Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
241
d
1
y0
x0
1
èöø
)
èöø
ç
è
÷
ø
T
y
t
d
TU× T
1-
× y×
где главная матрица системы представляет собой диагональную
матрицу собственных значений матрицы A-SK
L TU× T
×
-
Решение уравнения в новых координатах
yt()e
Lt×
Переходя к первоначальным координатам
xT1-y×
получаем решение исходного дифференциального уравнения
xt()T1-e
Lt×
× T×
Рассчитаем множители, входящие в решени е. Матрица
собственных векторов
0.963-
T eigenvecs A SK×-( )
:=
-
æ
T
=
0.309
0.16-
0.999-
и вектор собственных значений
l1t
æ
e
:=
00e
l2t
l eigenvals A S K×-(
:= l
7.911-
æ
=
2.131-
expL t()
используются для расчета фундаментальной матрицы
ö
F t()T1-expL t()×
×:=
Рассчитываем x(t) и p(t):
xt() Ft()x0×:=
pt() K xt()×:=
Оптимальное управление определяется выражением:
ut() R1-- BT× pt()×:=
Задаем интервал времени и строим графики
t 0 0.1, tk..:=
полученных функций (рис. 6.10):
242
10
1.5
t
10
t
2
xt()
xt()
1
2
1
0.5
0.54
ut()
ut()
0.974-
0 5
1
1
0 5 10
2
1
pt()
pt()
1
1
2
0 5
1
100 t
Рис. 6.10. Оптимальная траектории и оптимальное управление для
примера 5, полученные на основе принципа максимума с
использованием уравнения Риккати
Решение уравнения Риккати методом упорядочения
расположения корней
Решение уравнения Риккати может быть найдено не только рассмотренным выше численным методом, но и аналитически, например, приведением главной матрицы системы к верхней форме Шура и последующим упорядочением ее таким образом, чтобы в верхних позициях стояли устойчивые собственные
значения. Метод позволяет найти решение уравнений Риккати –
симметрическую матрицу К – через упорядоченную по возрастанию собственных значений матрицу собственных векторов
матрицы сопряженной системы уравнений.
243
Задача поиска вектора оптимальных управлений u(t) и
2
вектора оптимальных траекторий x(t), из условия минимума
среднеквадратичного критерия(6.23):
t
k
1
[ ]
J
ò
2
0
,
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением (6.1)
)t(dx
dt
x)t(x,x)0(x),t(Bu)t(Ax
==+= ,
kk0
может быть решена с использованием принципа максимума, согласно которому управление, доставляющее минимум критерию, определяется из условия, максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее модифицированной сопряженной системы
уравнений:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
).t(pA)t(Qx
Оптимальное управление рассчитывается в соответствии (6.32):
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Здесь R, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A –
характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров; S = BR-1BT – симметричная матрица.
Вводом замены переменных )t(Kx)t(p = , где К – постоян-
ная симметрическая матрица сопряженная система дифферен-
циальных уравнений сводится к квадратичному матричному
уравнению Риккати:
T
0QKAKAKSK
=--- .
Решени е уравнения Риккати может быть получено методом упорядочения корней. Он заключается в следующем. Мо-
24
4
дифицированная сопряженная система уравнений, записывается
в матричном виде
)t(dz
dt
= .
)t(Uz
Находят вектор собственных значений l и матрицу Т соб-
ственных векторов матрицы U модифицированной системы:
l
ö
æ
1
÷
ç
l
÷
ç
2
=l
,
÷
ç
l
3
÷
ç
÷
ç
l
4
ø
è
æ
ç
ç
=
T .
ç
ç
ç
è
tttt
ö
14131211
÷
tttt
÷
24232221
÷
tttt
34333231
÷
÷
tttt
44434241
ø
Собственные значения и собственные вектора упорядочиваются по возрастанию. Составляется матрица собственных векторов G, столбцы которой образованы перестановкой столбцов
матрицы Т по возрастанию соответствующих собственных значений l. Например, для упорядочения собственных значений по
возрастанию необходимо поменять местами первый и второй
элементы вектора собственных значений. Тогда матрица G будет получена из матрицы Т перестановкой первого и второго
столбц ов:
l
ö
æ
2
÷
ç
l
÷
ç
1
=l
,
÷
ç
l
3
÷
ç
÷
ç
l
4
ø
è
æ
ç
ç
=
G .
ç
ç
ç
è
tttt
ö
14131112
÷
tttt
÷
24232122
÷
tttt
34333132
÷
÷
tttt
44434142
ø
Затем отсортированная матрица собственных векторов G
представляется в блочном виде:
GG
æ
ç
=
G , (6.54)
ç
è
ö
1211
÷
÷
GG
2221
ø
где
gg
æ
ç
G
=
11
ç
è
æ
ç
G
=
21
ç
è
ö
1211
÷
G,
=
÷
gg
2221
ø
gg
ö
3231
÷
÷
gg
4241
ø
12
G,
=
22
gg
æ
ç
ç
è
æ
ç
ç
è
ö
1413
÷
,
÷
gg
2423
ø
.
gg
ö
3433
÷
.
÷
gg
4443
ø
245
Решением уравнения Риккати является симметрическая
2
матрица К, определяемая из (6.54) по формуле:
1
-
GGK
×= .
1121
Полученное решение уравнения Риккати – симметрическая матрица К обращает уравнение Риккати в верное тождество
и обеспечивает устойчивость траекторию движения системы.
Решение примера 5 в MathCad на основе принципа
максимума с последующим поиском решения уравнения
Риккати методом упорядочения расположения корней.
Для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением
)t(dx
dt
,x)0(x),t(Bu)t(Ax
=+=
необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор
оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия:
¥
1
[ ]
J ,
ò
2
0
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
где R – положительно-, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – n-векторы состояния объекта
управления (n = 2); A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров.
Управление, доставляющее минимум критерию в соответствии принципом максимума, определяется из условия, максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений:
¶
H
dx
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
dt
dp
dt
¶
¶
¶
p
¶
H
-=
¶
x
H
u
+=
),t(Bu)t(Ax
T
--=
T
=+=
)t(pA)t(Qx
,
,0)t(pB)t(Ru
246
откуда оптимальное управление:
2
2
ø
10
èöø
èöø
èöø
èöø
èöø
)
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Подставляя выражение для оптимального управления в
функцию Гамильтона получаем:
H +-=
1
1
))t(Qx),t(x(
.
))t(Ax),t(p())t(Sp),t(p(
Сопряженная система уравнений имеет вид:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
),t(pA)t(Qx
Зададим исходные данные
0.2-
0.15
0.1
0.18-
æ
A
:= B
0.18
0.4
0.2-
0.23
æ
:= Q
0.600
æ
:= R
0.4
:=
начальные условия
1.2
æèö
x0
:=
0.3
t
и конечное время
:=
k
Рассчитаем матрицу S:
0.214
S BR1-× BT×:=
æ
S
=
Введем замену переменных х
0.027
0.027
0.576
= z1, х2 = z2, p1 = z3, p2 = z4,
1
тогда сопряженная система уравнений имеет вид:
dz
ö
æ
1
÷
ç
dt
÷
ç
dz
÷
ç
2
æ
÷
ç
dt
ç
=
ç
÷
ç
dz
3
÷
ç
dt
÷
ç
dz
4
÷
ç
÷
ç
dt
ø
è
--
è
z
æ
ö
æ
1
ç
÷
ç
-
z
SA
ö
÷
T
÷
AQ
ø
ç
÷
ç
2
=
ç
÷
ç
z
3
ç
÷
ç
ç
÷
ç
z
4
è
ø
è
--
ssaa
ö
12111211
÷
--
ssaa
÷
22212221
÷
----
aaqq
21111211
÷
÷
----
aaqq
22122221
ø
или
d
zt()
Uzt(
t
d
æ
z
æ
ç
z
ç
ç
z
ç
ç
z
è
0.400
0.3
ö
1
÷
÷
2
.
÷
3
÷
÷
4
ø
247
Сформируем матрицу модифицированной сопряженной
(
), (
)
ç
è
÷
ø
)
)
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
системы уравнения с помощью функций слияния матриц stack –
слияние строк и augment – слияние столбцов:
U stack augment A S-, ( ) augment Q- AT-,
:=
0.2-
0.1
æ
0.15
ç
U
=
ç
0.60
0.214-
0.18-
0.027-
0
0.2
0.4-
0.027-
ö
0.576-
÷
÷
0.15-
0.1-
0.18
Положим
)t(Kx)t(p = ,
где К – постоянная матрица.
Тогда сопряженная система дифференциальных уравне-
ний сводится к квадратичному матричному уравнению Риккати:
T
0QKAKAKSK
=---
Решением уравнения Риккати является симметрическая
матрица К, размер которой n x n. Найдем собственные значения
и собственные вектора матрицы U:
l eigenvals U(
:= T eigenvecs U(
:=
0.416-
æ
ç
l
= T
ç
0.416
0.537
0.537-
ö
÷
÷
0.678
æ
0.097
ç
=
ç
0.705
0.184
0.358-
0.34-
0.842
0.219
0.023-
0.595-
0.292-
0.748
0.318-
0.824
0.17-
0.436
ö
÷
÷
Упорядочиваем вектор собственных значений по возрастанию и соответственно переставляем столбцы матрицы Т. Минимальное собственное значение -0,537, следовательно, последний столбец матрицы Т должен стать первым столбцом формируемой матрицы G, следующее по возрастанию значение -0,416,
следовательно первый столбец матрицы T станет вторым
столбцом матрицы G, затем должны расположиться собственные значения 0,416 и 0,537, значит третий и четвертый столбцы
матрицы G - это второй и третий столбцы матрицы T:
248
l
ç
è
÷
ø
á
ñ
á
ñ
á
ñ
á
ñ
(
)
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
èöø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
1
èöø
ø
)
èöø
æ
ö
4
l
ç
÷
lnew
lnew
1
:=
ç
÷
l
2
ç
÷
l
3
0.537-
æ
0.416-
ç
= G
ç
0.416
0.537
G augment T
:=
ö
÷
÷
4
1
2
T
, T
, T
0.318-
æ
0.824
ç
=
ç
0.436
0.678
0.097
0.17-
0.705
0.184
3
,
0.358-
0.34-
0.842
0.219
0.023-
0.595-
0.292-
0.748
Выделим из матрицы G блоки, размером 2х2:
G11
G12
æ
G
G21
G22
здесь:
G
G
G
G
11,
21,
31,
41,
G
G
G
G
12,
22,
32,
42,
ö
ö
æ
G11
:= G12
æ
G21
:= G22
G
G
G
G
13,
23,
33,
43,
G
G
G
G
14,
24,
34,
44,
ö
ö
æ
:=
æ
:=
Матрицу К определяем по формуле:
1.014
K G21 G11
×:=
-
æ
K
=
0.185
0.185
0.6
Проверяем равенство нулю левой части уравнения Риккати:
000
KS× K× KA×- ATK- Q-
æèö
=
0
Левая часть уравнения Риккати равна нулю, следовательно, полученное решение верное.
Проверим устойчивость системы. Найдем собственные
значения матрицы A-SK:
0.416-
l eigenvals A S K×-(
:=
æ
l
=
0.537-
Собственные значения матрицы A-SK – отрицательные
действительные числа, следовательно, система устойчива.
ö
÷
÷
249
Определим оптимальную траекторию движения системы
)
ø
10
t
из уравнения:
d
xt()
d
t
A SK×-( ) xt()×
Решение этого уравнения может быть получено с помощью перехода к новым координатам или методом ЛагранжаСильвестра. Используем метод Лагранжа-Сильвестра:
xt()e
A SK-( )t×
x0(
Задаем единичную диагональную матрицу:
100
æèö
E
:=
1
По теореме Лагранжа-Сильвестра фундаментальная матрица системы рассчитывается следующим образом:
F t()e
l1t×
A SK×- l2E×-
× e
l1l
-
2
A SK×- l1E×-
l2t×
×+:=
l2l
-
1
Рассчитываем x(t) и p(t), u(t):
xt() Ft()x0×:=
pt() K xt()×:=
ut() R1-- BT× pt()×:=
Задаем интервал времени и строим графики полученных
функций (рис. 6.11):
t 0 0.1, tk..:=
xt()
xt()
1.5
1
1
2
0.5
0 5
0.54
ut()
ut()
0.974-
1
1
0 5 10
2
1
100 t
Рис. 6.11. Оптимальная траектории и оптимальное управление для
примера 5, полученные на основе принципа максимума и получения
решения уравнения Риккати методом упорядочения расположения
корней
250
Решение матричного уравнения Риккати
2
методом разложения
Другим аналитическим методом решения уравнения Риккати является метод разложения. Метод решения заключается в
факторизации матричного уравнения Риккати (6.50), представлении его в обобщенной форме произведения матричных линейных форм и разложении симметрических матриц на произведения треугольных матриц.
Рассмотрим поиск вектора оптимальных управлений u(t) и
вектора оптимальных траекторий x(t), из условия минимума
среднеквадратичного критерия(6.23):
t
k
1
[ ]
J
ò
2
0
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением (6.1)
)t(dx
dt
x)t(x,x)0(x),t(Bu)t(Ax
==+= .
kk0
Как было показано выше может быть решена с использованием
принципа максимума. Оптимальное управление, доставляющее
минимум критерию, определяется из условия, максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее модифицированной сопряженной системы
уравнений:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
).t(pA)t(Qx
Оптимальное управление рассчитывается в соответствии (6.32):
опт
-
-= ,
)t(pBR)t(u
T1
где R, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A – ха-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]