Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
161
(
)
()
2
()(
)
(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
=-=.00x
,40x
ì
í
î
1
2
Начальная точка движения лежит на отрицательной полуоси x1, слева внизу от линии переключения. Следовательно, как
было показано выше, управление выбирается в соответствии со
следующей стратегией
Î
ì
=
u
í
î
Найдем неизвестную постоянную времени C
],t,0[t,1
п
Î-
].t,t[t,1
kп
из левого
3
граничного условия
С)4(10 +-×= , откуда C
3
Начальная фазовая траектория при u(t)= + 1 , ]t,0[t
3
=4.
Î
п
имеет вид
2
x
2
1
4x
+= .
При достижении линии переключения
мент времени
u(t)= - 1, и объект при ]t,t[t
t происходит переключение управления
п
Î движется по линии переклю-
kп
x21x ×-= в мо-
12
чения. Из условия сопряжения в момент времени переключения
t первоначальной траектории движения объекта с линией пе-
п
реключения найдем координаты точки переключения
tx4tx -=+ , откуда
п1п1
Из уравнения линии переключения находим значение
2221tx
п2
=-××-+= .
Зная координаты начальных точек первого ]t,0[t
второго ]t,t[t
Î интервалов движения
kп
ì
í
î
1
()
2
,40x
ì
í
=-=,00x
î
()
,2tx
п1
=-=,2tx
п2
2tx
-= .
п1
tx .
п2
Î и
п
найдем траектории объекта до и после переключения.
При ]t,0[t
Î u(t)=1, поведение объекта описывается сле-
п
дующей системой уравнений
162
dx
(
)
(
)
(
)
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
ï
dt
î
==.1
),t(x
2
Разделим переменные и поочередно проинтегрируем
уравнения, вначале второе, а затем, пользуясь полученным результатом, первое уравнение.
ì
í
î
ì
ï
í
ï
î
2
()
1
==,dtdx
tx
()
,dt)t(xdx
21
2
t
2
+=
++=
.Сttx
42
ì
í
î
54
,CtС
=
()
,dt)t(xdx
21
+=
ì
í
,Сttx
42
î
()
+=
,dtСtdx
41
+=
,Сttx
42
Неизвестные постоянные времени найдем из левого граничного условия
=-
=
,С4
5
С0
.4
ì
í
î
1
()
2
,40x
ì
=-=,00x
í
î
Получаем следующую траекторию движения на интервале
]t,0[tпÎ при u(t)=1
()
1
2
tx
()
2
t
,4
2
=-=.ttx
ì
ï
í
ï
î
Поскольку ранее были получены координаты точки переключения, из последнего уравнения полученной системы легко
найти время переключения
После переключения при u(t)= - 1, ]t,2t[t
пп2
2ttx
== .
=Î движе-
kп
ние объекта описывается в соответствии со следующей системой уравнений
dx
ì
1
ï
ï
dt
í
dx
2
ï
ï
dt
î
-==.1
),t(x
2
163
Оценим траектории выхода объекта и скорости его изме-
(
)
(
)
(
)
нения, разделив переменные и проинтегрировав поочередно
уравнения
ì
í
2
î
,dt)t(xdx
21
-==,dtdx
ì
í
î
=
()
,dt)t(xdx
21
+-=
ì
í
,Сttx
62
î
()
+-=
,dtСtdx
61
+-=
.Сttx
62
Получаем следующую траекторию движения на интервале
]t,t[
:
kп
ì
ï
í
ï
î
()
1
()
2
-
t
=
tx
2
+-=
++
,CtС
76
.Сttx
62
Неизвестные постоянные времени для второго интервала
движения ]t,2[
найдем, пользуясь координатами точки пере-
k
ключения
ì
í
î
1
()
2
ì
,22x
ï
2
í
=-=,22x
ï
î
2
-
2
=-
2
+-=
6
++
,С22
ì
,CС2
76
í
î
7
6
,8C
=-=.4С
Получаем следующую траекторию движения на интервале
]t,2[
:
k
ì
ï
í
ï
î
()
1
2
()
2
-
t
=
tx
2
-+
,8t4
+-=
.4ttx
Пользуясь правым граничным условием, из последнего
уравнения полученной системы найдем конечное время
04ttx
=+-= , 4tk= .
kk2
Таким образом, получили оптимальное управление, представляющее собой кусочно-постоянную функцию
Î
ì
=
u
í
опт
î
],2,0[t,1
Î-
],4,2[t,1
оптимальную траекторию движения объекта
164
2
4
2
ì
() ()
txtx
1опт
t
ï
ï
2
==
í
2
-
t
ï
ï
2
î
Î-
],2,0[t,4
Î-+
],4,2[t,8t4
и соответствующую ему скорость изменения выхода объекта
Î
¢
() ()
=
ì
¢
=
txtx
í
2опт
î
],2,0[t,t
Î+-
].4,2[t,4t
Графическое отображение решения примера 4 представлено в виде фрагмента MathCad на рис. 5.12:
t
:= t
k
:= t 0 0.01, tk..:=
n
ut() 1 tt
:=
xt()
x't() t tt
ut()
xt()
x't()
t
:=
- 4t×+ 8- other wise
:=
2
0 1 2 3 4
2-
4-
<if
n
1- otherwise
2
4- tt
2
2
t
2
t- 4+ otherwise
<if
<if
n
t
n
Рис. 5.12. Оптимальное управление, оптимальная траектория и скорость
движения для примера 4
165
Теорема о переключениях (теорема Фельдбаума)
K
=
-
n
x
y
£
£
V
(s)Y(s)
Теорема сформулирована для задачи о максимальном быстродействии линейной системы, описываемой выражением:
BuAx'x
+=
i
где
- матрицы постоянных коэффициентов.
B,A
В случае если сумма
,
n
y
b , n1j
å
=
1j
= нигде на интервале
jij
не равна нулю кроме изолированных точек и все корни характеристического уравнения 0|λEA|
действительны, то опти-
мальное управление линейной задачи о максимальном быстродействии имеет не более чем
более чем
)1n( -
точек переключения. Примем без доказатель-
-интервалов постоянства, или не
ства.
Если корни характеристического уравнения будут комплексными, то количество точек переключения будет больше,
однако оно всегда ограничено (исходя из зависимости между
и
).
Пример 5. Синтез оптимального управления. Для ра-
зомкнутой системы (рис. 5.13), состоящей из объекта, исполнительного механизма и преобразователя, определить оптимальное управление и оптимальную траекторию выходной координаты объекта, обеспечивающих максимальное быстродействие
при переводе объекта из заданного начального состояния в нулевое конечное при ограничении на управляющее воздействие:
, а=4, b=-12.
aub
Начальное состояние системы: у(0)=у0, у/(0)=у10,
//
у
(0)=у20, v(0)=v0, v/(0)=v10 и у0=2, у10=у20=v0=v10=0.
U(s)
)s(WimKpr × )s(Wo
Рис. 5. 13. Структурная схема системы управления
166
Передаточные функции объекта и исполнительного механизма:
Kim
Ko
.
)1s11T)(1s22T)(1s33T(
+×+×+×
.
)1sim2T)(1sim1T(
+×+×
)s(Wo
=
)s(W im
=
Преобразователь является пропорциональным звеном с
коэффициентом передачи Кpr. Значения параметров передаточных функций:
Ko= -1,4; T11=180; T22=27; T33=0,18;
Kim=0,123; T1im=1; T2im=2; Kpr=1,6.
Алгоритм определения оптимального управления
1. Записываем систему уравнений, описывающих объект с
исполнительным механизмом и преобразователем в форме
Коши.
2. Составляем функцию Гамильтона.
3. Проводим анализ зависимости функции Гамильтона от
управляющего воздействия. Если зависимость линейная и
управляющее воздействие ограничено, на основании принципа
максимума Понтрягина и теоремы о переключениях (для задачи
максимального быстродействия) записываем кусочнопостоянную функцию для управления.
4. В зависимости от знаков коэффициентов передачи
звеньев, начального и конечного значений управляемой координаты выбираем начальное значение управления.
5. Записываем решения системы дифференциальных
уравнений объекта и исполнительного механизма для управляемой координаты по интервалам постоянства управления.
6. Для первого участка определяем константы интегрирования.
7. Записываем уравнения стыковки (совпадения) решений
и всех производных, исключая старшую, на границах участков.
Записываем уравнения для конечной точки tk.
167
8. Решая полученную систему алгебраических уравнений,
-
×y+-
×
находим неизвестные константы интегрирования, точки переключения управления и конечную точку.
9. Строим графики для выходной координаты и
управления.
Реализация алгоритма. Записываем систему уравнений в
форме Коши, обозначив через u управляющее воздействие, поступающее на вход преобразователя, через хi - промежуточные
координаты, у = х5 - выход объекта. Объект, совместно с исполнительным механизмом и преобразователем, можно представить в виде последовательного соединения пяти апериодических звеньев первого порядка и система уравнений может быть
записана как система для этих пяти апериодических звеньев:
11T ×=+×
22T =+×
33T =+×
d
1Tim ×=+×
dt
d
2Tim ×=+×
dt
d
dt
d
dt
d
dt
или
uKpr1x1x
,
1xKim2x2x
,
2xKo3x3x
,
3x4x4x
,
4x5x5x
d -×
1x
=
dt
d -×
2x
=
dt
d -×
3x
=
dt
d -
4x
=
dt
d -
5x
=
dt
1xuKpr
,
1Tim
2x1xKim
,
2Tim
3x2xKo
,
11T
4x3x
,
22T
5x4x
.
33T
Функция Гамильтона для этой системы запишется как
1xuKpr
1H
y=
2
1Tim
3x2xKo
3
y+
-×
4
y+
11T
4x3x
-
22T
2x1xKim
+
2Tim
5x4x
-
5
y+
.
33T
В соответствии с принципом максимума Понтрягина оптимальное управление должно обеспечивать максимум функции
Гамильтона в каждый момент времени явном виде, т.е.
>×y
ì
=
u
í
î
,0Kpr1если,a
<×y
.0Kpr1если,b
Как видно, управление является кусочно-постоянной
функцией времени. Количество интервалов постоянства в соот-
168
ветствии с теоремой о переключениях, при всех действительных
=+×+×+×+×+×
22
T
11
T
im1T
im2T
-
=
-
=
-
=
-
=
+××+××+××
=
корнях характеристического уравнения системы, состоящей из
апериодических звеньев, равно порядку уравнения, т.е пяти.
Количество переключений управления равно четырем.
Дифференциальное и характеристическое уравнения для
выходной координаты объекта записывается по приведенным
исходным данным:
)s(KprU)s(Wim)s(Wo)s(Y =
,
)s(Y
= .
Ko
)1s11T)(1s22T)(1s33T(
KimKpr
)s(U
)1sim2T)(1sim1T(
+×+×+×+×+×
Выполняя обратное преобразование Лапласа, получаем
дифференциальное уравнение пятого порядка для у. Характеристическое уравнение получаем, приравняв нулю знаменатель
передаточной функции и считая s некоторой комплексной переменной:
0)1sim2T)(1sim1T)(1s11T)(1s22T)(1s33T(
.
Корни уравнения, рассчитанные в MathCad,
1
:1s-=
33T
556.51s
1
:2s-=
037.02s
1
:3s-=
10556.53s
´-= 14s
1
:4s-=
3
-
:5s-=
1
5.05s
Поскольку все корни характеристического уравнения действительные и разные, решение его при постоянном управляющем воздействии u можно записать как
210
43
×××+××+××+
)t3sexp(C)t2sexp(C)t1sexp(C:)u,C,t(y
.uKprKimKo)t5sexp(C)t4sexp(C
Первая и последующие производные при постоянном
входном воздействии равны
n
0
n
2
n
3
n
1
)t2sexp(2sC)t1sexp(1sC:)n,C,t(dy
+×××+×××=
n
4
),t5sexp(5sC)t4sexp(4sC)t3sexp(3sC
×××+×××+×××+
где n - порядок производной.
Таким образом, для построения управления и траектории
необходимо найти четыре временных точки переключения, значение времени перевода объекта из начального в конечное со-
169
стояние, значения пяти постоянных интегрирования С для пяти
T
,
y0
0
0
,3,
0
0
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
интервалов постоянства управления. Итого, необходимо найти
30 неизвестных величин, составив и решив систему из 30 нели-
нейных алгебраических уравнений. Эту задачу возможно решить только численным методом, задав достаточно близко начальное приближение неизвестным величинам. Чтобы это выполнить, приближенные значения будем задавать и уточнять
последовательно, по участкам.
Так как общий коэффициент усиления объекта и исполнительного механизма отрицательный, а для перехода из начального в конечное состояние следует уменьшить координату у,
примем в начальный момент управление положительным и равным а.
1. Запишем выражение для выхода объекта при управле-
нии u=a для первого участка постоянства управления:
Константы интегрирования определяются из начальных
условий. Для их нахождения воспользуемся блоком Given, задав
предварительно начальные значения:
C1 10121( )
:=
Given
y 0 C1,a
( )
dy 0 C1, 1,( )
dy 0 C1, 2,( )
dy 0 C1
( )
dy 0 C1, 4,( )
C1 Find C1():=
C1
ç
=
ç
ç
1.758 10
´
129.969-
158.835
4.735-
88.075
3-
÷
÷
÷
170
Получили уточненные значения констант для первого
Given
,2,
,2,
,3,
,3,
участка. График функции у для этого участка при u=а представ-
лен на рис. 5.14.
Задавая последовательно точки переключения в пределах
положительных значений у, определим начальные приближения
констант интегрирования по участкам постоянства управления.
2
y t C1, a,( )
Рис. 5.14. Оптимальная траектория движения на первом интервале
1
0
0 50 100 150 200
t
2. Для второго участка
t1 200:=
u:=b
В качестве начального приближения для С2 возьмем С1 и
определим константы для второго участка и точки переключения t1=200, выбранной приближенно по графику. Условием
расчета констант является совпадение в точке переключения
функции у и четырех ее производных, рассчитанных для первого и второго участков. Отсчет времени на втором участке начинаем с нуля, что позволит уменьшить значение переменной в
показателях экспоненты, и, тем самым упростить решение системы нелинейных уравнений процедурой Find:
C2C1:=
y 0 C2, b,( ) y t1 C1, a,( ) dy 0 C2, 1,( ) dy t1 C1, 1,( )
dy 0 C2
( ) dy t1 C1
( ) dy 0 C2
( ) dy t1 C1
( )
dy 0 C2, 4,( ) dy t1 C1, 4,( )
C2 Find C2():=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]