Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
221
Модифицированную сопряженную систему уравнений, за-
пишем в матричном виде
)t(dz
dt
)t(Uz
= . (6.36)
Решение системы дифференциальных уравнений (6.36)
может быть найдено аналитически одним из рассмотренных ранее способов (преобразования координат или ЛагранжаСильвестра). Решение имеет вид:
)0(z)t(Ф)t(z = , (6.37)
где Ф(t) – фундаментальная матрица системы; z(0) – вектор начальных условий, первые два элемента которых даны по условию задачи х
(0) = 0, х2(0) = 0, а третий и четвертый неизвестны
1
p1(0), p2(0):
ffff
)t()t()t()t(
æ
ç
ç
=
)t(Ф
ç
ç
ç
è
ö
14131211
÷
ffff
)t()t()t()t(
÷
24232221
.
÷
ffff
)t()t()t()t(
34333231
÷
÷
ffff
)t()t()t()t(
44434241
ø
Решени е (3.10) перепишем в виде:
ffff
)t(x
æ
ö
æ
1
ç
ç
ç
1
ç
ç
2
è
ç
÷
)t(x
ç
÷
2
=
ç
÷
)t(p
ç
÷
ç
÷
)t(p
è
ø
)t()t()t()t(
14131211
ffff
)t()t()t()t(
24232221
ffff
)t()t()t()t(
34333231
ffff
)t()t()t()t(
44434241
)0(x
ö
æ
ö
1
÷
÷
÷
÷
÷
ø
÷
ç
)0(x
÷
ç
2
. (6.38)
÷
ç
)0(p
1
÷
ç
÷
ç
)0(p
2
ø
è
Известно, что в конечный момент времени x(tk) = xk. Найдем начальные условия для функции p(t): p1(0) и p2(0). Для этого
представим решение (6.38) в блочном виде:
)0(x
)t(x
æ
ö
æ
ç
ç
è
ç
÷
=
ç
÷
)t(p
ø
è
)t(G)t(G
1211
)t(G)t(G
2221
ö
æ
ö
÷
÷
ç
, (6.39)
÷
ç
÷
)0(p
ø
è
ø
где
11
21
)t()t(
ff
æ
ç
)t(G
=
ç
è
æ
ç
)t(G
=
ç
è
ö
1211
÷
÷
)t()t(
ff
2221
ø
)t()t(
ff
ö
3231
÷
÷
)t()t(
ff
4241
ø
12
22
æ
ç
)t(G,
=
ç
è
æ
ç
)t(G,
=
ç
è
)t()t(
ff
ö
1413
÷
,
÷
)t()t(
ff
2423
ø
)t()t(
ff
ö
3433
÷
.
÷
)t()t(
ff
4443
ø
222
Тогда из (6.39) вытекает
(
)
2
ì
í
î
+=
1211
+=
2221
),0(p)t(G)0(x)t(G)t(x
).0(p)t(G)0(x)t(G)t(p
(6.40)
Подставим граничное значение в первое уравнение системы (6.40) и выразим неизвестное р(0):
)0(p)t(G)0(x)t(Gx)t(x
k12k11kk
,откуда
k11
)0(x)t(G)t(Gx)t(G)0(p
Домножаем слева на Ф
1
k12
-= . (6.41)
+== .
-1
)
12(tk
1
--
k12k
С учетом (6.41) система (6.40) приводится к виду:
--
ì
ï
í
ï
î
( )
1
k121211
--=
1
k122221
--=
1
k12k
--
1
k12k
,)0(x)t(G)t(Gx)t(G)t(G)0(x)t(G)t(x
k11
k11
(6.42)
.)0(x)t(G)t(Gx)t(G)t(G)0(x)t(G)t(p
Оптимальное управление может быть найдено из (6.32).
Решение примера 5 в MathCad основе принципа мак-
симума. Для системы, динамика которой описывается диффе-
ренциальным матричным уравнением
)t(dx
dt
,x)0(x),t(Bu)t(Ax
=+=
необходимо найти вектор оптимальных управлений u(t) и вектор
оптимальных траекторий x(t), из условия минимума среднеквадратичного критерия:
¥
1
[ ]
J ,
ò
2
0
®+=
mindt))t(Ru),t(u()t(Qx),t(x(
где R – положительно-, Q – неотрицательно определенные симметричные матрицы; x(t), u(t) – n-векторы состояния объекта
управления (n = 2); A – характеристическая матрица; B – матрица управлений соответствующих размеров.
Управление, доставляющее минимум критерию в соответствии принципом максимума, определяется из условия, максимума функции Гамильтона:
H +++=
1
))t(Bu)t(Ax),t(p())t(Ru),t(u)t(Qx),t(x(
и вытекающей из нее сопряженной системы уравнений:
223
¶
2
2
ø
èöø
èöø
èöø
èöø
H
dx
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
dt
dp
dt
¶
¶
¶
p
¶
H
-=
¶
x
H
u
+=
),t(Bu)t(Ax
T
--=
T
=+=
)t(pA)t(Qx
,
,0)t(pB)t(Ru
откуда оптимальное управление:
опт
-
-= .
)t(pBR)t(u
T1
Подставляя выражение для оптимального управления в
функцию Гамильтона получаем:
H +-=
1
1
))t(Qx),t(x(
.
))t(Ax),t(p())t(Sp),t(p(
Сопряженная система уравнений имеет вид:
dx
ì
ï
ï
dt
í
dp
ï
ï
dt
î
-=
),t(Sp)t(Ax
T
--=
),t(pA)t(Qx
где S = BR-1BT и граничные условия – x(0) = x(0), x(tk) = 0.
Введем замену переменных х
= z1, х2 = z2, p1 = z3, p2 = z4,
1
тогда сопряженная система уравнений имеет вид:
dz
ö
æ
1
÷
ç
dt
÷
ç
dz
÷
ç
2
æ
÷
ç
dt
ç
=
÷
ç
dz
ç
ç
dz
ç
ç
è
ç
3
÷
dt
÷
÷
4
÷
dt
ø
--
è
z
æ
ö
æ
1
ç
÷
ç
z
SA
-
ö
÷
T
÷
AQ
ø
ç
÷
ç
2
=
ç
÷
ç
z
3
ç
÷
ç
ç
÷
ç
z
4
è
ø
è
ssaa
--
12111211
ssaa
--
22212221
aaqq
----
21111211
aaqq
----
22122221
Зададим исходные данные
0.2-
0.15
0.1
0.18-
æ
A
:= B
0.18
0.4
0.2-
0.23
æ
:= Q
0.600
æ
:= R
0.4
0.400
æ
:=
начальные условия
1.2
æèö
x0
:=
0.3
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
0.3
z
ö
1
÷
z
÷
2
.
÷
z
3
÷
÷
z
4
ø
224
и конечное время
10
(
),(
)
ç
è
÷
ø
)
èöø
t
:=
k
Рассчитаем матрицу S:
0.214
S BR1-× BT×:= S
æ
=
0.027
0.027
0.576
Сформируем матрицу модифицированной сопряженной
системы уравнения с помощью функций слияния матриц stack –
слияние строк и augment – слияние столбцов:
U stack augment A S-,( ) augment Q- AT-,
:=
0.2-
0.1
æ
0.15
ç
U
=
ç
0.60
0.214-
0.18-
0.027-
0
0.2
0.4-
0.027-
ö
0.576-
÷
÷
0.15-
0.1-
0.18
Модифицированная сопряженная система уравнений в
матричном виде:
d
zt()
Uzt(
t
d
Решение полученного матричного дифференциального
уравнения может быть получено методом преобразования коор динат либо с применением теоремы Лагранжа Сильвестра.
Способ 1. Решение с помощью преобразования коор-
динат. Модифицированную сопряженную систему уравнений
подвергнем линейным преобразованиям
y(t) = Тz(t),
где Т – неособая матрица перехода к новой системе координат y.
Тогда модифицированная сопряженная система уравнений
)t(dy
T = .
dt
Последнее выражение умножим на Т
TT
dt
)t(UTy
)t(dy
11 --
= .
-1
слева:
)t(UTyT
Обозначим
-
1
L=
UTT
,
225
где L – диагональная матрица собственных значений матри-
T
1
)
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
цы U. Элементы матрицы L – собственные значения матрицы U.
В MathCad для расчета собственных значений матрицы используется функция eig enva ls(U). Для поиска Т используется функция расчета нормализованной матрицы (составленной из собственных векторов матрицы-аргумента) в MathCad – eigenvecs(U) .
Окончательно приходим к уравнению
)t(dy
dt
)t(y
L= ,
решение которого имеет вид:
)0(ye)t(ytL= .
Тогда искомая функция z(t) определяется:
t1t11 L-L--
=== ,
где eLt – диагональная матрица, произведение TeT
)0(TzeT)0(yeT)t(yT)t(z
t1 L-
= Ф(t) –
фундаментальная матрица системы, z(0) – вектор начальных условий. Решение полученного матричного дифференциального
уравнения, полученное методом преобразования координат:
zt() Ft() z0()×
,
где
F t()T1-expL t()×
×:=
.
Находим собственные значения и собственные вектора
матрицы U.
0.242
0.202-
0.452-
0.775
-
0.395
0.748
0.33-
0.024
0.375
0.107
0.854
0.616
ö
÷
÷
T eigenvecs U()
:=
0.929
æ
0.778-
ç
T
= l
ç
0.176
0.303-
l eigenvals U(
:=
0.416-
æ
0.416
ç
=
ç
0.537
0.537-
ö
÷
÷
226
Формируем eLt:
ç
è
÷
ø
T
ç
÷
)
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
l1t
æ
expL t()
e
ç
ç
:=
ç
ç
0
0
0
l2t
e
0
0
0
e
0
0
l3t
0
Определим матрицу Ф(t):
e
0
0
0
l4t
ö
÷
÷
÷
÷
F t()T1-expL t()×
×:=
Способ 2. Решение модифицированной сопряженной
системы уравнений с помощью теоремы ЛагранжаСильвестра:
Ut
==
)0(z)t(Ф)0(ze)t(z
,
где Ф(t) – фундаментальная матрица системы, рассчитываемая
по формуле:
F t()
4
å
i
=
1
4
Õ
j
=
A ljE×-
æ
lilj-
è
1
ö
ø
j¹i
lit×
e
×
где Е – единичная диагональная матрица, l – собственные значения матрицы U.
Найдем собственные значения матрицы U:
0.416-
l eigenvals U(
:=
æ
ç
l
=
ç
0.416
0.537
0.537-
ö
÷
÷
запишем единичную диагональную матрицу:
1
0
0
æ
0
ç
E
:=
ç
0
0
0
ö
1
0
0
÷
÷
0
1
0
0
0
1
227
Рассчитаем фундаментальную матрицу:
ç
ç
è
÷
÷
ø
ç
÷
ç
ç
è
÷
÷
ø
ø
èöø
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
ç
è
÷
ø
(
)
xtk
èöø
l1t×
F t()e
l3t×
e
Ul2E×-
×
l1l
Ul1E×-
×
-
2
l3l
-
1
Ul3E×-
×
l1l
Ul2E×-
×
l3l
Ul4E×-
× e
-
l1l
3
× e
-
2
-
4
Ul4E×-
l3l
-
4
l2t×
l4t×
Ul1E×-
×
l2l
Ul1E×-
×
-
1
l4l
-
1
Ul3E×-
×
×
l2l3-
Ul2E×-
l4l
-
×+
2
Ul4E×-
l2l
-
Ul3E×-
×++
l4l
-
4
3
Независимо от того, каким способом было найдено значение фундаментальной матрицы, записываем решение модифицированной системы уравнений:
æ
ç
ç
ç
xt()
xt()
pt()
pt()
ö
1
2
Ft()
æ
÷
Ft()
ç
÷
ç
Ft()
1
÷
ç
Ft()
è
2
11,
21,
31,
41,
Ft()
Ft()
Ft()
Ft()
12,
22,
32,
42,
Ft()
Ft()
Ft()
Ft()
13,
23,
33,
43,
Ft()
Ft()
Ft()
Ft()
14,
24,
34,
44,
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
x0()
x0()
p0()
p0()
1
2
1
2
ö
÷
÷
÷
Выделим из матрицы Ф(t) блоки, размером 2х2, из вектора
z – 2х1:
xt()
æèö
pt()
æ
G11
G21
G12
G22
x0()
æèö
×
p0()
здесь
Ft()
æ
G11t()
:= G12t()
F t()
Ft()
æ
G21t()
:= G22t()
F t()
11,
21,
31,
41,
F t()
F t()
F t()
F t()
12,
22,
32,
42,
ö
ö
Ft()
æ
:=
F t()
Ft()
æ
:=
F t()
13,
23,
33,
43,
F t()
F t()
F t()
F t()
14,
24,
34,
44,
ö
ö
Находим недостающее начальное условие
p0 G12 tk()1-G11 tk()× x0
- G12 tk()
0.494-
æ
p0
=
0.14-
1-
×+:=
тогда решение имеет вид:
xt( ) G11t()x0× G12t()p0×+:=
pt( ) G21t()x0× G22t()p0×+:=
Оптимальное управление определяется выражением:
...:=
ut() R1-- BT× pt()×:=
228
Задаем интервал времени и строим графики
+
=
&
10
10
t 0 0.1, tk..:=
полученных функций (рис. (6.8):
xt()
xt()
1
2
1.5
1
0.5
0.54
ut()
ut()
0.974-
0 5
t
1
1
0 5 10
2
1
pt()
pt()
2
1
1
2
0 5
1
t
100 t
Рис. 6.8. Оптимальное управление и оптимальные траектории для
примера 5, полученные с помощью принципа максимума
Решение задачи безусловной оптимизации сведением
к уравнению Риккати
Постановка задачи. Найти оптимальную траекторию и оптимальное управление, обеспечивающее перевод многомерного
линейного объекта, математическая модель которого задана
дифференциальным матричным уравнением (6.1) и удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости
),t(Bu)t(Ax)t(x
из состояния
x)0(x = в состояние
0
x)t(x = в соответствии с
kk
критерием оптимальности (6.23) в виде взвешенной суммы
229
квадратов отклонений векторов состояния и управления от но-
nn´
-
R
-
Q
nn´
nn´
(
)
2
&
&
&
минального значения:
¥
1
( )
I ,
ò
2
0
+=
dt))t(Ru),t(u(())t(Qx),t(x((
где )t(x -n-вектор состояния объекта, представляющий собою
отклонение текущего значения компонент состояния относи-
тельно номинального значения и доступный наблюдению;A матрица системы;B - матрица состава измерений имеют размерность
и являются невырожденными; n)t(u
-вектор
управления; векторы )t(x и )t(u принадлежат вещественному
пространству
ленная
деленная
n
;
симметрическая неотрицательно опреде-
матрица;R- симметрическая положительно опре-
матрица. Выражение )t(Qx)t(x))t(Qx),t(x(
T
= яв-
ляется скалярным произведением; )t(x и )t(xT- соответственно
вектор-столбец и вектор-строка.
Одним из методов получения решения задачи, заключающегося в получении закона управления )(tu , доставляющего
минимум функционалу (6.23) при ограничении (6.1), является
приведение исходной задачи к задаче безусловной оптимизации.
Решение такой задачи было рассмотрено выше в этой главе. В
задаче с ограничением из уравнения ограничения (6.1) выражается значение управления )(tu и подставляется в критерий
(6.23). Полученное подынтегральное выражение критерия с уче-
том обозначения
1
F
T1
BBRS-= (6.26)
1ТТ1Т1ТТ
---
&&&
-++=
xSAx2xSxx)ASAQ(x
соответствует задаче безусловной оптимизации, которая может
быть решена с помощью уравнения Эйлера:
¶
x
¶
æ
=
ç
dt
è
d
)x,x(F
)x,x(F
¶
ö
.
÷
&
x
¶
ø
Дифференцируя подынтегральное выражение (6.26) по
)t(x и )t(x
и подставляя в уравнение Эйлера, получаем диффе-
230
ренциальное уравнение для определения оптимальной траекто-
&
()(
)
()(
)
(
)
()(
)
[
]
()(
)
&
()(
)
K
рии:
&&&
Умножая скалярно левую и правую части (6.43) на )t(x
учитывая, что для симметрических матриц выполняются соот-
ношения:
1
)t(xS),t(x
= ,
dtd2
&
а для кососимметрической матрицы:
1T1
--
получаем:
d
dt
Выражение в квадратных скобках определяет функцию,
сохраняющуюся на оптимальной траектории (интеграл движения). Полагая, без ограничения общности, постоянную интегрирования равной нулю, получаем:
Для приведения этого выражения к квадратичной форме
относительно переменной )t(x достаточно положить:
Здесь симметрическая матрицаK неизвестна и подлежит
определению. Подстановка в (6.47) приводит к выражению:
Поскольку )t(x непрерывная функция не равная нулю на
оптимальной траектории, то из (6.49) следует матричное алгеб-
раическое уравнение для определения
Полученное выражение (6.50) - известное нелинейное
матричное уравнение Риккати. Решением этого нелинейного
матричного уравнения является симметрическая матрица К,
&&
&&
)t(x)SKA()t(x -=
T
T
--
1
)t(x)ASAQ(),t(x
=-
+-
. (6.48)
. (6.50)
0KSKQKAKA
=-++
++-=
11
&&&&&
)t(xS),t(x
dtd2
0)t(x)SAAS(),t(x
, (6.45)
1T1
--
1T1 --
=-++ . (6.49)
1T1T11 ----
).t(x)ASAQ()t(x)SAAS()t(xS
1T1T --
+=+
0)t(x)ASAQ(),t(x)t(xS),t(x
=+-
)t(x)ASAQ(),t(x)t(xS),t(x
=0. (6.47)
0)t(xKSKQKAKA),t(x
:
)t(x)ASAQ(),t(x
, (6.44)
(6.43)
и
(6.46)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]