Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
31
Рис. 2. 3. Геометрическая интерпретация задачи поиска экстремума
функционала, зависящего от функции двух переменных
Пример 3. Найти экстремаль функционала, зависящего от
двух функций, при заданных граничных условиях, и построить
график экстремали на плоскости и в пространстве.
5
()
( )
ò
0
22
++=
()
=
ì
;dtyx2'x'yz,yJ
í
()
=
î
()
=
()
=
;00x
.15x
;20y
ì
í
;05y
î
Решение. Так как функционал зависит от двух функций x
и y, для решения задачи требуется система из двух уравнений
Эйлера (2.10):
¶
F
d
dt
dt
=
,0
¢
¶
x
¶
F
d
=
,0
¢
¶
y
22
++= .
-
i
-
i
где yxxyyxF 2''),(
¶
F
ì
ï
ï
¶
x
í
¶
F
ï
ï
¶
y
î
Найдем частные производные, требуемые для подстановки в уравнения Эйлера, и для наглядности оформим в виде таблицы (табл. 2.3).
32
Частные производные уравнений Эйлера.
i
i
x
¶
¶
¢
¢
±
=
F
d
F
¶
x
¶
dt
¶
0
-
F
¶
F
¶
x
¶
d
¶
¶
=
¢
x
dt
¶
y2
=
¢
x2
=
¢
F
x
¢¢
x2
=
¢
F
¶
y
¶
d
dt
F
d
¶
-
¶
F
¶
y
¶
¶
¶
=
¢
y
dt
¶
F
x2
=
y
¢
y2
=
¢
F
y
¢¢
y2
=
¢
Подставим полученные значения в систему уравнений
Эйлера (2.10):
¢¢
=
или
-
ì
í
-
î
¢¢
ì
í
¢¢
î
,0x2y2
¢¢
=
,0y2x2
=-
,0yx
=-
,0xy
Решим систему полученных дифференциальных уравнений. Выразим y(t) из первого уравнения
xy
= ,
продифференцируем дважды
IV
¢¢
xy =
и подставим во второе уравнение
IV
0xx
=- .
Получили однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Корни характеристического уравнения
4
01k
=- .
Введем замену pk
2
= , тогда 01p
2
=- , откуда 1p
Таблица 2.3
0
, а
1pk ±±=±= . Корни характеристического уравнения:
1k1= , 1k2-= , ik3= , ik4-= .
Решение однородного дифференциального уравнения четвертого порядка:
t
1
t
-
2
+++=
tsinCtcosCeCeC)t(x
.
43
33
Поскольку xy
¢
¢
= ,то для нахождения y(t), продифферен-
цируем полученное выражение для x(t) дважды:
¢
t
1
¢¢
=
Определяем неизвестные С
t
-
2
t
2
1
+--=
t
-
43
1,С2
--+=
, С
tcosCtsinCeCeC)t(x
,
tsinCtcosCeCeC)t(x)t(y
.
43
и С
из граничных ус-
3
4
ловий:
0CCC)0(x
=++= ,
321
5
1
5
1
5
-
2
2CCC)0(y
=-+= ,
321
5
-
2
43
43
15sinC5cosCeCeC)5(x
=+++=
,
05sinC5cosCeCeC)t(y
=--+=
.
Имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Вычитая из первого уравнения третье, получим 2C2
1C3-= . Аналогично, вычитая из второго уравнения четвертое,
учитывая найденное значение
15sinC25cos2
=+-
4
5cos21
откуда 817,0
+
C
= .
4
5sin2
-=
Подставляя полученные
,
C , получим
3
C и4C в четвертое уравнения,
3
=- или
3
вычитаем полученное выражение из первого уравнения, умно-
женного на
Откуда 997,0C
5
e :
5
1
5
1
2
= . Тогда из первого уравнения найдем1C :
2
1
=-+ , 003,0C1= .
55
,0eeCeC_
2
2
-
=-+
5
-
555
--=-
.05sin817,05coseCeC
=+++
.5sin817,05cose)ee(C
01997,0C
Экстремали задачи имеют вид:
tt
-
tt
-
--+=
+++=
tsin817,0tcose997,0e003,0)t(x
,
tsin817,0tcose997,0e003,0)t(y
.
34
Решени е примера 3 в MathСad. Запишем функцию F:
x
¶
¶
¶
èöø
èöø
Ftx, x', y, y',( ) y'()2x'()
Найдём частные производные
2
+ 2y× x×+:=
¶
F
,
,
¶
,
'xF¶
yF¶
'yF¶
:
d
Ftx, x', y, y',( )
y
d
d
Ftx, x', y, y',( )
y'
d
2x×®
2 y'×®
Вычислим производную по t от
ddd
Ftx, x', y, y',( )
t x'
d t
ddd
Ftx, x', y, y',( )
t y'
d t
d
2 x't()×( )
d t
d
2 y't()×( )
d t
d
Ftx, x', y, y',( )
x
d
d
Ftx, x', y, y',( )
x'
d
¶
¶
,
'xF¶
'yF¶
æ
d
2txt()
d
æ
d
2tyt()
d
:
d
×
d
d
×
d
Составляем дифференциальные уравнения Эйлера:
d
Ftx, x', y, y',( )
x
d t x'
d
Ftx, x', y, y',( )
y
d t y'
2 xt()× 2
2 yt()× 2
d
×- 0
d
d
×- 0
d
ddd
Ftx, x', y, y',( )
- 0
d
ddd
- 0
2
yt()
2
t
2
xt()
2
t
Ftx, x', y, y',( )
d
После упрощения:
2
d
xt()
yt()
yt()- 0
xt()- 0
d
d
d
2
t
2
2
t
2y×®
2 x'×®
ddd
2
2
xt()
×®
tt
d
ddd
yt()
×®
tt
d
35
Решим систему дифференциальных уравнений. Выразим
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
y(t) из первого уравнения, продифференцируем и подставим во
второе:
yt()
4
d
4
t
d
æ
d
:= x
d
xt()
2
ö
xt()
2
t
xt()- 0
d
d
2
2
t
yt()
®
tttt
d
ddddddd
xt()
Составляем характеристическое уравнение дифференци-
ального уравнения:
k41- 0
Определяем корни характеристического уравнения:
1
æ
ö
1-
ç
÷
ç
÷
i
i-
Решение дифференциального уравнения:
xt()C1e
t
× C2e
t-
×+ C3cost()×+ C4sint()×+:= C
4
Находим y(t) из уравнения
2
d
xt()
2
t
d
yt()C
yt()- 0 yt()
expt()× C2expt-()× C3cost()×- C4sint()×-+®
1
Определяем неизвестные С
2
æ
d
:= x
2
t
d
, С
1,С2
xt()
3
ö
и С
из граничных ус-
4
ловий:
x0()0 C1C
y0()2 C1C
+ C
+ 0®
2
3
+ C
- 2®
2
3
x5()1 C3cos5()× C1e5×+ C2e5-×+ C4sin5()×+ 1®
y5()0 C1e
5
× C3cos5()×- C2e5-×+ C4sin5()×- 0®
36
То есть решаем систему уравнений, записанную в матричном
ç
÷
ç
è
÷
ø
ç
÷
ç
è
÷
ø
ç
÷
ç
è
÷
ø
)
)
виде:
æ
ç
ç
ç
è
1
1
1
1
5
e
e
5
e
e
5-
5-
1
1-
cos5()
cos5()-
0
0
sin5()
sin5()-
ö
÷
÷
÷
ø
C
æ
ö
1
0
æ
ö
C
ç
÷
2
2
ç
÷
÷
ç
è
1
0
÷
÷
ø
×
ç
C
3
ç
C
4
откуда
1
1
æ
1
1
ç
C
ç
5
e
e
ç
5
e
e
5-
5-
1
1-
cos5()
cos5()-
0
0
sin5()
sin5()-
1-
ö
÷
÷
÷
0
æ
2
ç
×:= C
ç
1
0
è
ö
÷
÷
ø
=
æ
3.324 103-´
ç
ç
0.997
1-
0.817-
ö
÷
÷
Строим график решения (рис. 2.4) х(t) (сплошная линия) и
y(t) (пунктирная). Задаем значения аргумента
t 0 0.1, 5..:=
.
Формируем значения экстремалей задачи:
xt( ) 3.324 103-´ et× 0.997 et-×+ cost()- 0.817 sin t(
yt( ) 3.324 103-´ et× 0.997 et-×+ cost()+ 0.817 sin t(
3
2
xt()
1
yt()
0 1.25 2.5 3.75 5
12-
t
Рис. 2.4. Экстремаль примера 3
×-:=
×+:=
37
Экстремаль функционала, зависящего от производных
(
)
(
)
высших порядков
Задача заключается в поиске экстремума функционала, за-
висящего от функции одной переменной и её производных первого и второго порядка
t
к
() ( )
ò
t
н
®=
extrdt''x,'x,x,tFxJ
(2.11)
с заданными граничными условиями
ì
í
()
î
=
=
¢
;xtx
ì
нн
í
¢
()
;xtx
кк
î
=
=
¢
;xtx
нн
¢
.xtx
кк
(2.12)
Необходимым условием экстремума функционала (2.11)
является равенство нулю его вариации dJ(x)=0. В силу гранич-
ных условий вариация функции ее производной на концах интервала
dx(tн)=dx(tк)=dx¢(tн)=dx¢(tк)=0.
Для вычисления вариации функционалаdJ используем
линейную часть приращения. Разложим первое слагаемое в ряд
Тейлора в окрестности экстремали, и сохраним только линейные
члены:
t
к
( )
d=d
ò
t
н
t
к
( )( )( )
ò
t
н
t
к
F
¶
æ
=
=
x
ç
ò
x
¶
è
t
н
t
к
F
¶
xdt
ò ò ò
x
¶
t
н
¢¢¢
=
dtx,x,x,tFJ
¢¢
¢¢¢
D+D+D+=
F
¶
+d
¢
x
¶
t
к
¶
+d
¶
t
н
F
¶
x
+¢d
F
d
¢
x
¢¢
d
¢¢
x
¶
t
к
¶
¢
dtx
+
¶
t
н
ö
÷
ø
x
F
dtx
¢¢
D+
=
d
-
¢¢
.dtx
¢¢¢
dtx,x,x,tFxx,x'x,xx,ttF
=
(2.13)
Слагаемое, содержащее первую производную, проинтег-
рируем по частям:
38
¶
u
¶
x
¶
=
=
dt
t
к
t
н
F
d
¢
F
¶
x
d
¶
t
¢
¶
F
¢
x
t
к
d-d×
òò
н
.xdt
d=u
F
d
¶
xx
dt
¢
x
dt
¶
t
к
¶
F
d
ò
¢
¶
x
t
н
t
к
t
к
t
н
t
н
t
к
F
d
¶
-
dt
t
н
xdt
¢
x
¶
ì
ï
¢
=
dtx
í
du
ï
dt
î
F
¶
duu
=u-u=
¢
x
¶
t
к
d
-=d
òò
dt
t
н
¢
dtxd
=
dx
dt
ò
F
¶
¢
x
¶
() ()
()
d=d=u
() ()
tx
-d×
к
0
Слагаемое, содержащее вторую производную, проинтег-
рируем по частям дважды:
t
к
¶
ò
¶
t
н
=
¶
F
¢¢
x
¶
F
¢¢
x
¢¢
d
d×
dtx
=
t
¢
t
ì
ï
í
ï
î
к
н
du
dt
u
=
t
к
d-
ò
t
н
¶
=
¶
d
dt
¢
xx
dt
F
¢¢
x
¶
¶
x
d
F
¢¢
¶
F
¢¢
¶
x
dt
d=u
¶
=
¶
¢¢
F
x
dtxd
¢¢
¢
xd
d=
dt
ò
¢
() ()
d×
tx
0
() ()
d=
¢
()
d=
d=u
xxd
¶
F
-
к
¢¢
¶
x
¢
d×
==
xxd
F
¶
x
¶
¢
¢
4342143421
0
ü
d=d=d=
xddxdt
ï
=
ý
ï
þ
tx
-d×
н
¢
4342143421
0
==
ü
¢
d=
xdxddt
ï
=
ý
ï
þ
-
tx
н
t
-
t
ì
ï
ï
=
í
ï
ï
î
-=
t
¢
dtx
¢¢
F
¢¢
x
t
t
к
¶
F
d
-=
òò
dt
t
н
d=u
t
к
к
d+d×
xx
ò
н
t
н
¶
¢
dtxd
d
dt
¢
=
d
dtx
¢¢
x
dx
dt
ò
2
¶
F
2
¢¢
¶
x
() ()
()
d=d=u
=
dt
xxd
ü
d=d=d=
xddxdt
ï
ï
=
ý
ï
ï
þ
к
¶
F
d
d
¢¢
¶
x
dt
н
¶
d
=
u
¶
xFdt
2
¶
d
du
=
2
dt
d
dt
¶
dt
¶
F
¢¢
¶
x
39
t
к
2
ò
t
н
d
dt
2
¶
¶
F
¢¢
x
xdt
=d
d
-
dt
t
=
ò
t
к
н
¶
¶
d
dt
¶
F
F
¢¢
x
0
2
¶
F
2
¢¢
¶
x
d
() ()
+d×
tx
к
¶
x
dt
d
xdt
.
¢¢
==
0
44344214434421
tx
н
+d×
Возвращаясь к (2.13) с учетом полученных значений вто-
рого и третьего слагаемых, получаем
xdt
2
2
t
к
2
¶
F
d
+d
òòò
2
¶
x
dt
t
н
ö
¶
F
÷
d
xdt
.
÷
¢¢
¶
x
ø
=d
xdt
¢¢
¶
¶
xdt
F
x
t
к
¶
F
d
-d
d
-
dt
¢
¶
x
dt
t
н
¶
d
F
+
¢
¶
x
dt
t
к
¶
F
¶
x
t
н
t
к
æ
ç
=
ò
ç
è
t
н
Согласно основной лемме вариационного исчисления
вследствие произвольности вариации функции dx(t) первый
множитель под интегралом должен равняться нулю. В этой свя-
зи экстремаль должна удовлетворять уравнению
F
¶
¶
¶
¢
x
dt
x
¶
¶
0
+
dt
=
2
¶
, (2.14)
¢¢
x
2
F
d
F
d
которое называется уравнением Эйлера-Пуассона. В общем случае (2.14) представляет собой уравнение 4-го порядка и дополняется граничными условиями (2.12).
Уравнение Эйлера-Пуассона может быть распространено
на случай функционала, зависящего от функции одной переменной и ее производных высоких порядков:
F
¶
¶
¶
-
x
¢
x
dt
¶
¶
+
2
dt
()
¢¢
x
¶
2
F
d
F
d
n
F
d
¶
n
1...
--
dt
x
¶
0
=
. (2.15)
nn
Уравнение (2.15) дополняется 2n граничными условиями: значениями искомой функции и её производных до n-1–го порядка
включительно на концах интервала [tн ,tк].
40
Пример 4. Найти функцию обеспечивающую экстремум
[
]
(
)()(
)
()()(
)
'
x
x
¶
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
функционала
1
ò
0
2
+=
()( )
2
dtt''xtI
и удовлетворяющую граничным условиям:
¢
ì
í
î
=
=
;10x
;21x
ì
í
î
¢
()
=
=
;10x
.11x
Решение. Запишем уравнение Эйлера-Пуассона (2.14),
обозначив подынтегральное выражение функционала как функцию F, т.е.
F
¶
x
¶
¶
ö
æ
-
dt
+
÷
ç
¶
è
2
'x
ø
dt
2
d
F
d
Частные производные F по х,
F
¶
æ
ç
¶
è
22
t''xtt,''x,'x,xF += :
ö
0
=
.
÷
''x
ø
равны нулю, т.к. F не
содержит этих функций
F
0
=
¶
, 0
=
'x
¶
, а
F
¶
¶
¶
F
()
t''x2
=
''x
.
Подставляя частные производные в уравнение Эйлера и
дифференцируя
t''x2 дважды по t, получим обыкновенное од-
нородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
VI
0tx2
= или
VI
0tx
= .
Последовательно интегрируя это уравнение, получим
функцию x(t):
Ct'''x = ,
1
CtCt''x += ,
21
2
()
()
t
Ct'x ++= ,
1
3
t
Ctx +++= .
1
6
C
2
t
2
2
CtC
32
CtC
43
Константы интегрирования С находим из граничных условий:
1)0(x = , 1)0('x = ,
2)1(x = , 1)1('x = .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]