Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Пример 2. Задача Лагранжа для объекта второго по-
=
рядка. Для теплообменника, температура продукта на выходе
которого подчиняется дифференциальному уравнению
2
a
2
dt
dT
Td
a
2
dt
01
kuTa
=++ ,
найти оптимальное управление )t(u , обеспечивающее опти-
мальное изменение температуры продукта T(t) на выходе от
до
Т за время
k
t
k
2
=
dtuI . Дополним граничные условия
ò
0
требованиями к производным 0)0('Т
t с минимальным расходом энергии, т. е.
k
Т)0(Т = ,
0
, 0)t('Т
= , обеспечиваю-
k
Т
Т)t(Т = ,
kk
щими отсутствие импульса в управлении в начальный момент и
сохранение температуры в конечный момент времени.
1. Вводя новые функции Tx
= , запишем исходное урав-
1
нение в виде системы уравнений в форме Коши, где левые части
уравнений содержат производные функций с возрастающим номером индекса, правые – не содержат:
dx
ì
1
=
,x
ï
ï
í
dx
ï
ï
î
2
dt
--
xaxaku
=
dt
a
21102
.
2
(4.15)
2. Запишем функцию Гамильтона, включающую в себя
подынтегральное выражение критерия и правые части (4.15),
умноженные на неопределенные функции Лагранжа:
xaxaku
2
0
)t(x)t(uH
y+y+y=
221
--
2110
a
2
. (4.16)
3. Запишем систему уравнений Эйлера-Гамильтона
d
H
¶
x
¶
H
¶
u
¶
y
i
-=
, i=1, 2,
dt
i
0
=
0
101
102
для функции Гамильтона (4.16):
k
(
)
(
)
d
a
)t(
2
a
y
0
2
21
20
1
-=y-
, (4.17)
dt
d
a
)t()t(
a
k
)t(u2
a
y
1
2
2
2
-=y-y
, (4.18)
dt
0
=y-y
. (4.19)
Совместно с системой (4.15) уравнения (4.17) – (4.19) со-
ставляют замкнутую систему, достаточную для определения
всех неизвестных функций )t(x1, )t(x2, )t(u , )t(
нимаем
y равной единице.
0
y , )t(2y ; при-
1
4. Чтобы упростить процесс решения системы дифферен-
циальных уравнений, исключим последовательно из системы
(4.17) – (4.19) )t(
y , )t(2y . Для этого выразим из (4.18) )t(1y
1
d
a
y
2
1
)t()t(
21
-y=y
dt
a
2
и подставим в (4.17):
2
d
a
y
0
)t(
2
=y . (4.20)
a
2
Из (4.19) выразим )t(
a
2
2)t(
=y
2
d
y
12
aadt
2
y
2
,
)t(u
2
-
2
dt
и подставим в (4.20), которое после упрощения запишется как
2
dt
du
a
ud
1
2
dt
a
2
a
0
0
)t(u
=+- . (4.21)
a
2
5. Решаем полученное однородное уравнение (4.21) и на-
ходим выражение для управления
)tpexp(C)tpexp(C)t(u
2211
21
pp ¹ ,
21
pp = ,
21
tcosCtsinC)texp()t(u
b×+b×a= , если b±a= jp
2,1
,
если
×+×= ,
p,p действительные и
21
tCC)tpexp()t(u
×+= , если
211
где
(
)
()()(
)
p,p - корни квадратного характеристического уравнения,
21
записанного по (4.21):
2
p
a
0
1
p
2
0
=+-
. (4.22)
a
2
a
a
Поскольку для управления не заданы никакие значения,
постоянные
C,С пока не определяются.
21
6. Подставляем найденное выражение для u в исходное
уравнение объекта управления, рассматривая в дальнейшем
только первое решение для u(t). Для других наборов корней решения будут находиться аналогично:
2
a
2
dt
dT
Td
a
2
dt
[ ]
×+×=++
)tpexp(C)tpexp(CkTa
221101
. (4.23)
Решение этих неоднородных уравнений состоит из общего
решения однородного уравнения и частных решений неоднородных. Общее решение однородного уравнения
2
a
2
dt
dT
Td
a
2
dt
0Ta
=++ (4.24)
01
также записывается как
)tpexp(C)tpexp(C)t(To
4433
pp = ,
43
tоcosCtоsinC)tоexp()t(То
43
×b×+×b××a= , если оjоp
4,3
b±a= ,
где
×+×= , если43p,p действительные и
pp ¹ ,
43
tCC)tpexp()t(То
×+= , если43p,p действительные и
433
p,p - корни характеристического уравнения, записанного
43
по дифференциальному уравнению (4.24):
2
p
a
0
1
p
2
0
=++
. (4.25)
a
2
a
a
Сопоставляя уравнения (4.22) и (4.25), отметим, что корни
у них отличаются, т.к. знаки у вторых слагаемого различные, но
дискриминанты одинаковы. Следовательно, если
pp = , а если
43
pp ¹ , то и
21
pp ¹ .
43
pp = то и
21
Частное решение уравнения (4.23) будет иметь вид:
×+×= .
)tpexp(В)tpexp(А)t(Tч
21
103
104
Коэффициенты А и В решения могут быть выражены че-
()(
)
(
)
(
)
=
рез константы С при подстановке этого частного решения в левую часть неоднородного уравнения (4 .23):
2
d
[ ] [ ]
a
2
2
dt
[ ][ ]
d
a)tpexp(В)tpexp(А
dt
×+×=×+×+
)tpexp(В)tpexp(А
+×+×+×+×
21121
.)tpexp(C)tpexp(Ck)tpexp(В)tpexp(Аa
2211210
Выполняя дифференцирование и группируя слагаемые с
одинаковыми экспонентами, получим
2
121
[ ]
×+×=
2211
.)tpexp(C)tpexp(Ck
2
222011
apapa)tpexp(Вapapa)tpexp(А
=+++++
021
Из условия совпадения коэффициентов при одинаковых
экспонентах в левой и правой частях уравнения (обеспечения
тождества) составляем два уравнения:
2
12
2
22
kCapapaА =++ ,
1011
kCapapaВ =++ ,
2021
из которых выражаем А и В:
А++=
kC
2
( )
12
1
,
apapa
В++=
011
kC
2
2
( )
22
apapa
021
.
7. Составляем полное решение неоднородного уравнения
как сумму общего решения однородного и частного решения
неоднородного уравнения:
)tpexp(C)tpexp(C)t(T
+×+×=
4433
kC
+
( ) ( )
1
2
12
apapa
++
011
)tpexp(
+×
1
kC
2
2
22
×
apapa
++
021
).tpexp(
2
8. Для определения постоянных интегрирования С1 – С
используем граничные условия:
Т)0(Т = ,
0
Т)t(Т = , 0)0('Т
kk
, 0)t('Т
= ,
k
т.е. составляем четыре алгебраических уравнения, содержащие
четыре неизвестные величины С
– С4, и решаем их.
1
Численное решение примера 2 в Mathcad.
1. Зададим значения параметров и граничные условия
a0:=1 a1:=60 a2:=500 k:=3 T0:=20 Tk:=90 tk:=70
4
2. Запишем первое характеристическое уравнение (4.22) и
T
Given
T0
0
0
èöø
èöø
решим его
a2p2× a1p×- a0+ 0
solve
float5,
®
æ
0.1
.
0.02
Корни характеристического уравнения переприсвоим
р1:=0.1 р2:=0.02 .
3. Запишем второе характеристическое уравнение и ре-
шим его
a2p2× a1p×+ a0+ 0
solve
float5,
®
0.1-
æ
,
0.02-
р3:=-0.1 р4:=-0.02 .
4. Запишем общее, частное и полное решения дифферен-
циального уравнения (4.23), а также производную от решения
TotC, ()C
e
× C4e
3
p3t×
p4t×
,
×+:=
TchtC, ()
a2 p12× a1 p1×+ a0+
T tC, ( ) TotC, ( ) TchtC, ()+:=
dTtC, ()tTtC, ()
:=
d
d
kC1×
.
p1t×
e
×
a2 p22× a1 p2×+ a0+
,
kC2×
p2t×
e
×+:=
5. Найдем вектор неизвестных постоянных С численным
методом с помощью процедуры Find и блока Given, для чего
необходимо задать начальное приближение вектора C, в блоке
Giv en записать условия поиска и процедуру:
C 2- 15-2( )
:=
T0C, ( )
dT0C, ( )
C FindC():=
TtkC, ( ) Tk
dTtkC, ( )
105
,
106
6. Выведем результаты решения и проверим правильность
æ
ç
è
ö
÷
ø
×
t
×
решения
0.091-
23.588
ç
C
=
ç
9.709
19.171-
dT0C, ( )0= TtkC, ( ) 90=
dTtkC, ( )0= T0C, ( ) 20=
÷
÷
7. Опишем функцию управления
u t()C
e
× C2e
1
p1t
p2
.
×+:=
8. Построим графики для температуры и управления
(рис. 4.2):
80
TtC, ()
60
40
ut()
20
0
0 20 40 60
t
Рис. 4.2. Графики изменения температуры и оптимального управления
Значение критерия равно
tk
ó
ô
õ
0
2
tut()
d 1.058 105´=
Задача Больц а
Задача Больца представляет собой наиболее общий случай
задачи оптимального управления, в которой функционал включает в себя как терминальную, так и интегральную части критерия. Задача Больца формулируется следующим образом.
Для объекта, описываемого системой дифференциальных
(
)
¢
¢
(
)
[
]
уравнений вида (4.2)
,n...1i,0u,u,x,x,t
F
i
==
изопериметрическими зависимостями
t
к
ò
t
н
( )
q
q
r,1qconst;ldtu,x,tf
===
,
и алгебраическими уравнениями
,
nh,h...1k,0u,x,t
k
<==j
найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траекторию
x(t), обеспечивающие минимум критерия оптимальности (4.1)
t
к
()
[ ]
=
¢¢
( )
+
кнкнкн0
ò
t
н
¢¢
dtu,u,x,x,tFt,t),t(x),t(x),t(x),t(xgu,xJ
при переводе объекта из начального состояния в конечное за
заданное или произвольное время, причем одна или обе границы
могут быть не фиксированы, а включены в терминальную часть
критерия и (или) заданы гиперповерхностями:
0t,t),t(x),t(xg
=
, j=1,..p. (4.26)
кнкнj
Задача решается проще, если функционал не содержал
производных или от них избавились в результате ввода новых
переменных т. е.
t
к
()
[ ]
+=
кнкн0
ò
t
н
( )
dtu,x,tFt,t),t(x),t(xgu,xJ
,
а дифференциальные уравнения, описывающие элементы системы, так же как и в задаче Лагранжа, можно записать в форме
Коши.
Для решения задачи Больца по подынтегральной функции
и ограничениям записывают функцию Лагранжа или Гамильтона, составляют и решают сопряженные системы уравнений и
находят их решения в общем виде. Из терминальной части критерия и граничных условий (4.26) составляют дополнительную
функцию
, аналогичную функции Лагранжа:
G
107
108
p
'
x
F
[ ]
n=
å
=
0j
, (4.27)
t,t),t(x),t(xgG
кнкнjj
которую используют в условиях трансверсальности для поиска
неизвестных констант для экстремалей, где
ные множители, причем 1
±=n . Условия трансверсальности
0
n - неопределен-
j
восполняют отсутствующие граничные условия.
Поскольку значение искомых функций на границах ин-
тервала интегрирования, вошедшие в функцию
g , подлежат
0
поиску из условия обеспечения экстремума функционала, следовательно, они должны быть исключены из жестких граничных
условий, т. е. они не могут быть заданы численно.
Условия трансверсальности для задачи Больца, функционал которой зависит от одной функции, были получены ранее в
главе 2 из вариации функционала при изменении верхнего и
нижнего пределов. Так, при варьировании верхнего предела экстремали δx(tk) и интервала времени δt
вариация функционала
k
будет равна
J
+
¶
=d
g
¶
t
k
F
¶
¶
'x
t
k
+d
¶
æ
ç
()
ç
è
g
¶
d
()
tx
k
æ
-+d
ç
è
()
,tx
k
¶
'xFtx
¶
F
ö
÷
'x
ø
kkk
ö
÷
÷
ø
t
kttkt
+d
а условия трансверсальности запишутся как
F
¶
'x
¶
g
¶
+
()
¶
где
kk
ней границы;
точке tk;
æ
ç
ç
è
'x÷÷
æ
ç
()
ç
è
()
tx
k
- терминальная часть критерия, зависящая от верх-
)t,x(g
¶
'xF¶
F
¶
ö
t
k
'x
¶
ø
,0tx
=d
k
- значение производной функции F по
t
k
- значение произведения в точке tk .
-+d
æ
ç
è
¶
'xFtx
¶
F
ö
÷
'x
ø
kkk
ö
÷
t
÷
ø
g
¶
t
t
k
+d
k
(4.28)
+d
kttkt
¶
в
Подставляя в правую часть вариации функционала вместо
функцию Лагранжа L, вместо g - функцию G, получим усло-
вие трансверсальности для векторной задачи Больца, функцио-
(
)
(
)
(
)
нал которой зависит от множества функций. Учитывая использование неопределенных множителей Лагранжа
(4.27), будем считать независимыми вариации
независимых
txd иktd условия трансверсальности (4.28) рас-
k
в функции G
n
j
txd и δt
ki
, а для
k
падаются на два уравнения:
t
k
'xF(
+
¶
¶
F
¶
¶
g
()
tx
k
)
t
k
'x
=
¶
+
¶
,0
g
t
k
=
,0
¶
ì
ï
¶
ï
í
ï
ï
î
F
'x
-
причем первое уравнение – это условие трансверсальности при
изменении
tx
, второе – при изменении tk.
k
Для функционала, зависящего от многих функций, аналогичные условия трансверсальности при варьировании верхней
границы имеют вид:
å
=n1i
-=
it
¶
¶
'xL
¶
¶
L
G
()
tx
ki
t
kk
'x
i
-=
=
¶
G
¶
t
k
K
,n1i,
=
K
(4.29)
.n1i,
¶
ì
ï
¶
ï
í
ï
ï
î
L
'x
i
t
k
-
В случае изменения нижней границы
t
н
å
=n1i
=
¶
it
¶
G
()
tx
нi
¶
L
'xL
¶
'x
i
t
нн
=
¶
=
¶
K
G
t
н
,n1i,
=
K
(4.30)
.n1i,
¶
ì
ï
¶
ï
í
ï
ï
î
L
'x
i
-
При использовании функции Гамильтона с учетом зави-
симости между функциями Лагранжа и Гамильтона
n
y-=
å
=
1i
следующего из нее выражения для производной
,
'x)t(HL
ii
L
¶
'x
¶
i
),t(
y-=
i
109
110
а также производной
()()(
)
¢
(
)
(
)
(
)
(
)
¶
=
x
x
¶
¶
ii
)t('
y-=
, полученной с учетом
i
H
L
¶
(4.5), условия трансверсальности для переменной верхней границы примут вид:
¶
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
ki
k
G
=y
)t(
()
¶
¶
G
-=
)t(H
¶
t
k
tx
ki
.
=
K
,n1i,
(4.31)
Аналогично для вариации нижней границы
¶
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
нi
)t(H
н
)t(
=
-=y
¶
G
¶
t
н
¶
.
G
()
tx
нi
=
K
,n1i,
(4.32)
Пример 3. Задача Больца. Для объекта, описываемого
дифференциальным уравнением
tutxtx +=
, (4.33)
найти оптимальную траекторию, и оптимальное управление,
обеспечивающее минимум критерия
1
()
ò
0
2
min)1(xdt)t(uu,xJ
®-=
(4.34)
и осуществляющее перевод объекта из начального состояния
в конечное )1(x .
00x =
Решение. В задаче время движения фиксировано от 0t
до 0t
= , зафиксирована левая граница
к
, но не закрепле-
00x =
=
н
на правая граница )1(x . Для решения задачи потребуется одно
условие трансверсальности для случая фиксированного времени
и свободного правого конца. Для левой границы будем использовать начальное условие
.
00x =
Способ 1. Решение сведением исходной задачи к задаче
безусловной оптимизации. В критерии (4.34) выполним замену
значения )t(u2. Из уравнения ограничения (4.33)
2
= ,
2
¢
-
2
¢
)t(x)t(x)t(x2)t(x)t(u
+
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]