Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
61
d
(
)
(
)
0
0
)
)
1
)
(
)
ç
è
÷
ø
xn
d
d
xk
d
f xn xk, ( )
f xn xk, ( )
2 xn×®
2®
В силу полученных значений частных производных усло-
вия трансверсальности имеют вид:
2 xn× 2X't
2 2X't
×+ 0
n
×- 0
k
Или
2X0()× 2X'0()×+
2 2X'5()×-
В последних уравнениях
Xt()c1cost()× c2sint(
X't()tXt()
1
d
d
×+:= c
c2cost()× c1sint(
×-®:=t
Тогда
X0() c
®
X'5() c2cos5()× c1sin5(
X'0() c
®
2
×-®
С учетом найденных значений условия трансверсальности
имеют вид:
2c1× 2c2×+ 0
2 2c2cos5()× c1sin5()×-
×- 0
Упрощаем последнее уравнение
2c1× sin5()× 2c2× cos5()×- 2+ 0
И записываем систему уравнений в матричном виде для
поиска неизвестных С1 и С
2
æ
2sin5()22-cos5()
è
ö
ø
2
C
æ
ö
1
×
C
2
0
æèö
2-
ø
62
откуда
èöø
ø
èöø
)
t00.1, 5..:=
2-
æ
C
2sin5()2-2-cos5()
Строим график решения (рис. 2.10):
2
1
xt()
0
Xt()
123-
0 1 2 3 4 5
Рис. 2. 10. Экстремали задачи Эйлера x(t) и задачи Больца X(t)
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Найти экстремаль функционала и построить ее
график:
1
1)
()
( )
ò
0
1
2)
()
( )
ò
0
2
3)
()
( )
ò
0
2
4)
()
( )
ò
0
1-
0
æèö
×:= C
2-
×-:=
t
t2222
222
222
t222
() ()
1.481
æ
=
1.481-
() ()
() ()
() ()
==++-=
;02y;20x;dtet2xt8x4'xxJ
==+-+=
;41y;10x;dtt10xt2x4'xxJ
==-+-=
;22y;10y;dttsintxt2x9'xxJ
==-++=
;12x;00x;dttex2x4'xxJ
63
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5)
()
( )
ò
0
1
6)
()
( )
ò
0
1
7)
()
( )
ò
0
1
8)
()
( )
ò
0
1
9)
()
( )
ò
0
1
10)
()
( )
ò
0
Задание 2. Найти экстремали функционала, зависящего от
двух переменных, и построить их графики:
1
1)
()
ì
í
()
î
2)
ì
í
î
3)
ì
í
î
==;01x
()
( )
ò
0
;20x
ì
í
î
1
()
()
ò
;00x
==;21x
1
ò
0
;00x
()
==;21x
;00y
()
==;21y
( )
0
ì
í
()
==;01y
î
( )
ì
í
()
==;01y
î
222
2t22
t22
2t222
t222
;20y
;10y
() ()
() ()
() ()
() ()
t2t22
() ()
-
+--++=
2222
+--++=
2222
+-++-=
==-++=
() ()
t2222
;dtye2'x'yxyx4yy,xJ
;dtxt2'x'yxxy2yy,xJ
;dtty2'x'yxxy2yy,xJ
;11x;10x;dtttsinx2x9'xxJ
-==-+-=
;31x;10x;dttsint2xe6x4'xxJ
==+++=
;41x;10x;dttxe4x'xxJ
;31x;10x;dtt5xe8x4'xxJ
==+++=
;01x;10x;dtte4xex2'x2xJ
==+++=
;31x;40x;dttsin2xex2'x2xJ
==+++=
64
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
-
=
(
)
(
)
=
4)
()
ì
í
î
5)
()
ì
í
î
6)
() ( )
ì
í
î
7)
() ( )
ì
í
î
8)
() ( )
ì
í
î
9)
()
ì
í
î
()
()
()
()
()
==;02x
()
ò
0
=-=;13x
2
ò
0
=-=;12x
2
ò
0
=-=;12x
2
ò
0
=-=;22x
2
ò
0
;10x
2
ò
0
=-=;02x
( )
;20x
ì
í
()
î
+-+=
;10y
-==;13y
( )
;20x
ì
í
î
( )
;10x
ì
í
î
( )
;20x
()
( )
()
( )
;20x
()
()
2
()
2
2
=
=
;10y
-==;12y
;10y
-==;12y
;10y
;12y
-=
;10y
;12y
+-+=
;10y
;22y
t222
;dtxe5,0xy'x'y2y,xJ
t52222
+--++=
222
+-+-=
22
+--+=
22
+-+-=
;dtty4'x'yyxy,xJ
t22
;dtye2xy'y'x2y,xJ
;dtxe'x'xxyx4yy,xJ
;dtxt'x'yyxy,xJ
;dtxt4'x'yyxy,xJ
65
2
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
10)
()
ì
í
î
Задание 3. Найти экстремаль функционала, зависящего от
производных высших порядков, и построить ее график:
1)
2)
3)
4)
5)
( )
ò
0
()
=-=;02x
()
ì
í
î
()
x
ì
í
x
î
()
ì
í
î
()
ì
í
î
()
ì
í
î
;20x
1
( )
ò
0
;20x
()
==;10'x
1
( )
ò
0
()
==;10'
1
( )
ò
0
;20x
()
==;10'x
2
( )
ò
0
;20x
()
==;00'x
1
( )
ò
0
;00x
()
==;10'x
()
;20
ì
í
î
ì
í
î
ì
í
î
ì
í
î
=
ì
í
î
;10y
;02y
22
()
()
()
()
22
+-=
()
t222
++-=
;01x
-==;11'x
-==;11'
;01x
-==;11'x
222
-==;22'x
;11x
==;21'x
;dtxexy'y'x2y,xJ
-+-=
;dttx'xx'x2''xxJ
22
+++=
;''''3'' dtxtxxxxxJ
;01xx
t222
-+-=
++-=
;02x
;dtxex'x2''xxJ
;dttx2x'x2''xxJ
;dttx8'x''xxJ
66
6)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
7)
8)
9)
10)
()
ì
í
î
()
ì
í
î
()
ì
í
î
()
ì
í
î
()
ì
í
î
2
( )
ò
0
()
==;10'x
1
( )
ò
0
()
==;10'x
1
( )
ò
0
()
==;20'x
1
( )
ò
0
()
==;10'x
1
( )
ò
0
()
==;10'x
22
++-=
;40x
ì
í
î
;00x
ì
í
î
;40x
ì
í
î
;20x
ì
í
î
;20x
ì
í
î
()
()
+-=
()
()
22
+-=
()
;12x
-==;12'x
;11x
==;01'x
t22
;11x
-==;11'x
-+-=
;01x
-==;11'x
;01x
-==;11'x
;dttx2'xx2'x''xxJ
t22
++-=
;dtxe'x''xxJ
;dtxt2x''xxJ
-
;dtxe4'x''x'x4''xxJ
t22
;dtxe2'xx4'x''xxJ
Задание 4. Найти экстремаль функционала и построить
график и сравнить полученные решения, если:
1) граничные условия на правом конце не заданы,
2) правый конец движется по заданной линии.
1)
2
()
( )
ò
0
t
22
-++=
;10et
-=j
.
10x =
;dttsint2tx2x9'xxJ
67
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
2
()
( )
ò
0
1
()
( )
ò
0
t2
-=j
2
()
( )
ò
0
t
-=j
2
()
( )
ò
0
t
;5et
-=j
2
()
( )
ò
0
2
()
( )
ò
0
t
2
()
( )
ò
0
-=j
2
()
( )
ò
0
;e5tt-=j
+-=
2t
;4x2ex,t
-+=j
;e2t
;2e5.0t
--=j
++=
t5.0
;e5t
10x =
20x =
.
10x =
t2
-+=
2t
;x2,0e3x,t
222
;dt'xt'x'xxJ
-+=j
10x =
.
20x =
2t22
;dttsin2e'x4'xxJ
.
10x =
t222
-+-=
.
-++=
.
+++=
;5x5,0sin2ex,t
+-+=
.
;dtettsinx2x9'xxJ
222
;dtt5tcosxx2'x2xJ
t22
;dtte3tsintxx2'x2xJ
;dtt4sin2e'x'xxJ
.
20x =
.
10x =
222
++-=
;dttsint4tcosx8x4'xxJ
3t22
;dtt5t2sinxe4x4'xxJ
68
10)
(
)
(
)
2
()
( )
ò
0
t
;2e5.0t
-=j
222
+-+=
.
10x =
;dtt4tcosx8x4'xtJ
Задание 5. Найти экстремаль задачи Больца:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1
=
ò
=
ò
1
=
ò
p
=
ò
1
=
ò
1
=
ò
1
=
ò
p
=
1
=
ò
1
=
ò
2
¢
( ) ()
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
¢
( ) ()
2
¢
( )
( )
¢
( )
( )
¢
( )
( )
¢
( )
( )
¢
( )
( )
2
¢
( )
( )
ò
0
¢
( )
( )
¢
( )
( )
2
2
2
2
2
2
¢
+
2
¢
-
2
2
2
¢
-
22
22
-+
()
()
2
2
2
2t5
2
--+
)1(x20x4dt)t(x)x(J
,
+++
()
+++
22
22
p++-
22
()
)1(x5,3)1(x20xdt)t(x)x(J
,
)1(x20x2dt)t(x)t(x)x(J
)(x20xdt)t(x)t(x)x(J
,
()
()
,
)1(x50x2dt)t(x4)t(x)x(J
()
()
-++-
,
22
-++
-++
-++-
+++
)1(x50x2dt)t(x)t(x)t(x4)t(x)x(J
,
22
)1(x50x2dt)t(x)t(x)t(x4)t(x)x(J
,
p
22
)
(x30xdt)t(xtsin)t(x4)t(x)x(J
,
2
22
)1(x0xdt)t(xe)t(x4)t(x)x(J
,
22
)1(x0xdt)t(x)t(x)t(x2)t(x)x(J
ГЛАВА 3.
(
)
(
)
(
)
(
)
K
K
(
)
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ
Вариационная задача поиска условного экстремума
(Задача Лагранжа)
В главе 2 были рассмотрены вариационные задачи, в которых в качестве допустимых экстремалей принималась кривые,
проходящие либо через заданные граничные точки, либо через
точки заданных линий. Кроме указанных вариационных задач,
существуют задачи, в которых на допустимые экстремали накладываются помимо граничных условий дополнительные условия связи. Такие задачи называют задачами на условный экстремум. Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод множителей Лагранжа.
Постановка задачи на условный экстремум. Требуется
найти экстремали функционала:
t
к
( ) ( )
ò
t
н
KKK , (3.1)
n21n21n21
extrdt'x,,'x,'x,x,x,x,tFx,,x,xJ
®=
удовлетворяющие в общем случае 2n граничным условиям:
ì
í
î
=
()
=
=
=
;xtx
н2н2
к2к2
ì
L
í
;xtx
î
;xtx
ì
н1н1
í
()
;xtx
î
к1к1
=
()
=
;xtx
nннn
.xtx
nккn
(3.2)
при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями
связи:
.nm,m..1i,0'x,,'x,'x,x,x,x,t
<==j
n21n21i
(3.3)
Такая задача называется задачей Лагранжа. Ее геометрический смысл можно проиллюстрировать на примере задачи,
содержащей одно ограничение и функционал, зависящий от
двух переменных и их первых производных. Уравнение связи
0'x,'x,x,x,t
=j задает некоторую поверхность S в про-
2121
странстве. Граничные условия определяют точки D1и D
(рис. 3.1).
69
2
70
x
2
D
2
D
1
t
x
3
Рис. 3.1. Геометрическая интерпретация задачи Лагранжа
Функции x1 = x1(t), x2 = x2(t) задают пространственную
кривую j. Требуется найти среди всех непрерывно дифференцируемых кривых j, лежащих на заданной поверхности S, соединяющих точки D1и D2, такую, которая дает слабый локальный экстремум J(x1, x2).
Для решения задачи введем в рассмотрение функцию Лагранжа:
m
¢
=l
где
l (t)- произвольные функции – множители Лагранжа;
i
xxxxx KK= – вектор переменных,
¢
nj21
å
=
jl+
1i
¢
®
ii
max)x,x,t()x,x,t(F),x,x(L , (3.4)
¢
=
¢¢¢¢
xxxxx
KK -
nj21
вектор их производных.
Тогда задачу можно сформулировать как задачу поиска
безусловного экстремума функционала вида:
t
к
( ) ( )
ò
t
н
KKK
n21n21n21
. (3.5)
extrdt'x,,'x,'x,x,,x,x,tLx,,x,xI
®=
Экстремали функционала (3.5) x1(t), x2(t), …, xn(t), можно
найти из уравнений Эйлера-Лагранжа:
¶
L
ì
ï
¶
x
ï
í
¶
ï
ï
l¶
î
¶
L
d
¢
¶
x
dt
jj
¶
L
dL
l¢¶
dt
ii
[ ]
==
[ ]
==
,n,1j;0
(3.6)
.m,1i;0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]