Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
d
0
0
ø
t
èöø
0
1
1
2
æ
2txt()
d
è
ö
xt()-
ø
d
2txt()
× 2
d
2
d
xt()
×-
2
t
d
откуда следует
2
d
xt()
x-
d
2
t
Характеристическое уравнение
k21-
Корни характеристического уравнения
1
æèö
1-
Решение дифференциального уравнения будем искать в
виде
xt()C1e
t
× C2e
1
×+:= C
-
тогда
d
ut()
æ
d
xt()
t
xt()+
2C
× et×®:=t
1
y1t() 2-y
× ut()× simplify 4- C1× y2× et×®:= 2-
2
Определяем неизвестные постоянные времени граничных
условий
x0()0 C1C
xt
1 C2e
()
k
®
®
+
2
t
-
k
× C1e
×+
t
k
условия трансверсальности для произвольного времени
Htkx1, u, y1, y
( )
d
Gt
t
d
k
,
®
()
k
2
d
-
t
d
Gt
()
k
k
Левая часть
HHt() y1t() ut() xt()-( )× y2ut()
2
×+ simplify 4C
× C
1
× y
×®:= y1t() ut() xt()-( )×y1t() ut() xt()-( )×
2
131
132
Получаем
2.415
è
ø
1
1
1
1
Given
0
1
è
ø
2.415
(
)
ç
è
÷
ø
è
ø
4C
× C
× y
×1-
1
2
2
Недостающее четвертое уравнение для определения четы-
рех неизвестных – изопериметрическое условие
t
k
ó
ô
õ
2
tut()
d
0
после упрощения имеет вид
× e
× 2.415
1
1-
2tk×
2
2C
Полученную систему решим приближенными методами:
C
:= C
1
C1C2+
C2e
4C
2C
D FindC1C2, y
D
C1D0:= C2D1:= y2D2:= t
tk-
× C1e
× C
× y
×1-
1
2
2tk×
2
× e
×
1
:=
0.501
æ
0.501-
ç
=
ç
0.998
0.881
ö
÷
÷
2
×+
2
, tk,
-:= y
t
k
1-
2
:= t
2
:=
k
D3:=
k
Выполняем проверку полученного решения
C1C2+ 0=
C2e
4C
2C
tk-
× C1e
× C
× y
1
2
2
× e
× 2.415=
1
×+ 1=
× 1-=
2
2tk×
t
k
1-
Строим оптимальную траекторию и оптимальное управ-
t
=
ление (рис. 4.4):
t 0 0.1, 1..:=
xt()C1e
t
× C2e
×+:=
-
ut() 2C
× et×:=
1
xt()
ut()
3
2.25
1.5
0.75
0 0.2 0.4 0.6 0.8
t
Рис. 4.4. Оптимальная траектория и оптимальное управление
для примера 4
Задания для самостоятельного решения
Задача 1. Объект управления задан передаточной
функцией
)s(Y
=
)s(U
k
2
2
.
asasa
++
01
Критерий оптимальности, подлежащий минимизации, ра-
вен интегралу от суммы квадратов ошибки и управления, взятых
с весовыми коэффициентами α и β
t
k
( )
[ ]
ò
0
k
22
b+-a=
dt)t(uy)t(yI
Объект необходимо перевести из начального состояния
y(0)=y0, y’(0)=0 в конечное:
y)t(y
, 0)t('y
kk
= с минималь-
k
ным значения критерия.
133
134
Задача 2. Объект управления задан передаточной
=
=
=
=
функцией
)s(Y
=
)s(U
k
2
2
.
asasa
++
01
Критерий оптимальности, подлежащий минимизации, ра-
вен интегралу от квадрата управления (минимизируются энергетические затраты на перевод объекта из начального состояния в
конечное)
t
k
2
=
ò
0
.
dt)t(uI
Объект необходимо перевести из начального состояния
y(0)=y0, y’(0)=0 в конечное
y)t(y
,
kk
0)t('y
с минималь-
k
ным значения критерия.
Задача 3. Объект управления задан передаточной
функцией
)s(Y
=
)s(U
k
( )( )
1sT1sT
++
21
.
Критерий оптимальности, подлежащий минимизации, ра-
вен интегралу от квадрата управления (минимизируются энергетические затраты на перевод объекта из начального состояния в
конечное)
t
k
2
=
ò
0
.
dt)t(uI
Объект необходимо перевести из начального состояния
y(0)=y0, y’(0)=0 в конечное
y)t(y
,
kk
0)t('y
с минималь-
k
ным значения критерия.
Задача 4. Для объекта с передаточной функцией
)s(Y
=
)1s2T()1s1T(k)s(U
+××+×
получить оптимальный закон управления и оптимальную траекторию изменения y(t), обеспечивающих минимальное значение
критерия оптимальности.
[
]
T
2
()
[ ]
ò
0
22
++=
dt)t(by)t(auT'yJ
при переводе объекта из состояния y(0)=y0, y’(0)=0 в состояние
y(T)=0 за заданное или произвольное время Т.
Задача 5. Для объекта с передаточной функцией
)s(Х
)s(U
k
=
2
)1s1T(
+×
получить оптимальный закон управления и оптимальную траекторию изменения х(t), обеспечивающий минимальное значение
критерия оптимальности,
T
2
+=
2
ò
0
dt)t(x)T('xJ
при переводе объекта из состояния x(0)=x0, x’(0)=0 в состояние
x(T)=0 за произвольное время Т при ограничении на энергети-
ческие затраты
T
2
ò
0
.
Udt)t(u
=
Задача 6. Для объекта с передаточной функцией
)s(Y
=
)s(U
k
22
1s1T2s1T
+××x×+×
получить оптимальный закон управления и оптимальную траекторию изменения y(t), обеспечивающих минимальное значение
критерия оптимальности,
T
2
()
[ ]
2
+=
dt)t(uT'yJ
ò
0
при переводе объекта из состояния y(0)=y0, y’(0)=0 в состояние
y(T)=0 за заданное или произвольное время Т.
Задача 7. Объект управления задан передаточной
функцией
)s(Y
= .
)s(U
k
2
2
asasa
++
01
135
136
Критерий оптимальности, подлежащий минимизации, ра-
вен времени tk перевода объекта из начального в конечное состояние
I=tk .
Затраты энергии на перевод объекта ограничены и равны Е:
t
k
2
=
ò
0
.
dt)t(uЕ
Объект необходимо перевести из начального состояния
y(0)=y0, y’(0)=0 в конечное
y)t(y = , 0)t('y
kk
= за минималь-
k
ное время при выполнении ограничений на энергозатраты (задача максимального быстродействия).
Задача 8. Объект управления задан передаточной
функцией
)s(Y
= .
)s(U
k
2
2
asasa
++
01
Критерием оптимальности является разность конечного и
начального значений выходной координаты объекта
I=у(tk)-у0 .
Затраты энергии на перевод объекта из начального в ко-
нечное состояние ограничены и равны Е:
t
k
2
=
ò
0
.
dt)t(uЕ
Объект необходимо перевести из начального состояния
y(0)=y0, y’(0)=0 в максимально отстоящее от него конечное
y)t(y = , 0)t('y
kk
= за заданное время при выполнении огра-
k
ничений на энергозатраты (задача максимального удаления).
137
ГЛАВА 5.
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДАМИ
НЕКЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Принцип максимума Л. С. Понтрягина
Если функционал линейно зависит от управляющего воздействия (линейно зависит гамильтониан), а управляющее воздействие системы ограничено неравенствами, причем управление может быть представлено в виде кусочно-непрерывных
функций, то решить такую задачу методами классического вариационного исчисления достаточно сложно. Наиболее часто
такие задачи решаются с помощью принципа максимума Понтрягина. Так же как и задачи классического вариационного исчисления, для неклассического вариационного исчисления различаются задачи Майера, Лагранжа, Больца. Отличие в постановке задач заключается только в наличии ограничений типа
неравенство, налагаемых на управление. Функционал и изопериметрические ограничения не должны содержать производных
либо они должны быть устранены вводом новых функций, а
дифференциальные уравнения представлены в нормальной
форме. Это позволяет использовать при решении задач с помощью принципа максимума функцию Гамильтона (4.8)
r
+l+Fy+y=
qq
åå
==
1q
)u,x,t(f)u,x()t()u,x,t(FH
å
n
1i
h
jx+
kk
=
1k
)u,x,t(
*
ii0
и дополнительную функцию (4.16) при переменных границах
или интервале времени
p
å
=
[ ]
n=
0j
.
t,t),t(x),t(xgG
кнкнjj
138
Согласно принципу максимума Понтрягина, необходимо
¶
[
]
(
)
()()(
)
K
(
)
[
]
(
)
(
)
()()(
)
K
чтобы:
1) существовало ненулевое решение уравнений
H
¢
-=y
i
¶
,0
¹
x
i
0i¹y
,
n,1i =
,
2) вектор управления u в каждый момент времени обес-
печивал максимум функции Гамильтона (в явном виде)
()
Значения
u
¾®¾
.
maxu,xH
y
n
и
для задач с минимизируемым функцио-
0
0
налом должны быть равны -1. Если в исходной задаче требуется
обеспечить максимум функционала, то эти значения принимают равными единице.
Рассмотрим задачи со скалярным управлением, решаемые
с помощью принципа максимума.
Принцип максимума Понтрягина в задаче
с фиксированным временем и свободной правой границей
В задаче требуется найти допустимое возможное управление
нения координаты
и соответствующую ему траекторию изме-
utuu ££
maxmin
=
txtxtx)t(x
, обеспечивающие
n21
экстремум функционала:
t
к
() ( )
кнкн0
ò
t
н
mindtu,x,tF)t,t),t(x),t(x(gu,xJ
®+=
при переводе объекта, описываемого дифференциальными
уравнениями вида
*
¢
F=
ii
из начального
заданное время
,
u,xx
t
.
k
n,1i =
,
x0x =
в произвольное конечное состояние за
0
Возможные траектории изменения координаты объекта представлены на рис. 5.1. Если управление u(t) и траектория x(t) доставляют минимум функционалу
прерывная векторная функция
u,xJ
, то существует такая не-
yyy=y
ttt)t(
n21
,
139
удовлетворяющая условиям трансверсальности для случая фик-
[
]
dt
(
)
(
)
сированного времени и свободной верхней границы (4.31):
G
¶
)(tψ
=
ki
¶
,
()
tx
ki
n,1i =
и выполняются условия
10-=y
,
10-=n
.
x(t)
x
н
н
Рис. 5.1. Графическая интерпретация задачи с фиксированным
временем и свободным правым концом
t
k
tt
Пример 1. Найти оптимальное управление u(t) и траекто-
рию x(t) объекта
dx
()
tu
a= ,
обеспечивающие максимум функционала
t
k
( )
ò
0
maxdt)t(u)t(xJ
®-=
при переводе его из начального состояния x(0)=1 в произвольное конечное за время tk=10 если
1tu0 ££
и α=0,3.
Решение. Согласно принципу максимума Понтрягина до-
пустимое возможное управление u(t) , доставляющее минимум
функционала, в каждый момент времени должно обеспечивать
максимум функции Гамильтона. Поскольку в задаче функционал стремится к максимуму, то
.10=y
Составим функцию Гамильтона
.
maxuuxH
0
®ay+-y=
140
Для обеспечения экстремума функции Гамильтона ранее в
u
¶
x
¶
¢
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
главе 4 была выведена сопряженная система уравнений
¶
H
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Второе условие 0
y¢-=
¶
x
¶
H
¶
u
,
=
.0
H
=
в случае, когда функция Гамиль-
¶
тона линейно зависит от u(t), невыполнимо, так как экстремум
линейной функции достигается на концах интервала исследования. Выполним анализ поведения входящих в гамильтониан
функций. Первое условие имеет вид
H
¢
-=y
В силу того, что
Дополнительная функция
терминальная часть и нет условия связи между
¶
dtd -=y ,
y-=
.
0
10=y
, получаем
Ct)t( +-=y .
1
k
1-=y
, откуда
0txG
=
, так как отсутствует
tx
t
и
k
k
.
Из условия трансверсальности
)x(G
¶
к
x
к
0
=
0Ct)t(
=+-=y , откуда
1kk
tC = и tt)t(
k1
k
-=y .
)t(
=y ,
к
¶
Подставим найденное значение )t(y в функцию Гамиль-
тона:
maxxu1ttuttuxH
kk
®+-a-a=-a+-= .
Анализ полученного выражения позволяет сделать вывод,
что максимум функции Гамильтона достигается, если
>-a-a
ì
k
=
u
í
k
î
Рассмотрим поведение функции
,01tt,1
<-a-a
.01tt,0
1ttty
-a-a= , пред-
k
ставляющей собой прямую линию с отрицательным коэффициентом наклона (рис. 5.2). Начальная точка
ная:
1ty
-= . Прямая пересекает ось абсцисс, при этом функ-
k
1t0y
-a= , конеч-
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]