Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
21
Откуда
¹
d
'
xFdtdx
¶
¶
вых
), близких к
вых
), близких к
t
()
=d
2
F
¶
(xJ
ò
x
¶
t
1
F
d
¶
-
'x
dt
¶
0xdt)
=d
. (2.4)
В выражении (2.4) вариация функции dx(t) – произволь-
ная, т. е. 0
x , тогда интеграл при любых dx (t) в силу основ-
ной леммы вариационного исчисления будет равен нулю, если
равен нулю другой сомножитель. Таким образом, функция, на
которой достигается экстремум, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
F
-
¶
0
=
. (2.5)
¶
Уравнение (2.5) называется дифференциальным уравнением Эйлера. В общем случае оно является уравнением второго
порядка и дополняется двумя граничными условиями (2.2). Любое решение уравнения Эйлера является экстремалью - кривой,
на которой может достигаться экстремум.
Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения неприменима к уравнению
Эйлера, так как оно дополняется не начальными, а граничными
условиями. В этой связи экстремаль не обязательно существует,
а если существует, то не обязательно является единственной.
Для проверки достижения экстремума на найденной экстремали используются достаточные условия экстремума. Например, условие Лежандра (табл. 2.2) для определения достижения на экстремали сильного (слабого) минимума (максимума).
Условие
2
F
¶
>
2
'x
¶
2
F
¶
<
2
'x
¶
x(t)
Для всех кри
x(t), близких к экс-
0
тремали x0(t)
Для всех кри
x(t), близких к экс-
0
тремали x0(t)
Условия Лежандра
Выполнение условия
Для любых x¢(t)
Для x¢(t
экстремали
Для любых x¢(t)
Для x¢(t
экстремали
x¢(t)
Таблица 2.2
Вид экстремума
Сильный минимум
Слабый минимум
Сильный максимум
Слабый максимум
22
Пример 1. Найти функцию обеспечивающую экстремум
[
]
(
)
()()(
)
'
x
(
)
(
)
(
)
(
)
()()(
)
функционала
p2/
()( )
ò
0
и удовлетворяющую граничным условиям:
1)0(x = , 0)5(x = .
Решение. Запишем уравнение Эйлера, обозначив подын-
тегральное выражение функционала как функцию F, т.е.
d
F
¶
¶
где
Частные производные F по х и
¶
¶
Подставляя частные производные в уравнение Эйлера и
дифференцируя
дифференциальное уравнение второго порядка
или
Чтобы получить решение этого уравнения запишем для
него характеристическое уравнение, заменив операцию диффе-
ренцирования умножением на оператор дифференцирования
p º ,
и разделив уравнение на x(t)
Корни характеристического уравнения будут чисто мнимые, т. е.
и общее решение однородного дифференциального уравнения:
x
F
x
2
æ
-
ç
dt
è
()
=
d
dt
01p2=+ .
2,1
-=
F
¶
ö
0
=
÷
'x
¶
ø
F
¶
tx2
,
'x
¶
0t''x2)t(x2 =+
0)t(xtxp
=+ ,
j1p
±=-±= ,
+=
22
¢
dt)t(xtx)x(J
,
22'
t'xtxx,xF -= .
равны
()
t'x2
-=
t'x2- по t, получим обыкновенное однородное
0)t(xt''x =+ .
.
.
tsinCtcosСtx
21
23
Константы С1 и С
(
)
()()(
)
()()(
)
(
)
()(
)
2
'
x
¶
1)0(x = ,
05x =
находим из граничных условий:
2
1C0sinC0cosС0x
==+= ,
121
05sinC5cosС5x
=+= ,
C
21
2
5cos
()
5sin
-=-= .
Таким образом, с учетом полученных констант решение
запишем как:
)tsin()5ctg(tcostx ×-= .
По достаточному условию Лежандра:
2
F
¶
2
'x
¶
02
<-=
на экстремали достигается максимум.
Решение примера 1 в MathCad. Задаем целевую функ-
цию:
5ctg
F tx, x', ( )x2x'()
Найдём частные производные
d
Ftx, x', ( )
x
d
d
Ftx, x', ( )
x'
d
Вычислим полную производную по t от
ddd
Ftx, x', ( )
t x'
d t
æ
d
2-
×
t
d
è
d
d
xt()
t
ö
ø
-:=
¶
¶
и
xF¶
2x×®
2- x'×®
d
2- x'×( )
d
2
d
2-
xt()
×®
2
t
d
:
'xF¶
F
¶
Составляем дифференциальное уравнение Эйлера:
d
Ftx, x', ( )
x
d t x'
ddd
Ftx, x', ( )
- 0
d
24
æ
ç
è
÷
ø
i
ø
1
1
)
1
2
2x× 2-
×
- 0
d
d
2
2
t
ö
xt()
После упрощения
2
d
xt()
x+ 0
d
2
t
Решим дифференциальное уравнение. Составляем харак-
теристическое уравнение:
k21+ 0
Находим корни характеристического уравнения. (Отмечаем курсором переменную k и выбираем пункт меню Символы\Переменные вычислить). Результат - вектор значений k:
i
æèö
-
Записываем решение дифференциального уравнения:
xt()C1cost()× C2sint()×+:=
Определяем неизвестные C1 и C2 из граничных условий:
x0() C
® x0()C
1
x5() C1cos5()× C2sin5(
x5()C1cos5()× C2sin5()×+ 0
C1cos5()× C2sin5()×+ 0solve C2,
C
:= C
1
×+®
C1cos5()×
-®
sin5()
C1cos5()×
-:=
2
sin5()
Определим вид экстремума по условию Лежандра
2
d
2
x'
d
Ftx, x', ( )
-®
Поскольку полученное значение меньше нуля, имеет место максимум.
25
Строим график решения (рис. 2.1). Задаем аргумент
=
'
x
¶
2
1
t 0 0.1, 5..:=
xt()
0 1.25 2.5 3.75 5
1-
2-
t
Рис. 2.1. Экстремаль примера 1
Частный случай уравнения Эйлера
В случае если подынтегральная функция ))t('x),t(x,t(F не
зависит явно от t, т.е.
)'x,x(FF
,
то в уравнении Эйлера (2.5) второе слагаемое тождественно
равно нулю. Покажем это.
F
d
¶
ö
æ
=
÷
ç
dt
¶
ø
è
F
¶
¶
ö
æ
÷
ç
x'x
¶
¶
ø
è
¶
æ
+
ç
¶
¶
è
'dx
¶
ö
.
÷
dt
'xF'xdtdx'x
ø
Таким образом, уравнение Эйлера принимает вид:
F
¶
¶
-
¶
¶¶¶
¶
'x
-
'xFxx
¶¶¶
0''x
=
. (2.6)
'xF'x
Такой же вид имеет полная производная по t от выраже-
ния
F
C
'xF =
- . (2.7)
1
¶
Покажем это, продифференцировав (2.7) по t:
26
F
'xx
4
'
x
¶
¶
+
dtdxx
¶
'dx'xF
¶
dt
¶
F
¶
é
''x
-
ê
¶
ë
¶
'x
+
'x
dtdx'xFx
¶¶¶
¶
'x
+
'x
'dx'xF
ù
,0
=
ú
dt
¶¶¶
û
или
F
F
¶
¶
'x
+
x
¶
=
'x
¶
F
¶
x
¶
)'x('x
-
F
¶
''x''x
-
2
-
'x
¶
¶
-
'xFx
¶¶¶
¶
2
)'x(
''x'x
-
'xFx
¶¶¶
¶
0
=
'xF'x
¶¶¶
¶¶¶
''x'x
=
'xF'x
¶
После деления на x' левой и правой частей уравнения, получаем уравнение, совпадающее с (2.6). Следовательно, если
подынтегральная функция не зависит явно от t, и решением не
является горизонтальная прямая x' = 0, то дифференциальное
уравнение Эйлера (2.5) может быть представлено в виде (2.7).
Полученное представление уравнения Эйлера является дифференциальным уравнением первого порядка, которое решается
проще, чем исходное уравнение (2.5).
Пример 2. Найти экстремаль функционала при заданных
граничных условиях
()
=
5
ò
0
22
()
=
()
=
;60x
.25x
ì
;dt'xx4xJ
í
î
Решение. Подынтегральная функция F(t, x, x¢) =
не зависит явно от t. Имеет место частный случай уравнения
Эйлера (2.7).
F
C
'xF =
- ,
В силу того, что xx8
или
22
¢
xx
=
¶
C'xx4 =- , откуда
1
C
-
1
4
1
F
¶
¶
2222
2
¢
=
'x
C'xx8'xx4 =-
уравнение Эйлера имеет вид:
1
.
Введем замену
C
-
C
2
1
= ,
4
22
27
тогда
2
(
)
(
)
2
'
x
¶
'
x
¶
dx
x = .
C
2
dt
Разделив переменные
dtCxdx2=
и проинтегрировав обе части полученного уравнения,
= dtCxdx
2
òò
получаем оптимальную траекторию:
1
2
CtCx
+= .
32
Неизвестные С2 и С3 определяем из граничных условий
60x = и
ì
C
ï
í
ï
î
3
25x = :
1
2
=
;6
2
1
2
=+
CC5
32
.2
2
Получаем
ì
í
î
;18C
3
-==.2,3C
2
Экстремаль задачи имеет вид:
36t4,6x +-= .
Решение примера 2 с использованием MathCad. Запи-
шем подынтегральное выражение:
F tx, x', ( ) 4x2× x'()
×:=
Здесь подынтегральная функция F(t, x, x¢) не зависит явно
от t. В частном случае уравнениe Эйлера имеет вид
F
C
'xF =
- ,
Найдём частную производную
d
Ftx, x', ( )
x'
d
1
¶
F
:
¶
8x2× x'×®
28
Запишем частный случай уравнения Эйлера:
èöø
èöø
èöø
èöø
1
èöø
1
èöø
èöø
(
)
ê
ë
ú
û
Ftx, x', ( )
d
t
d x'
d
æ
xt()
Ftx, x', ( )
×- C
d
1
2
d
xt()
t
d
d
æ
× C
t
d
xt()
d
æ
t
d
2
C14
8 xt()
×
2
×
æ
xt()
×- C
d
d
xt()
t
4xt()
4- xt()
×
xt()
×
2
æ
×
2
d
æ
xt()
t
d
После упрощения
d
æ
xt()txt()
× C
d
2
Решим дифференциальное уравнение. Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения.
xt() dxt()× C2dt×
ó
ô
xxóôõd tC
1
x2× C2t× C3+
2
d
2
ô
õ
Откуда можно выразить оптимальную траекторию:
2C2t× C
×
é
xt()
:=
2C2t× C
Определяем неизвестные С2 и С
+
3
×-
+
( )
C
3
3
ù
из граничных условий.
3
Подстановку граничных значений удобнее проводить, пользуясь
выражением
x22C2t× C3+
( )
29
Получаем систему уравнений
(
)
4
ç
è
÷
ø
èöø
ø
ø
2C
× 36
3
2 C25× C3+
×
Из матричной записи системы полученных уравнений
найдем значения С2 и С
C
æ
è
0102
æ
2
ö
×
2
C
ø
3
3
ö
36
æèö
4
ø
откуда
0102
æ
C
1-
36
æèö
×:= C
2
4
æèö
=
3.2-
18
Строим график решения (рис. 2.2). Задаем значения аргумента и функции
t 0 0.1, 5..:= xt() 2 3.2- t× 18+( )×:=
6
5
xt()
4
3
2
0 1.25 2.5 3.75 5
t
Рис. 2.2. Решение примера 2
Экстремаль функционала, зависящего
от нескольких функций
Задача заключается в поиске экстремума функционала, зависящего от нескольких функций одной переменной и их первых производных:
30
t
(
)
(
)
(
)
к
( ) ( )
ò
t
н
KKK . (2.8)
n21n21n21
extrdt'x,,'x,'x,x,x,x,tFx,,x,xJ
®=
Экстремаль функционала должна удовлетворять в общем
случае 2n граничным условиям:
ì
í
î
=
()
=
=
=
;xtx
н2н2
;xtx
к2к2
L
ì
í
î
;xtx
ì
н1н1
í
()
;xtx
к1к1
î
=
()
=
;xtx
nннn
.xtx
nккn
(2.9)
Как и для элементарной задачи вариационного исчисления, необходимым условием экстремума рассматриваемого
функционала (2.8) является равенство нулю его вариации.
Если функционал (2.8) достигает экстремума на множестве варьируемых функций с закреплёнными концами (2.9), то в
более узком классе функций (когда варьируется только одна из
них, а остальные зафиксированы) функционал также достигает
экстремума. В этой связи каждая из функций xi(t) должна удовлетворять уравнению Эйлера (2.5). Следовательно, для поиска
экстремалей требуется решить систему n дифференциальных
уравнений Эйлера
d
-
dt
[ ]
¶
F
=
;0
¢
¶
x
ii
;n,1i
(2.10)
¶
F
ì
ï
¶
x
í
ï
=
î
дополненную 2n граничными условиями (2.9).
Задачу отыскания экстремума функционала, зависящего
от нескольких функций при n=2 можно интерпретировать гео-
метрически (рис. 2.3).
Обозначим функции следующим образом
xx = ,
1
xy = .
2
Тогда задача сводится к отысканию линии, проходящей через
заданные две точки Mн(tн, xн, yн) и Mк(tк, xк, yк), и доставляющей
экстремум функционалу
t
к
() ( )
ò
t
н
extrdt'y,'x,y,x,tFy,xJ
®=
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]