Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
141
ция y(t) в точке tп меняет знак с «+ » на «- ». Тогда выбор управ-
[
)
[
]
(
)
a
dt
dt
ляющего воздействия осуществляется следующим образом:
при
при
t,0t Î y(t)>0, тогда u=1,
п
t,tt Î y(t)£0, тогда u=0.
kп
y(t)
1tk-a
t
t
k
п
t
-1
Рис. 5.2. Анализ достижения максимума гамильтониана
Найдем время переключения управления t
0tyп= :
-a=1t
k
t
п
.
из условия
п
Таким образом, оптимальное управление является кусочнопостоянной функцией, определяющейся следующим образом:
ì
ï
ï
==
опт
í
ï
ï
î
u
é
Î
ê
ë
é
Î
t,0
ê
ë
-a
1t
ö
k
0,t1,
k
a
,
÷
a
ø
-a
1t
ù
.t,
k
ú
û
Зная оптимальное управление, найдем оптимальную траекторию движения объекта из уравнения ограничения
)t(dx
При
)t(u
a= .
é
0,t
ê
ë
-aÎ1t
ö
k
u=1, тогда a=
÷
a
ø
)t(dx
. Разделим пере-
менные dtdx a= и проинтегрируем обе части
Ct)t(x +a= .
2
142
Неизвестную постоянную времени найдем из начального
dt
0.3
условия 1C)0(x
== , тогда до момента переключения управле-
2
ния координата объекта изменяется в соответствии с
-a
1t
é
Î+a=
0,t1,tx(t)
ê
ë
После переключения, при
ö
k
.
÷
a
ø
-a
1t
é
k
Î
t , u=0 и измене-
ê
a
ë
ù
t,
k
ú
û
ние координаты объекта описывается уравнением
)t(dx
0
= , откуда x =cons t=C
.
3
Начальным условием x(tп)=x
é
точка интервала
æ
xx a=+
= .
ç
п
è
k
0,
ê
a
ë
-a
ö
÷
a
ø
-a 1t
ö
÷
ø
1t1t
-a
kk
a=
a
будет служить конечная
п
t1
k
Откуда траектория на втором интервале после переключения управления
tCx a== .
k3
Таким образом, оптимальная траектория изменения коор-
динаты объекта описываются в виде
опт
()
tx
==
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
é
Î+a
ê
ë
é
Îa
t,t
k
ê
ë
-a
1t
ö
k
1t
a
,
÷
ø
ù
.t,
k
ú
û
0,t1,t
-a
k
a
Зададим исходные данные и построим оптимальное
управление и оптимальную траекторию в Mathcad (рис. 5.3):
a
t
n
t 0 0.01, tk..:=
:=
a tk× 1-
:=
tk10:=
a
143
¢
¢
¢
(
)
(
)
¢=¢
¢=¢
¢=¢
¢=¢
¢
xt() at× 1+ tt
ut() 1 tt
:=
4
ut()
2
xt()
0
0 5 10
Рис. 5.3. Оптимальная траектория и оптимальное управление
<if
n
0 otherwise
t
для примера 1
:=
a tk× otherwise
<if
n
Пример 2. Объект управления описывается дифференци-
альным уравнением вида:
)t(u)t(x)t(x =+
. где 1)t(u1 ££- .
Найти оптимальное управление u(t) и оптимальную траекторию x(t), обеспечивающие максимальную скорость изменения
x(t) в конце интервала [0, p],
=
max)(xJ ®p
при переводе объекта в конечное состояние из начального
=
¢
()
=
,00x
,00x
ì
í
î
в произвольное конечное.
Решение. Поскольку
0u,x,tF =
и
к0
p
)(x))t(x(g
, то
рассматриваемая задача является задачей Майера.
Для составления функции Гамильтона предварительно
понизим порядок уравнения ограничения, приведя дифференциальное уравнение второго порядка к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введем обозначение
)t(x)t(x1= ,
тогда
)t(x)t(x)t(x
=
,
21
)t(x)t(x)t(x
.
21
144
Уравнение ограничения преобразуется в систему уравне-
()()()()(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
ний в виде Коши
¢
=
ì
í
¢
î
),t(x)t(x
21
-=
).t(x)t(u)t(x
12
Составим функцию Гамильтона
maxtx)t(uttxtH
®-y+y= .
1221
Согласно принципу максимума Понтрягина допустимое
возможное управление u(t), доставляющее максимум функционала, в каждый момент времени должно обеспечивать максимум
функции Гамильтона. Так как гамильтониан линеен относительно u(t), то для обеспечения его максимума необходимо, чтобы
управление совпадало по знаку с функцией
tsign)t(u
y= ,
2
t2y :
то есть
>y
2
2
()
,0t,1
<y-
.0t,1
ì
=
)t(u
í
î
Из сопряженной системы уравнений
¶
H
ì
ï
¶
ï
í
ï
ï
¶
î
y¢-=
,
x
¶
H
x
1
1
y¢-=
,
2
2
получаем
y¢-=y-
ì
í
î
,)t(
12
y¢-=y
.)t(
21
Дополним полученные уравнения уравнениями ограничений и ограничениями на управление
¢
=
ì
í
î
,txtx
21
-=
,tx)t(utx
12
y=y
,tt
21
y-=y
,tt
12
>y
()
2
,0t,1
<y-
.0t,1
2
ì
ï
¢
() ()
ï
í
¢
() ()
ï
ï
¢
() ()
î
=
)t(u
145
Получили систему из четырех дифференциальных урав-
(
)
(
)
()(
)
¢
()(
)
¢
()()(
)
¢
¢
()(
)
¢
¢
(
)
()(
)
(
)
(
)
нений и условия переключения управления. Граничные условия,
необходимые для ее решения, складываются из условия задачи с
учетом введенных обозначений
1
()
2
,00x
==00x
1),(xG
=npn=
:
020
G
¶
)(
=py
1
G
¶
)(
=py
2
,0
=
)(x
p¶
.1
=
)(x
p¶
ì
í
î
и условий трансверсальности для
1
2
Переключение управляющего воз действия определяется
знаком функции
функции. Продифференцируем уравнение
ставим в
t2y . Выполним анализ поведения указанной
tt12y-=y
и под-
tt21y=y
:
ttt
y-=y¢-=y
212
или
0tt
=y+y
22
.
Характеристическое уравнение полученного однородного
дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
2
01p
=+ ,
его корни чисто мнимые ip
= , ip2-= . Решение однородного
1
дифференциального уравнения имеет вид:
+=y ,
)tsin(C)tcos(Ct
212
тогда
-=y¢-=y .
)tcos(C)tsin(Ctt
2121
Неизвестные постоянные времени найдем из условий
трансверсальности
ì
í
î
()
,C0
ì
21
,
-==py
í
,C1
12
î
2
1
,0C
-==.1C
==py
Таким образом, требуемая функция имеет вид
)tcos(t2-=y .
146
На интервале[0, p] функция
(
)
2
p
(
)
(
)
(
)
(
)
¢
¢
¢
¢
)
t2y меняет знак один раз.
Время переключения
следовательно, и
гда
0tu > . Эта зависимость проиллюстрирована фрагментом из
t
= . На промежутке [0, p/2]
п
0tu < . На промежутке [p/2, 0]
Mathсad (рис. 5.4):
y2t() cost(
t 0 0.01, p..:=
ut() 1- y2t()0<if
ut()
y2t()
-:=
:=
1 otherwise
1
0.5
0 0.785 1.571 2.356 3.142
0.5-
1-
t
Рис. 5.4. Оптимальное управление для примера 2
Зная оптимальное управление, представляющее собой кусочно-постоянную функцию,
ì
ï
ï
==
í
u
опт
ï
ï
î
p
ö
é
Î
t,1
,
0,t1,
÷
ê
2
ø
ë
p
ù
é
p
Î-
,
ú
ê
2
û
ë
найдем оптимальную траекторию из уравнения
u)t(x)t(x =+
.
Однородное дифференциальное уравнение второго порядка
0)t(x)t(x =+
имеет характеристическое уравнение
0t2<y ,
0t2>y , то-
147
2
(
)
(
)
()()(
)
(
)
(
)
¢
(
)
(
)
(
)
¢
01p
=+
и корни ip ±= . Решение однородного дифференциального
уравнения имеет вид:
.
+=
)tsin(C)tcos(Ctx
43одн
Частное решение представляет собой константу
uAtx
ч
== .
Таким образом, оптимальная траектория описывается следующей зависимостью
.
u)tsin(C)tcos(Ctxtxtx
++=+=
43чоднопт
Неизвестные постоянные времени найдем отдельно для
p
ù
каждого участка движения. При
43опт
é
Î
,0t u(t) = -1,
ê
2
ë
1)tsin(C)tcos(Ctx
-+= .
ú
û
Начальные условия движения заданы по условию и требуют знания скорости изменения координаты объекта
43опт
,1C0
откуда
)tcos(C)tsin(Ctx
,
ì
í
î
,1C
3
==.0C
4
p
ù
é
,0 оптимальное управ-
ú
ê
2
û
ë
+-=
=
,00x
=
ì
3
í
=-=,C0
,00x
î
4
ì
í
î
¢
()
Получили, что на промежутке
ление равно u(t) = -1, а оптимальные траектория и скорость
движения
1)tcos(tx
опт
опт
-= ,
)tsin(tx
-=
.
Граничной точкой первого интервала и одновременно начальной точкой второго интервала является
=
cos(
sin(
-=
p
2
p
2
,11)
-=-
,
.1)
-=
p
ö
æ
x
x
опт
¢
опт
÷
ç
2
ø
è
p
ö
æ
÷
ç
2
ø
è
148
p
(
)
(
)
¢
(
)
(
)
¢
(
)
¢
ù
После переключения управления, при
1)tsin(C)tcos(Ctx
65опт
++= .
é
p
Î ,
t u(t) = 1,
ú
ê
2
û
ë
Начальные условия движения определяются конечной
точкой первого интервала и позволяют переопределить значения постоянных времени на втором интервале движения
+-=
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
p
ö
æ
-=
x
ç
опт
2
è
p
æ
¢
x
ç
опт
2
è
,1
÷
ø
ö
÷
ø
ì
í
î
-=
,1
Таким образом, при
)tco s(C)tsin(Ctx
65опт
,
+=-
,1C1
6
-=-
откуда
,C1
5
p
ù
é
p
Î ,
t оптимальное управление
ú
ê
2
û
ë
ì
í
î
,2C
6
=-=.1C
5
равно u(t) = 1, а оптимальные траектория и скорость движения
1)tsin(2)tcos(tx
Î-
+-= ,
é
ê
ë
p
ù
ú
û
,2,0t,1)tcos(
p
ù
é
p
Î+-
t,1)tsin(2)tcos(
ê
ë
2
ú
û
.,
опт
опт
опт
()
tx
=
=
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
).tsin(tx
Скорость изменения выхода объекта рассчитывается в соответствии
ì
ï
()
tx
=
ï
í
ï
ï
î
¢
опт
и в конце интервала движения равна
p
ù
é
Î-
ê
ë
ú
û
,2,0t),tsin(
p
ù
é
p
Î--
t),tcos(2)tsin(
ê
ë
2
опт
ú
û
.,
0x
=p
.
Графическое отображение решения примера 2 представлено в виде фрагмента Mathcad на рис. 5.5 и 5.6:
t 0 0.01, p..:=
149
u t() 1- t
:=
p
<if
2
1 otherwise
xt() cost()1- t
:=
<if
cost() 2sint()- 1+ otherwise
x't() sint()- t
:=
p
<if
2
sint()- 2cost()- otherwise
1
p
2
ut()
xt()
0 0.785 1.571 2.356 3.142
1-
2-
t
Рис. 5.5. Оптимальное управление и оптимальная траектория
для примера 2
2
1
x't()
0 0.785 1.571 2.356 3.142
1-
t
Рис. 5.6. Скорость изменения координаты объекта для примера 2
150
Принцип
максимума Понтрягина в задаче
(
)
K
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
¶
с произвольным временем и фиксированными границами
В задаче требуется найти допустимое возможное управление
нения вектора координат
и соответствующую ему траекторию изме-
utuu ££
maxmin
=
n21
)t(x)t(x)t(x)t(x
, обеспе-
чивающих экстремум функционала:
t
к
() ( )
кнкн0
ò
t
н
mindtu,x,tF)t,t),t(x),t(x(gu,xJ
®+=
при переводе объекта, описываемого дифференциальными
уравнениями вида
*
'
i
uxx
,F= ,
i
из начального
за произвольное время
n,1i =
,
x0x =
в заданное конечное состояние
0
t
.
k
xtx =
Возможные траектории достижения цели управления
представлены на рис. 5.7.
x(t)
x
к
x
н
kk
Рис. 5.7. Графическая интерпретация задачи с закрепленными концами
и произвольным временем
Если управление u(t) и траектория x(t) доставляют минимум функционалу
сальности для случая произвольного времени и закрепленных
концов (4.31)
( )
u,tH
k
G
,
-=
t
¶
к
x(t)
н
u,xJ
, то справедливы условия трансвер-
tt
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]