Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Оптимальная точка должна принадлежать допустимому
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()(
)
(
)
множеству. Это либо внутренняя, либо граничная точка множества. Если оптимальная точка внутренняя, то ее окрестность целиком принадлежит допустимому множеству. Такая точка удовлетворяет требованиям к безусловному экстремуму и является
критической точкой. Если оптимальная точка лежит на границе,
определяемой ограничениями (1.2) и (1.3), тогда в ее окрестности существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие
допустимому множеству. Граничная оптимальная точка не обязательно будет критической точкой.
В этой связи решение условной задачи оптимизации
для аргумента х, принадлежащего замкнутому допустимому
множеству К, если оно существует, является либо критической
точкой функции
бо тем и другим одновременно.
В принципе для решения задачи условной оптимизации
может быть использован следующий алгоритм:
1) находятся критические точки
2) вычисляются значения
3) сравнивая значения целевой функции
для первого и второго пунктов, выбирается
Однако указанный подход весьма трудоемкий. Поэтому
чаще всего задачу условной оптимизации сводят к безусловной
оптимизации, выражая из m ограничений типа равенство оставшиеся n-m переменных. Полученные значения подставляются в
целевую функцию, и решается задача на безусловный экстремум
относительно n-m переменных.
Пример 1. Найти стороны параллелепипеда (рис. 1.3) с
минимальной площадью поверхности и заданным объемом
Решение. Целевая функция примера 1 – площадь поверх-
ности параллелепипеда – имеет вид:
Объем параллелепипеда
abhV
= .
зад
xf , либо граничной точкой множества К, ли-
xf ,
xf на границе,
xf , полученные
xfmax .
min,ahbhab2S ®++=
xf
V .
зад
11
12
h
a
b
Рис. 1.3. Чертеж к примеру 1
Выразим из последнего выражения одну из сторон
V
зад
a
=
bh
и подставим в целевую функцию
V
æ
ç
2S
ç
h
è
V
ö
задзад
bh
÷
++= .
®
÷
b
ø
min
Задача сведена к безусловной оптимизации. Целевая
функция зависит от двух переменных b и h. Для поиска минимума приравняем частные производные целевой функции S по b
и h к нулю:
ì
¶
S
ï
¶
b
ï
í
¶
S
ï
ï
¶
h
î
V
зад
=-=
b
зад
h
,0
2
=-=
.0
2
2h2
V
2b2
Откуда получаем
2
ì
-
Vhb
ï
ï
í
ï
ï
î
зад
=
зад
,0
=
0
2
b
2
-
Vbh
2
h
или
2
ì
ï
2
ï
í
ï
¹
ï
¹
î
=-
,0Vhb
зад
=-
,0Vbh
зад
,0h
.0b
Вычитая из первого уравнения второе, получим
=
-
(
)
(
)
=
22
0bhhb
=- или 0)hb(hb
,
тогда
,
0h ¹
В этой связи из первого уравнения системы 0Vhb
,
0b ¹
.
hb =
2
зад
=-
следует, что
3
Vhb == ,
зад
а из уравнения ограничения abhV
= получаем, что искомая
зад
фигура – куб:
3
Vhba === .
зад
Метод неопределенных множителей Лагранжа
Рассмотренный выше подход плохо работает, если ограничения нелинейны, так как тяжело получить явное решение
системы нелинейных уравнений. Рассмотрим задачу поиска
максимума функции вида (1.1):
maxx,...,x,...,x,xf
®
nj21
при прямых функциональных ограничениях вида (1.2):
,0x,...,x,...,x,xg
£
nj21i
.
m...1i
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа):
m
®l+=l
max)x(g)x(f),x(L , (1.4)
ii
l - произвольные
i
где
å
=
1i
x...x...xxx = – вектор переменных,
nj21
величины – множители Лагранжа.
Функция Лагранжа (1.4) является функцией n + m переменных и имеет экстремум, если ее частные производные по
каждой переменной равны нулю:
13
14
¶
x
x
L
ì
ï
¶
x
j
ï
í
¶
L
ï
ï
l¶
i
î
==
,n...1j,0
==
.m...1i,0
В силу выражения (1.4) система (1.5) имеет вид:
ì
ï
í
ï
î
m
å
=
¶
)x(g
i
l+
i
¶
x
1i
j
==
==
n...1j,0
. (1.6)
.m...1i,0)x(g
¶
f
¶
x
j
i
Как видно из (1.6), частные производные
ляют собой уравнения ограничений
)x(g
¶
ку
, то
m...1i,0)x(g
i
==
i
0
=
x
¶
j
i
, тогда первое уравнение сис-
==
темы (1.6) имеет вид:
f
¶
x
¶
j
n...1j,0
==
.
Откуда можно сделать вывод, что в точке оптимума
),x(**l функция Лагранжа ),x(L**l совпадает с )x(f
***
)x(f),x(L
=l .
Таким образом,
*
является решением классической зада-
чи на условный максимум.
И наоборот, если )x(f достигает максимума в точке
в силу (1.2) )x(f),x(L
***
=l . Очевидно, что в силу того что
Ll¶¶
представ-
i
Посколь-
.m...1i,0)x(g
*
:
(1.5)
*
, то
)x(f)x(f*> , получаем
***
*
m
å
=
1i
m
å
*
l+=l
)x(g)x(f),x(L ,
i*i
=
1i
l+=l
)x(g)x(f),x(L ,
i*i
откуда ),x(L),x(L
K
x*Î
x
x
(
)
***
l³l .
Введение функции Лагранжа оправдано, так как:
1) если ),x(
**
l – критическая точка функции ),x(L l , то
;
2) если ),x(L l достигает максимума в точке ),x(
f(x) достигает максимума на K в точке
*
;
**
l , тогда
3) если же f(x) достигает максимума на множестве K в точ-
*
ке
, то существует вектор
*
l , такой, что ),x(L
**
l мак-
симальна.
Эти утверждения справедливы и для задачи на минимум.
Таким образом, для решения условной задачи оптимизации необходимо построить функцию Лагранжа (1.4) и найти ее
критические точки из системы уравнений (1.6). То есть для вычисления оптимума достаточно приравнять нулю частные про-
L
¶
изводные функции Лагранжа по
x
j
0
=
, n...1j = и допол-
x
¶
j
нить полученные уравнения
m
f
¶
x
¶
l+
å
j
1i
=
)x(g
¶
i
i
x
¶
j
n...1j,0
==
уравнениями ограничений
.m...1i,0)x(g
i
==
Пример. Решение методом неопределенных множителей Лагранжа. Найти стороны параллелепипеда (рис. 1.3) с ми-
нимальной площадью поверхности и заданным объемом
зад
.
Решение. Целевая функция примера имеет вид:
min,ahbhab2S ®++=
Объем параллелепипеда
.
abhV
=
зад
Перепишем ограничение задачи в виде «равенства нулю»:
.
0Vabh
=-
зад
Составим функцию Лагранжа
15
16
(
)
(
)
Vabhahbhab2L -l+++= .
()(
)
зад
Функция Лагранжа является функцией четырех аргументов: a, b, h, λ. Согласно (1.6) уравнения Лагранжа имеют вид:
¶
L
ì
=
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
,0
¶
a
¶
L
=
,0
,0
зад
=
или
0.V-abh
¶
b
¶
L
=
¶
h
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
зад
=l++
,0bhh2b2
=l++
,0ahh2a2
=l++
,0aba2b2
=
0.V-abh
Выражая из первого и второго уравнения h, получаем:
a2b2
-
-
=
,
2a2b
+l+l
откуда
2ab2ba +l=+l и ba = , то есть основанием парал-
лелепипеда является квадрат.
Подставляя полученное значение в третье уравнение и
приводя подобные слагаемые, получаем
2
0aa4
=l+ ,
откуда значение множителя Лагранжа
4-
=l
.
a
С учетом полученного значения λ высота параллелепипеда
a2
-
h
=
2a
+l
ba
==
,
то есть параллелепипед с минимальной площадью поверхности
и заданным объемом представляет собой куб, сторона которого
3
равна
Vhba ===
.
зад
Задания для самостоятельного решения
Найти экстремум функции
ся ограничениях
1. minxx)x,x(f
21
®
21
.
0)x,x(g
=
21
2
2
®+=
2
121
02xx2
=-+
при имеющих-
extr)x,x(f
2. maxxxx6x)x,x(f
3. minxxx2x2)x,x(f
4. minxxx2x)x,x(f
5. minx9xx12x225)x,x(f
6. minx2xxx2x2)x,x(f
7. minx12xxx2x2)x,x(f
2
121
01xx
=-+
21
2
121
05x2x4
=-+
21
2
121
05x2x4
=-+
21
2
121
020x2x10
=+-
21
2
121
05x2x4
=-+
21
2
121
05x2x4
=-+
21
2
®++=
221
2
®++=
221
2
®-+=
221
2
®+-=
221
2
221
®+++=
1
2
221
®-++=
2
17
18
ГЛАВА 2.
(
)
(
)
(
)
(
)
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Элементарная задача вариационного исчисления
В курсе вариационного исчисления рассматриваются задачи исследования на экстремум функционалов. Функционалом
называется переменная величина, зависящая от функции x(t) из
некоторого класса функций таким образом, что каждой функции
x(t) соответствует некоторое значение функционала. Рассмотрим функционал
и её производной )t('x :
tx
t
2
() ( )
ò
t
1
, зависящий от функции одной переменной
xJ
®=
extrdt'x,x,tFxJ (2.1)
с заданными граничными условиями:
,xtx
11
==,xtx
22
– непрерывная функция трёх переменных и диффе-
'x,x,tF
(2.2)
где
ì
í
()
î
ренцируемая функция двух своих последних аргументов.
Отличия задач поиска экстремума функции и экстремума
функционала представлены в табл. 2.1. Вариация функционала
dJ – это главная, линейная относительно вариации функции dx,
часть его приращения DJ. Вариация функционала (2.1) dJ(x)
обусловлена вариацией функции x(t) и её производной x¢(t):
x(t)=x0(t)+dx(t), x¢(t)=x¢0(t)+dx¢(t).
Приращение функционала (2.1) вызвано варьированием
функции x(t) и ее производной x¢(t):
t
2
() ( ) ( )
ò ò
t
1
t
2
( )( )( )
ò
t
1
-d+d+=
t
2
t
1
=-d+d+=D
dt'x,x,tFdt'x'x,xx,tFxJ
.dt'x,x,tF'x'x,xx,tF
18
Сравнительный анализ особенностей функции и функционала
D+=D+
(
)
Функция Функционал
Правило преобразования числа в
число
можно однозначно определить x(t).
, т.е. для любого t
)t(xf =
)t(x)t(x)tt(x D+=D+
Для поиска экстремума функции
необходимо и достаточно выполнения равенства:
0)t('x =
Таблица 2.1
Способ задания
t
2
Правило отображения функции в число
это набор точек, задача бесконечномерная
Приращение
Приращение ))t('x),t(x,t(F обусловлено прира-
() ( )
=
ò
t
1
dt'x,x,tFxJ . Поскольку функция -
x(t) и её производной x¢(t):
),t(x)t(x)tt(x
)t('x)t('x)tt('x D+=D+ ,
овий близости
dx
e<- )t(x)t(x
1
Необходимое условие экстремума
Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его
вариации dJ, вычисленной на экстремальной функции x0(t):
. (2.3)
0xJ =d
и близости по касательным e<-
dx
1
.
dt
dt
)t,'x,x(F)t,'x,x(F)t,'x'x,xx(F d+==D+D+ Чт
одимо
19
20
Если разложить подынтегральную функцию
'
x
¶
F(t,x+dx,x¢+dx¢) в ряд Тейлора в окрестности x(t), x¢(t) и ограни-
читься только линейными слагаемыми, т. е.
F
( ) ( )
¶
'x'x,xx,tF +d
=d+d+ ,
x
¶
F
¶
x
+d
'x
¶
'x,x,tF'x
получим вариацию функционала
t
2
() ( )
ò
t
1
t
2
F
¶
æ
x
=
ç
è
t
1
+d
x
¶
В последнем выражении возьмем интеграл
по частям. Обозначим
dx
dt'xv d=d=d=d=d=
dt
dt'x,x,tFxJ
=d=d
t
2
¶
ò
¶
t
1
du
= ,
dt
F
d
dt
(2.3)
d
'x
dt'x
F
¶
'x
¶
xdt
t
2
F
¶
+d
òòò
¶
t
1
dv
dt
x)x(ddxdt
.
.dt'x
d
'x
d= , тогда
t
2
F
¶
ö
d
÷
'x
¶
ø
F
¶
dt'x
=
x
¶
t
1
F
u
= , 'x
¶
òòòò
Получаем, что рассматриваемый интеграл может быть
представлен следующим образом:
t
t
2
2
ö
÷
òòò
ø
t
1
t
¶
F
d
d-
xx
1
dt
.
¶
'x
dt
uv
t
2
t
2
vdu
t
1
t
1
¶
F
æ
d
=-=d
ç
¶
'x
è
t
2
¶
F
dt'x
¶
'x
t
1
Тогда экстремум функционала достигается при условии
t
t
2
2
ö
x
-
÷
ø
t
1
F
d
¶
òò
'x
dt
¶
t
1
0xdt
=d
.
()
xJ
=d
t
2
F
¶
xdt
x
¶
t
1
F
¶
æ
d
+d
ç
'x
¶
è
В силу граничных условий (2.2) вариация функции на концах
интервала dx(t1)=dx(t2)=0, получаем
t
()
=d
2
F
¶
(xJ
ò
x
¶
t
1
F
d
¶
-
'x
dt
¶
F
¶
xdt)
+d
'x
¶
F
¶
)t(x
-d
'x
¶
0)t(x
=d
.
12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]