12- 12expt()×+( )exp3-t×( )×
ë
Строим графики функций (рис. 6.6), задавая интервал времени
t 0 0.01,5..:=
2
ù
û
1.6
1.2
xt()
1
xt()
2
0.8
0.4
0 1 2 3 4 5
t
Рис. 6.6. Решение с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра
207
Оптимизация многомерных систем
по среднеквадратичному критерию
Постановка задачи. Для системы, динамика которой опи-
сывается дифференциальным матричным уравнением (6.1)
)t(dx
dt
,x)0(x),t(Bu)t(Ax
=+=
необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор
оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия:
¥
1
[ ]
J
ò
2
0
®+=
, (6.23)
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
где R, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответст-
вующих размеров. Выражение вида )t(Ru)t(u))t(Ru),t(u(
T
= –
квадратичная форма, представляющая собой скалярное произведение. Основные свойства квадратичных форм см. в приложении.
Критерий качества (6.23) представляет собой скалярную
величину, получаемую путем некоторого функционального преобразования совокупности характеристик качества управления.
Первое слагаемое оценивает отклон ение реальных переменных
состояния от желаемых и представляет собой своеобразный
«штраф» за ошибки. Второе слагаемое оценивает стоимость
управления. Физически оно характеризует затрачиваемую энергию на управление.
Основная трудность формирования квадратичного критерия связана с выбором элементов весовых матриц Q и R. Предварительный выбор может быть осуществлен с помощью следующих рекомендаций.
1. Часто Q и R диагональные матрицы, т.е. Q содержит n
ненулевых элементов, R – r ненулевых.
2. Произвольно выбирается значение r11, q11. Полагают,
что максимально допустимые отклонения переменных состоя-
208
ния x(t) и управления u(t) в любой момент времени вносят в
функционал качества одинаковый вклад, тогда
2
æ
ç
q
=
ii
ç
è
æ
ç
r
= ,
jj
ç
è
где x
– максимально допустимое отклонение i-й переменной
i max
состояния ( n,2i = ) , определяемое техническим заданием; u
ö
x
max1
÷
,
q
11
÷
x
maxi
ø
2
ö
u
max1
÷
r
11
÷
u
maxi
ø
j max
максимально допустимое отклонение j-го сигнала управления
)r,2j( = согласно техническому заданию.
Общий вклад максимально допустимых отклонений переменных состояния должен приблизительно соответствовать общему вкладу допустимых сигналов управления:
n
2
1i
r
åå
==
1j
2
urxq .
maxjjj
=
maxiii
3. Полученные значения представляют собой начальные
оценки весовых коэффициентов. Если отклонения по всем переменным достигают своего максимума не одновременно, то
указанные формулы неверно отражают требования, предъявляемые к системе. Поэтому коэффициенты окончательно выбираются после нескольких пробных процедур синтеза и моделирования системы управления.
В теории оптимального управления доказано, что оптимизация по квадратичному критерию всегда приводит к линейному
закону управления, т.е. для объекта в отклонениях от желаемого
режима
)t(dx
dt
)t(Bu)t(Ax
+=
необходимо найти линейный регулятор в обратной связи по переменным состояния
)t(Kx)t(u -= ,
–
209
который обеспечил бы минимум интегрального критерия каче-
&
AxxBu-=
&
&
&
()(
)
2
2
ства (6.23).
Решение задачи оптимального управления
приведением к задаче безусловной оптимизации
Задача формулируется следующим образом. Найти оптимальную траекторию и оптимальное управление, обеспечивающее перевод многомерн ог о линейного объекта , математическая
модель которого задана дифференциальным матричным уравнением (6.1) и удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости
),t(Bu)t(Ax)t(x +=
из состояния ,x)0(x
= в состояние ,x)t(xkk= в соответствии с
0
критерием оптимальности (6.23):
¥
1
( )
I .
ò
2
0
TT
+=
dt))t(Ru)t(u(())t(Qx)t(x((
Одним из методов получения решения задачи, является
приведение ее к задаче безусловной оптимизации. Из уравнения
ограничения (6.1) выразим значение управления )t(u и подста-
вим в критерий (6.23), чтобы можно было воспользоваться
уравнением Эйлера:
.
Домножим обе части выражения на
1B-
слева, чтобы вы-
разить )(tu :
111 ---
AxBxBBuB
-=×
11 --
AxBxBu
-=
,
. (6.24)
Получим транспонированное значение управляющего
воздействия
&
-=
Т
1ТТ
Т
1ТТ
--
BAxBxu
, (6.25)
тогда с учетом полученных выражений (6.24) и (6.25) подынтегральное выражение критерия оптимальности (6.23) имеет вид:
1
[ ]
F
1
)Ru,u()Qx,x(
ТТ
=+=+= )RuuQxx(
210
æ
()(
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
2
&
&
()(
)
&
ç
1
ç
2
ç
è
1
æ
ç
2
è
() ()
Введем обозначения
ческая. Тогда
Т
1ТТ
&
() ()
Т
u
Т
1ТТ
Т
1ТТ
&
+-
Т
1
1ТТ
44443444421
&&&
Т
1ТТ1
BBRS-= . Матрица S - симметри-
Т
1Т1
T1
== . Полученное подын-
&
--+=
u
Т
1
----
AxRBBxxRBBxQxx
--+=
ö
1
----
.AxRBBAxxRBBAx
÷
ø
11T11
-----
S)BBR(RBB
----
11
4434421
ö
÷
=
)AxBxB(R)BAxBx(Qxx
÷
÷
ø
тегральное выражение критерия с учетом введенного обозначения
1
F
&&&&
+--+=
1ТТ1ТТ1Т1ТТ ----
.AxSAxxSAxAxSxxSxQxx
С учетом того, что третье слагаемое последнего выраже-
ния можно представить в виде
T
1Т1Т
== ,
1ТТ
---
&&&
xSAxAxSxAxSx
приводим подобные слагаемые
1
F
-++=
1ТТ1Т1ТТ
---
&&&
xSAx2xSxx)ASAQ(x
(6.26)
или
¥
1
( )
I
ò
2
0
-++=
---
1ТТ1Т1ТТ
&&&
dtxSAx2xSxx)ASAQ(x
.
Полученное выражение соответствует задаче безусловной
оптимизации, которая может быть решена с помощью уравнения Эйлера (2.5):
¶
¶
dx)x,x(F
æ
-
ç
dt
è
)x,x(F
¶
ö
.0
=
÷
&
x
¶
ø
Продифференцируем выражение (6.26) по )t(x и )t(x&.
1
F
¶
¶
¶
=
x
x2
¶
1Т1Т
--
-+=
¶
x)ASAQ(x
-+
¶
,xSAx)ASAQ(
1Т1ТТ
--
&
AxSx
x
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]