Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

261

Задания для самостоятельного решения







Задание 1. Построить переходной процесс системы, за- данной дифференциальным уравнением вида:

)t(xd

)t(dx

)t(u)t(cx

=+++

Привести систему к матричному виду. Получить аналитическое решение методом преобразования координат, методом Лагранжа-Сильвестра, численным методом и построить графики. Исходные данные заданы в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Исходные данные для задания 1

№ a b c

1 6 11 6 0.02 1.53 1.2 2 9 26 24 0.43 1.32 1.4 5

3 10 31 30 0.36 3.54 3.2 4 12 47 60 3.17 2.32 2.7

5 10 29 20 2.41 1.13 1.3 6 16 83 140 1.32 3.26 2.7 7 7 14 8 3.12 4.67 3.5

8 3.5 3.2 1 0 0 0.2 t-2 9 1.7 0.8 1 0.2 0.6 0.7 5 10 0.8 0.17 0.01 4.5 2.3 0.9 11

)0(x

)t(u

)t3cos(

)t2sin(

1t2t

Задание 2. Для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением

)t(dx

x)0(x),t(Bu)t(Ax

=+=

необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия:

[ ]

®+=

mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(

Исходные данные выбрать в табл. 6.2

262

1. Решение выполнить приведением исходной задачи к

0tk

задаче безусловной оптимизации и поиском фундаментальной матрицы системы методом преобразования координат

2. Найти решение приведением исходной задачи к задаче

безусловной оптимизации и поиском фундаментальной матрицы системы методом Лагранжа-Сильвестра

3. Решение найти на основе принципа максимума. Поиск фундаментальной матрицы системы осуществить методом преобразования координат.

4. Выполнить решение задачи на основе принципа максимума. Поиск фундаментальной матрицы системы осуществить методом Лагранжа-Сильвестра.

5. Найти решение приведением исходной задачи к задаче безусловной оптимизации с последующим сведением ее к уравнению Риккати. Решение уравнения Риккати найти численным способом.

6. Выполнить решение задачи на основе принципа максимума сведением полученной сопряженной системы уравнений к уравнению Риккати. Решение уравнения Риккати найти численным способом.

7. Решение найти на основе принципа максимума сведением полученной сопряженной системы уравнений к уравнению Риккати. Решение уравнения Риккати найти методом упорядочения корней.

8. Найти решение на основе принципа максимума с последующим сведением ее к уравнению Риккати. Решение уравнения Риккати найти методом разложения.

Таблица 6.2

Исходные данные для задания 2

№ А B R Q x

4.27

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

ö ÷

--5.11

8.02

ö ÷

5.11

5.05.2

ö ÷

--9.01

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

ö ÷

4.10

ö ÷

1.10

08.0

ö ÷

5.70

08.1

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

ö ÷

1.20

02.2

ö ÷

8.30

02.3

ö ÷

9.00

06.1

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

3.30

05.0

02.2

6.0

ö ÷

÷ ø

ö ÷

3.00

ø ö

3.10

4.4

4.2

9.2

- 5.1

2.5

263

Окончание табл. 6.2

2.5

№ А B R Q x0 tk

9.19.5

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

--9.01.0

2.01

--5.28.0

48.8

--5.21

13.6

24.2

--5.80

--2.03.0

--2.68.0

ö ÷

÷ ø

ö ÷

÷ ø

5.02

ö ÷

÷ ø

9.04.3

6.58.1

ö ÷

÷ ø

46.2

ö ÷

8.01

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

ö ÷

4.21

ö ÷

-10

8.02.0

ö ÷

-10

ö ÷

--10

ö ÷

-10

12.3

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

ö ÷

9.01

09.0

ö ÷

02.0

ö ÷

5.10

08.0

ö ÷

2.20

ö ÷

7.70

05.1

9.50

02.1

ö ÷

9.50

22.0

æ ç

ç è

05.0

æ ç

ç è

05.0

æ ç

ç è

03.3

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

7.10

08.3

07.0

5.0

3.12

8.0

8.2

ö ÷

9.00

ø ö

9.00

ö ÷

÷ ø

ö ÷

7.20

ø ö

6.20

ø ö

6.70

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

æ ç

ç è

- 2.5

5 2

--8

2 1

-102

ö ÷

÷ ø

8.0

ö ÷

8.5

ö ÷

÷ ø

ö ÷

÷ ø

ö ÷

÷ ø

ö ÷

÷ ø

264

ГЛАВА 7.

ОПТИМАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ МНОГОМЕРНОГО

РЕГУЛЯТОРА

Расчет оптимальных по среднеквадратическому критерию

настроек ПИД-регулятора

При разработке автоматизированных систем управления

большое внимание уделяется поиску оптимальных по одному из критериев значений настроек закона регулирования, определяющих качество функционирования системы управления в процессе эксплуатации.

Рассмотренная выше задача стабилизации многомерного

объекта заключалась в получении закона оптимального регуля тора, представляющего собой пропорциональный закон регулирования. Однако предложенный подход может быть распространен для получения настроек ПИД-регулятора, обеспечивающего качество регулирования эквивалентное оптимальному регулятору.

Постановка задачи. Найти оптимальные настройки ПИДрегулятора, обеспечивающие перевод многомерного линейного объекта, математическая модель которого задана дифференциальным матричным уравнением (6.1) и удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости

),t(Bu)t(Ax)t(x +=

из состояния

x)0(x =

в состояние

x)t(x =

в соответствии с

критерием оптимальности (6.23) в виде взвешенной суммы квадратов отклонений векторов состояния и управления от номинального значения:

( )

I ,

dt))t(Ru),t(u(())t(Qx),t(x((

где )t(x -n-вектор состояния объекта, представляющий собою отклонение текущего значения компонент состояния относи-

тельно номинального значения и доступный наблюдению;A матрица системы иB - матрица состава измерений имеют раз-

265

мерность

nn´

и являются невырожденными; n)t(u

-вектор

управления. Векторы )t(x и )t(u принадлежат вещественному

пространству ленная

ределенная

;

Q симметрическая неотрицательно опреде-

матрица, аR - симметрическая положительно оп-

матрица. Выражение )t(Qx)t(x))t(Qx),t(x(

является скалярным произведением; )t(x и )t(xT- соответственно вектор-столбец и вектор-строка.

Одним из методов получения закона управления )t(u , доставляющего минимум функционалу (6.23) при ограничении

(6.1), является приведение исходной задачи к задаче безусловной оптимизации. Решение такой задачи было рассмотрено выше в главе 6. В задаче с ограничением из уравнения ограничения (6.1) выражается значение управления )t(u и подставляется в

критерий (6.23). Полученное подынтегральное выражение критерия (6.26) с учетом обозначения

1 2

))t(xS),t(x(

))t(xSA),t(x(

&&&

1 2

))t(AxS),t(x(

++-

BBRS-=

--=

1T1T

x)ASAQ(),t(x(

соответствует задаче безусловной оптимизации, которая может быть решена с помощью уравнения Эйлера:

)x,x(F

Дифференцируя подынтегральное выражение (6.26) по

)t(x

и подставляя в уравнение Эйлера, получаем диффе-

ренциальное уравнение для определения оптимальной траектории (6.43):

&&&

++-=

1T1T11 ----

).t(x)ASAQ()t(x)SAAS()t(xS

Если найти решение (6.43) при заданных граничных условиях, то закон оптимального управления можно получить, подставляя полученное явное решение для траектории )t(x в (6.1).

В результате получим закон управления в явном виде как функцию времени

).t(u

266

Рассмотрим синтез ПИД-регулятора для системы (6.1).

&&&

Структуру ПИД-регулятора зададим в виде:

t 1 1

1 3

tt++=

.d)(xK)t(xK)t(xK)t(u

(7.1)

Подставляя (7.1) в (6.1),

ö ÷

tt+++=

d)(xK)t(xK)t(xKB)t(Ax

÷ ø

дифференцируя полученное выражение по времени, чтобы избавиться от интеграла

1 2

+++=

)t(xBK

1 1

и вводя обозначения:

1 1

,KBK,KBK,KBK

=== (7.2)

получаем дифференциальное уравнение:

),t(xK)t(x)KA()t(x)KE(

312

1S-

подставляем в первое и

(7.3)

где

единичная матрица. Сравнивая (7.3) и (6.43), находим:

ï ï

-=+

,SKE

,ASAQK

Из второго уравнения значение

++=-

1T1

,SAASKA

третье уравнения

ì ï

í ï ï

),KE(S

-+=

---=+

),KE(AA)KE(KA

.A)KE(AQK

Выполняя элементарные преобразования, получаем

,SEK

-+=

,AAKKAK

--=

(7.4)

.AKAAAQK

267

Из полученных соотношений следует, что

()()(

)

()(

)

(

)

()(

)

[

]

()(

)

симметрическая матрица, состоит из двух частей - кососимметрической матрицы

стройки ПИД-регулятора не являются независимыми. Это свидетельствует о том, что для синтеза ПИД-регулятора, обладающего свойствами оптимальности по отношению к критерию (6.23) его структура, заданная выражением (7.1) является избыточной.

ратной связи через вектор переменных состояния. В этом случае не требуется находить решение дифференциального уравнения

(6.43). Умножим скалярно левую и правую части (6.43) на )t(x

AKKA

- и матрицы

Кроме того, из (7.4) видно, что матрицы параметров на-

Получим закон регулирования, выраженный в форме об-

- симметрическая матрица а

&&&&&&

Так как

справедливы соотношения:

( ) ( )

а для кососимметрической матрицы

В силу (7.5) и (7.6) уравнение (6.43) можно представить в виде:

Выражение в квадратных скобках в (7.7) определяет функцию, сохраняющуюся на оптимальной траектории (интеграл движения). Полагая, без ограничения общности, постоянную интегрирования равной нулю, получаем:

1S-

)t(xS),t(x

dtd2

)t(x)ASAQ(),t(x

1T1

1T -

симметрические матрицы,

ASAQ

&&&&&

,)t(xS),t(x

dtd2

0)t(x)SAAS(),t(x

. (7.6)

1T1

1T1 --

)t(x)ASAQ(),t(x)t(xS),t(x

1T1T

+=+

SAAS---

. (7.7)

0)t(x)ASAQ(),t(x)t(xS),t(x

=+-

=0. (7.8)

1TT1T1T1T ----

++-=

,)t(x)ASAQ(),t(x

1T1

выполняется:

).t(x)ASAQ()t(x)t(x)SAAS()t(x)t(xS)t(x

(7.5)

268

Для приведения (7.8) к квадратичной форме относительно

()(

)

(

)

переменной )t(x достаточно положить:

)t(x)SKA()t(x -=

. (7.9)

Здесь симметрическая матрицаK неизвестна и подлежит определению. Подстановка (7.9) в (7.8) приводит к выражению:

Поскольку

)(tx

непрерывная функция не равная нулю на

0)t(xKSKQKAKA),t(x

=-++ . (7.10)

оптимальной траектории, то из (7.10) следует матричное алгебраическое уравнение для определения

. (7.11)

0KSKQKAKA

=-++

Полученное выражение (7.11) - известное нелинейное матричное уравнение Риккати. Решение уравнения Риккати может быть получено любым из изложенных выше способов.

Если найдено решение уравнения (7.11), то, подставляя его в (7.9), получаем дифференциальное уравнение для оптимальной траектории.

Сравнивая (7.9) с (6.1), получаем, что закон оптимального управления в форме обратной связи легко находится из соотношения:

)t(SKx)t(Bu =

. (7.12)

Повторяя аналогичное рассмотрение для уравнения (7.3), получим уравнение, связывающее матрицу

тимального регулятора

0K)KE(KQKAKA

=--++ . (7.13)

Из (7.13) можно определить матрицу

с матрицей оп-

, если известно

решение уравнения (7.11):

++-= . (7.14)

111T1

----

QKKAKAKEK

Используя (7.4) можно легко получить значения матриц

и, таким образом, получить оптимальные настройки

ПИД-регулятора.

Оптимальные настройки ПИД регулятора должны удовлетворять соотношениям (7.4) и (7.14) в этом случае оптимальная траектория удовлетворяет уравнению (7.9) n-порядка. При лю-

269

бом другом методе получения настроек ПИД - регулятора не

èöø

учитывается условие (7. 7 ), в результате чего траектория замкнутой системы удовлетворяет уравнению (7. 3) 2n- порядка.

При нарушении настроек параметры системы могут принимать такие значения, когда удовлетворяются условия (7.4) и движение замкнутой системы вместо уравнения (7.3) будет продолжено по траектории (7.9). Такие переходы будут нарушать устойчивость движения к стационарному состоянию и, возможно даже, иногда не достигать его. Положительным свойством регулятора с оптимальной настройкой является апериодическая траектория замкнутой системы, что без учета условий (7.4) не всегда можно получить.

Пример 1. Расчет оптимальных настроек ПИДрегулятора в M athCad . Найти оптимальные настройки ПИД-

регулятора, обеспечивающие перевод многомерного линейного объекта, математическая модель которого задана дифференциальным матричным уравнением

),t(Bu)t(Ax)t(x +=

из состояния

x)0(x =

в состояние

x)t(x =

в соответствии с

критерием оптимальности (6.23):

( )

I .

dt))t(Ru),t(u(())t(Qx),t(x((

Зададим исходные данные, предварительно установив от- счет индекса массива с 1:

ORIGIN1:=

0.2-

0.15

0.600

0.4

0.1

0.18-

:= B

:= R

0.18

0.4

0.2-

0.23

0.3

:= x0

0.400

tk10:=

1.2

æèö

0.3

Критерий оптимальности

xTQ× x×

( )

uTR× u×

d×

270

Подынтегральное выражение функционала в задаче безус-

(

)

ëùû

èöø

шжицш

)

èöø

0.5

0.4

0.2:=Given

)

ловной оптимизации:

где

S BR1-× BT×:= S

xTQATS×A×+

0.214

0.027

x×tx

0.027

0.576

×tx

×+ 2tx

× S1-× A×x×-

Подстановка F в уравнение Эйлера:

d t x'

æèö

приводит к получению уравнения:

&&&

++-=

1T1T11 ----

).t(x)ASAQ()t(x)SAAS()t(xS

Последнее уравнение сводится с помощью преобразований и подстановки:

xt()e

A SK-( )t×

x0(

к уравнению Риккати:

KS× K× KA×- ATK- Q-

Найдем решение уравнения Риккати численным способом. Сформируем симметричную матрицу К:

vdd

Kvw, d, ( )

и запишем левую часть уравнения Риккати в виде функции F:

F vw, d, ( ) Kvw, d, ( )S× Kvw, d, ( )× Kvw, d, ( )A×- ATKvw, d, ( )×-

-:=

Зададим начальные приближения элементов матрицы К и воспользуемся функцией Find для получения численного решения:

:= v

Fvw, d, ( ) Fvw, d, ( ) Fvw, d, ( )

f Findvw, d, (

:= d

11, 12, 22,

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]