Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
231
размер которой n x n, что легко проверить транспонированием
(6.50). Необходимо отметить, если размерность неизвестных
компонент векторов x(t), x’(t) составляет 2n, то размерность
матричных элементов kij, подлежащих определению, составляет
n x n.
Решение уравнения Риккати может быть получено различными способами, например, численным. Численный метод
решения заключается в покомпонентном представлении симметрической системы (развернутое уравнение Риккати). Представим матрицу К в виде:
K , (6.51)
÷
ç
wd
ø
è
dv
ö
æ
÷
ç
=
с учетом (6.51) уравнение Риккати (6.50) имеет вид:
dv
ö
æ
÷
ç
÷
ç
wd
ø
è
æ
ç
-
ç
è
ss
æ
ç
ç
è
1211
ss
2221
aa
ö
æ
2111
ç
÷
ç
÷
aa
2212
è
ø
dv
ö
÷
÷
ø
dv
wd
ö
æ
÷
ç
÷
ç
wd
ø
è
æ
ö
ç
÷
-
ç
÷
è
ø
dv
ö
æ
÷
ç
-
÷
ç
wd
ø
è
qq
ö
1211
÷
=
÷
qq
2221
ø
aa
æ
ç
ç
è
æ
ç
ç
è
ö
1211
÷
-
÷
aa
2221
ø
00
ö
÷
.
÷
00
ø
(6.52)
Левая часть уравнения (6.52) представляет собой матрицу
F, каждый элемент которой содержит неизвестные w, v, d и ра-
вен нулю:
)d,w,v(f)d,w,v(f
æ
ç
ç
è
1211
2221
ö
÷
÷
)d,w,v(f)d,w,v(f
ø
00
ö
æ
÷
ç
=
ç
è
.
÷
00
ø
Таким образом, получаем три уравнения относительно
переменных v, w, d. Полученная система является разрешимой.
Такая покомпонентная запись симметрической системы есть
развернутое уравнение Риккати:
d)w,f1(v,
æ
T
ç
QKAKAKSK
=---
ç
ç
è
ö
÷
. (6.53)
0
d)w,f2(v,
=
÷
÷
d)w,f3(v,
ø
В результате решения (6.53), получаем симметрическую
матрицу К.
Если найдено решение уравнения (6.50), то, подставляя
его в (6.48), получаем дифференциальное уравнение для оптимальной траектории. При расчете оптимальной траектории сис-
232
темы x(t) рекомендуется провести исследование устойчивости
èöø
èöø
ø
èöø
èöø
t
ë
û
(
)
ëùû
èöø
системы. Система устойчива, если действительные части собственных значений характеристической матрицы системы А–SK
отрицательны.
Собственные значения матрицы А–SK можно найти двумя
способами либо из уравнения 0ESKAdet =l-- , либо с помо-
щью функции для расчета собственных значений матрицы в
MathCad eigenvals(А–SK).
Сравнивая (6.48) с (6.1), получаем, что закон оптимального управления в форме обратной связи легко находится из соотношения:
)t(SKx)t(Bu =
откуда
)t(SKxB)t(u1-= . (6.51)
Решение примера 5 в M athCad сведением к задаче без-
условной оптимизации с последующим использованием
уравнения Риккати. Зададим исходные данные, предваритель-
но установив отсчет индекса массива с 1:
ORIGIN1:=
0.2-
0.15
0.600
0.4
0.1
0.18-
æ
A
:= B
æ
Q
:= R
0.18
0.4
0.2-
0.23
0.3
æ
:= x0
0.400
æ
:=
tk10:=
:=
1.2
æèö
0.3
Критерий оптимальности
t
ó
1
J
2
xTQ× x×
õ
0
( )
ô
( )
uTR× u×
+
d×
Подынтегральное выражение функционала в задаче безусловной оптимизации
1
é
F
xTQATS×A×+
×
2
T
d
x×tx
d
1-
d
S
×tx
×+ 2tx
d
× S1-× A×x×-
d
Td
где
S BR1-× BT×:=
0.214
0.027
0.027
0.576
æ
S
=
233
Уравнение Эйлера
шжицш
0
)
0
èöø
Q
0.5
0.4
0.2:=Given
0
0
0
)
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
è
÷
ø
èöø
d
F
x
d t x'
d
æèö
d
-
F
d
d
Уравнение
&&&
++-=
1T1T11 ----
).t(x)ASAQ()t(x)SAAS()t(xS
Сводится с помощью преобразований и подстановки
xt()e
A SK-( )t×
x0(
к уравнению Риккати
KS× K× KA×- ATK- Q-
Найдем решение уравнения Риккати численным способом.
Сформируем симметричную матрицу К:
vdd
Kvw, d, ( )
æ
:=
w
и запишем левую часть уравнения Риккати в виде функции F
F vw, d, ( ) Kvw, d, ( )S× Kvw, d, ( )× Kvw, d, ( )A×- ATKvw, d, ( )×-
-:=
Зададим начальные приближения элементов матрицы К и
воспользуемся функцией Find для получения численного
решения:
w
:= v
Fvw, d, ( )
Fvw, d, ( )
Fvw, d, ( )
f Findvw, d, (
:=
æ
f
=
1.014
0.6
0.185
:= d
11,
12,
22,
ö
Формируем матрицу К из полученных численных значений
f
f
æ
K
:=
ö
1
3
f
f
3
2
1.014
0.185
0.185
0.6
æ
K
=
234
Выполняем проверку
ø
)
)
èöø
ø
000
KS× K× KA×- ATK- Q-
æèö
=
0
Левая часть уравнения Риккати равна нулю, следовательно, решение верно. Проверим устойчивость системы, описываемой уравнением вида
xt()e
A SK-( )t×
x0(
Найдем собственные числа
l eigenvals A S K×-(
:=
0.416-
æ
l
=
0.537-
Собственные числа главной матрицы системы - отрицательные
действительные значения, следовательно, система устойчива.
Решение уравнения
d
d
xt()
t
A SK×-( )xt()×
Может быть найдено как методом преобразования координат,
так и методом Лагранжа-Сильвестра. Выполним решение с помощью метода Лагранжа –Сильвестра:
100
æèö
E
:=
1
F t( ) exp l1t×
( )
A SK×- l2E×-
× exp l2t×
l1l2-
( )
A SK×- l1E×-
×+:=
l2l1-
xt() Ft()x0×:=
Оптимальное управление
ut() B1-- S× K× xt()×:=
Строим оптимальную траекторию движения системы и
оптимальное управление (рис. 6.9). Задаем аргумент
t 0 0.1, tk..:=
235
1.5
1
xt()
xt()
1
1
2
0.5
0 2 4 6 8 10
t
ut()
ut()
0.5
1
0 2 4 6 8 10
2
0.5-
1-
t
Рис. 6.9. Оптимальная траектории и оптимальное управление для
примера 5, полученные сведением исходной задачи к безусловной
оптимизации с последующим использованием уравнения Риккати
Решение задачи оптимального управления на основе
принципа максимума сведением к уравнению Риккати
Сведение решения уравнения Эйлера к матричному уравнению Риккати позволило вдвое понизить порядок решаемого
матричного уравнения. Аналогичный прием решения может
быть использован и при решении модифицированной системы
уравнений, составленной на основе принципа максимума в задаче оптимального управления.
Рассмотрим задачу поиска вектора оптимальных управлений u(t) и вектора оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия(6.23):
t
k
1
[ ]
J
ò
2
0
,
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
для системы, динамика которой описывается дифференциальным матричным уравнением (6.1)
)t(dx
dt
x)t(x,x)0(x),t(Bu)t(Ax
==+= ,
kk0
где R, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – векторы состояния объекта управления; A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров.
236
Как было показано ранее, оптимальное управление, дос-
2
тавляющее минимум критерию (6.23) в соответствии принципом
максимума, определяется из условия, максимума функции Гамильтона (6.30):
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений (6.31):
¶
H
dx
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
dt
dp
dt
¶
¶
¶
p
¶
H
-=
¶
x
H
u
+=
),t(Bu)t(Ax
T
--=
T
=+=
)t(pA)t(Qx
,
,0)t(pB)t(Ru
откуда оптимальное управление (6.32):
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Сопряженная система уравнений (6.34), полученная после
подстановки выражения для оптимального управления,
)t(dx
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
где S = BR
dt
dt
)t(dp
-1BT
опт
.
-=
),t(Sp)t(Ax
(6.52)
T
--=
),t(pA)t(Qx
Модифицированная система (6.52) может быть преобразо-
вана заменой переменных:
)t(Kx)t(p = , (6.53)
где K – постоянная симметричная матрица n x n. С учетом (6.53)
система (6.52) имеет вид:
)t(dx
ì
ï
ï
dt
í
ï
ï
î
)t(dx
K
dt
-=
),t(SKx)t(Ax
T
--=
).t(KxA)t(Qx
237
Подставляя
)t(dx
из первого уравнения полученной сис-
dt
темы во второе, получаем:
T
--=-
)t(KxA)t(Qx)t(KSKx)t(KAx
или
T
0)t(x)KAQKSKKA(
=++-
откуда получаем нелинейное матричное уравнение Риккати (6.50):
T
0QKAKAKSK
=--- .
Решение матричного уравнения Риккати может быть получено несколькими способами: численно, методом упорядочения расположения корней (методом Шура), методом разложения.
Численное решение уравнения Риккати подробно было
рассмотрено в предыдущем разделе настоящей главы. Как было
показано ранее, если размерность неизвестных компонент векторов x(t), p(t) составляет 2n, то размерность матричных элементов kij, подлежащих определению, составляет n x n.
Уравнение оптимальной траектории движения системы с
учетом (6.52) и (6.53) и найденной численным способом сим-
метрической матрицы K имеет вид (6.48):
)t(dx
опт
dt
-= .
)t(x)SKA(
опт
При расчете оптимальной траектории системы x(t) (6.48)
предварительно проводится исследование устойчивости системы. Для этого находятся собственные значения матрицы А–SK
из уравнения 0ESKAdet =l-- либо с помощью функции ei-
genvals(А–SK) вMathCad. Система устойчива, если действи-
тельные части собственных значений характеристической матрицы системы А–SK отрицательны.
Решение уравнения (6.48) может быть найдено с помощью
метода преобразования координат либо методом ЛагранжаСильвестра. Оптимальное управление получаем из (6.32).
238
Решение примера 5 в MathCad на основе принципа
2
2
2
максимума с последующим использованием уравнения Риккати. Управление, доставляющее минимум критерию в соответ-
ствии принципом максимума, определяется из условия максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений:
¶
H
dx
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
dt
dp
dt
¶
¶
¶
p
¶
H
-=
¶
x
H
u
+=
),t(Bu)t(Ax
T
--=
T
=+=
)t(pA)t(Qx
,
,0)t(pB)t(Ru
откуда оптимальное управление:
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Подставляя выражение для оптимального управления в
функцию Гамильтона получаем:
H +-=
1
1
))t(Qx),t(x(
,
))t(Ax),t(p())t(Sp),t(p(
Сопряженная система уравнений имеет вид:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
где S = BR
-1BT
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
),t(pA)t(Qx
и граничные условия – x(0) = x(0), p(¥) = 0.
Введем замену переменных:
)t(Kx)t(p = ,
где К – постоянная n x n матрица.
Тогда сопряженная система дифференциальных уравне-
ний сводится к квадратичному матричному уравнению Риккати:
T
0QKAKAKSK
=--- .
Решением уравнения Риккати является симметрическая
матрица К, размер которой n x n.
239
Зададим исходные данные
ø
10
èöø
èöø
èöø
èöø
èöø
ø
Q
0
0
0
0.5
0.9
0.1:=Given
0
0
0
0.2-
0.15
0.1
0.18-
æ
A
:= B
0.18
0.4
0.2-
0.23
æ
:= Q
0.600
æ
:= R
0.4
начальные условия
1.2
æèö
x0
:=
0.3
и конечное время
t
:=
k
Рассчитаем матрицу S:
0.214
S BR1-× BT×:=
æ
S
=
0.027
0.027
0.576
Представим матрицу К в виде:
vdd
Kvw, d,( )
æèö
:=
w
,
тогда левая часть уравнения Риккати имеет вид:
0.400
æ
:=
0.3
Fvw, d,( ) Kvw, d,( )S× Kvw, d,( )× Kvw, d,( )A×- ATKvw, d,( )-
-:=
Матрица F – симметрическая (F(v, w, d)12 = F(v, w, d)21),
каждый ее элемент должен быть равен нулю. Следовательно,
имеем три уравнения для расчета трех неизвестных:
Fvw, d,( )
Fvw, d,( )
Fvw, d,( )
11,
12,
22,
Рассчитаем неизвестные v, w, d одним из численных методов, реализованных в MathCad. Используем для вычислений
функцию Find. Предварительно задаем начальные приближения
значений v, w ,d. Затем записываем ключевое слово Given (дано), систему нелинейных уравнений и функцию Find:
w
:= v
Fvw, d,( )
Fvw, d,( )
Fvw, d,( )
:= d
11,
12,
22,
240
f Find v w, d,(
)
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
è
÷
ø
èöø
ç
è
÷
ø
)
èöø
:=
1.014
æ
ö
f
0.6
=
0.185
Составляем матрицу К из элементов полученного вектора f. Здесь f1 = v, f2 = w, f3 = d (по порядку перечисления аргументов функции Find):
f
f
æ
K
:= K
ö
1
3
f
f
3
2
1.014
0.185
0.185
0.6
æ
=
Проверяем равенство нулю левой части уравнения Риккати:
KS× K× KA×- ATK- Q-
=
æ
2.262 108-´
1.712 108-´
1.712 108-´
9.357 109-´
ö
Левая часть уравнения Риккати практически равна нулю
(элементы полученной матрицы малые числа), следовательно,
полученное решение верное.
Проверим устойчивость системы. Найдем собственные
значения матрицы A-SK:
0.416-
l eigenvals A S K×-(
:=
æ
l
=
0.537-
Собственные значения матрицы A-SK – отрицательные
действительные числа, следовательно, система устойчива.
Определим оптимальную траекторию движения системы
из уравнения:
d
xt()
d
t
A SK×-( ) xt()×
Решение этого уравнения может быть получено с помощью перехода к новым координатам или методом ЛагранжаСильвестра. Используем метод преобразования координат. Введем замену
yTx×
Тогда дифференциальное уравнение в новых координатах
имеет вид
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]