Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

51

Для преобразования выражения (2.21) воспользуемся гео-

(

)

d

=

j

atga

=x¢

+

d

M

N

d

()(

)

метрической интерпретацией связи между (рис. 2.8). Из рис. 2.8 видно, что величина

d

ttx=

к

связана с dx

соотношением

¢

ttxxtgtxMNxx

d

tt

=

к

-d=a×d-d=-d=d

и dx

ttx=

к

. (2.22)

кккккк

к

x(t)

Учитывая, что

x(t)

Рис. 2.8. Связь между

(tк)

ttx j= ,

x dj¢=d

кк

t

к

d

=d

к

ttx=

к

j

dt

d

и dx

к

t

к

)t(d

к

x

(t)

x

к

ttx=

к

tк +dt

к

()

ttt

, за-

ккк

пишем необходимое условие экстремума (2.21) в следующем виде:

¶

F

=d

J

¢

¶

x

¶

F

( )( )

=

¶

x

¶

=

¶

x

-d

¢

F

¢

( )( )

¢

+d

=

tt

к

¢

( )

+d

¢

-dj

¢

+d

=d

tx,x,tFx

кккк

=d

tx,x,tFtxx

кккккк

¢

=d

tx,x,tFt)t(xt)t(

кккккккк

52

æ

(

)

ç

( ) ( )

=

ç è

¶

¢

x,x,tF

+

ккк

¶

F

¢

x

ö ÷

¢-j¢

÷

tt

=

к

ø

.0tx

=d

к

В силу произвольности dtк (dtк¹ 0), полученное выражение равно нулю, если первый множитель равен нулю, т.е.:

¶

к

xxtF

¢

кк

+

¶

x

( ) () ()( )

F

¢

=ккtt

¢

к

¢

-j

0,,

=

txt

. (2.23)

Таким образом, выражение (2.23) является четвертым недостающим уравнением для поиска четырех неизвестных (C1,C tк, xк). Оно называется условием трансверсальности.

Физический смысл условия трансверсальности заключается в следующем. Если двигать точку Mк(tк, xк) вдоль линии y=j(t), и по начальной и конечной точкам строить экстремали, то из всех экстремалей доставлять экстремум функционалу будет та, которая удовлетворяет условию трансверсальности

(2.23).

Таким образом, для решения вариационной задачи с подвижным правым концом нужно решить дифференциальное уравнение Эйлера, а затем найти произвольные постоянные C1, C2 и координаты точки Mк(tк,xк) путем решения системы четырех нелинейных уравнений

=

ì ï

( )

ï

j=

í ï ï

=

tt

к

ï

î

()

кк

+

;xC,C,tx

н21н

=

;xC,C,tx

к21к

;tx

¢

() ()( )

-j

txtF

кк

¶

F

¶

x

¢

=

tt

к

=

(2.24)

.0

2

Пример 6. Найти функцию, обеспечивающую экстремум функционала

x

k

2

()( )

[ ]

-=

ò

0

¢

2

dt)t(xtx)x(J

,

при заданном граничном условии на левом конце, аналогично примерам 1 и 5,

53

1)0(x = ,

(

)

()()(

)

(

)

()()(

)

()()(

)

()()(

)

()(

)

()()()()()(

)

()()()(

)

если правый конец движется вдоль кривой

2 kk

+--=f .

k

23t2t)t(

Решение. Для поиска экстремали задачи запишем уравнение Эйлера, обозначив подынтегральное выражение функцио-

нала как функцию

F

d

F

¶

x

¶

æ

-

ç

dt

¶

è

ö

0

=

.

÷

'x

ø

22'

t'xtxx,xF -= :

Уравнение Эйлера было сформировано в примере 1:

0t''x2)t(x2 =+ ,

а затем там же было получено его решение:

+= .

tsinCtcosСtx

21

Константы C1, C2 и координаты конечной точки tк, xк находим из:

1) граничного условия на левом конце: 1)0(x = ,

10sinC0cosС0x

21

=+= ;

2) условия прохождения экстремали через неизвестную конечную точку (tк,xк): x(tk)=x

xtsinCtcosСtx =+= ;

кк2к1к

k

3) условия принадлежности конечной точки (tк,xк) линии ограничения: xк=j(tк),

2 kk

+--= ;

k

23t2tx

4) условия трансверсальности

F

¶

¢

() ()( )

()

t'x2

txtF

-j

кк

¢

x

¶

2

¢

)t(xtxF

-=

,

кк

, было найдено ранее в примере 1, тогда усло-

tt

=

к

0

=

,

где

¶

=

F

'x

tt

+

к

-=

¢

2

вие трансверсальности имеет вид:

2

¢

кк

2

кк

¢

j¢-

-j

¢

кк

¢¢

0txtx(t2)t(xtx

=

ккк

0tx(t2)t(xtx

=

или

2

- ,

2

¢

+ .

54

Таким образом, получаем нелинейную систему из четырех

()(

)

()(

)

()()()(

)

1

(

)

(

)

(

)

k

(

)

(

)

0

1

(

)

(

)

k

уравнений:

10sinC0cosС

21

2 kk

2

Ее решение получим численно в MathCad. Решение примера 6 в MathC ad. Ранее в примере 1 бы-

¢

+ ,

кк

=+ , откуда 1C1= ;

xtsinCtcosС =+ ;

23t2tx

+--= ;

k

2

j¢-

кк2к1

¢

0tx(t2)t(xtx

=

кк

ло получено решение дифференциального уравнения Эйлера в виде:

Xt()c1cost()× c2sint(

Уравнение кривой, ограничивающей правый конец экс-

тремали по условию:

f t

Для определения значений C1, C2,tк, xк запишем систему

из четырех уравнений.

Граничное условие на левом конце:

X0()1 c

Граничное условие на правом конце:

Xt

Условия сопряжения экстремали с ограничивающей кри-

вой:

Xt

Условие трансверсальности:

FtkX, X',

( )

Полученная система уравнений:

c

1

c1cost

t

- 2tk- 23+ x

1

2

t

- 2tk- 23+:=

()

k

:=

× c2sint

2

k

® c

1

c1cost

× c2sint

f t

k

f't

( )

k

×+:= c

k

()

k

×+ x

x't

-

()

k

1

k

d

×+

d

:=

FtkX, X',

( )

x'

55

2

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ê

ë

ú

û

0

ç

è

÷

ø

0

)

3

1

(

)

(

)

k

(

)

d

Xt

()

вие трансверсальности

для удобства отображения на две строки, но в MathCad записывается в одну строку)

численное решение системы из трех уравнений с тремя неизвестными C2, tк, xк. Зададим начальные приближения для неизвестных и воспользуемся функцией Find().

æ

- f't

k

t

d

k

Упрощая последнее уравнение, получаем:

2

Xt

()

k

Найдем отдельно значения слагаемых, входящих в усло-

d

Xt

()

k

t

d

k

d

ft

()

k

t

d

k

Подставляем полученные выражения в условие (разбито

2

x

+ -

( )

k

2 2tk×- 2-

× c2cost

( )

Поскольку C1 уже найдено из первого уравнения, найдем

c22:= t

2

ö

æ

Xt

()

k

d

æ

+ 2f't

d

c2cost

× c1sint

é

+

2

ö

Xt

()

k

t

k

c2cost

× c1sint

()

2tk×- 2-®

()

k

×- 0

( )

:= x

k

d

-

()

k

t

d

k

×

()

k

×-®

×-

()

k

× c1sint

()

k

Xt

()

k

d

×-

k

d

(

k

2

:=

k

ö

Xt

()

t

k

×-

d

æ

2-()×

×

t

d

k

()

k

Xt

()

k

ö

ù

Given

c1cost

× c2sint

k

2

t

- 2tk- 23+ x

k

2

x

c2cost

× c1sint

+ -

( )

k

2 2tk×- 2-

× c2cost

LFindc2tk, xk,

:=

×+ x

()

k

( )

k

×-

()

× c1sint

× 0

( )

2

k

()

k

…

×-

()

k

56

1.796

ç

è

÷

ø

0.1

)

æ

L

=

c2L0:= tkL1:= xkL0:=

ö

4.103

2.045-

Строим график решения (рис. 2.9):.

tt 0 0.1, tk..:= t tk0.1- tk, t

X tt()c1cos tt()× c2sin tt(

4

2.4

xt()

0.8

X tt()

0 0.833 1.667 2.5 3.333 4.167 5

0.8-

ft()

2.4-

4-

×+:=

t tt, t,

+..:=

k

Рис. 2.9. Экстремали задачи Эйлера x(t) и задачи с подвижным

концом X(tt)

Задача Больц а

Задачей Больца называют задачу определения функции

x(t), доставляющей слабый экстремум функционалу вида:

t

к

где

() ( )

t

к

( )

ò

t

н

dt'x,x,tF - интегральная часть функционала (интегрант);

кн

ò

t

н

®+=

extrdt'x,x,tF))t(x),t(x(fxJ , (2.25)

57

))t(x),t(x(f

– терминальный член функционала (терминант) -

кн

заданная функция, имеющая непрерывные производные по

)t(x

и )t(xк; время tн, tк – фиксировано (определено по усло-

н

вию задачи).

Выведем необходимое условие достижения экстремума

функционала в задаче Больца. Вариацию функционала найдем в виде линейной части его приращения.

()

xJ

=d

¶

))t(x),t(x(f

кн

)t(x

н

t

к

F

¶

+

xdt

x

¶

t

н

¶

)t(x

+d

н

++d

¶

t

к

F

¶

¢

d

òò

¢

x

¶

t

н

))t(x),t(x(f

кн

)t(x

к

)t(x

+d

к

(2.26)

.dtx

В полученном выражении рассмотрим отдельно послед-

ний интеграл:

t

к

ò

¶

t

н

=

¶

F

¢

x

F

¶

¢

x

¶

F

¶

¢

x

¶

ì ï

¢

=

d

dtx

í

du

ï

dt

î

t

к

ò

t

н

t

н

() ()

tx

к

tt

F

=

u

¶

x

d

=

¶

dt

к

d

¶

xx

d-d×

x

dt

¶

F

¶

-d ¢

x

¶

¢

¶

F

¢

x

F

dt

¢

tt

==

нк

d=u

=

tx

-d×

н

¢

dtxd

t

к

ò

t

н

dt

d

¶

x

¶

dx

dt

ò

F

¢

()

.xdt

d

() ()

d=d=u

xxd

ü

d=d=d=

xddxdt

ï

=

ý ï þ

Полученное выражение подставляем в (2.16), получаем

к

¶

)t(x

F

¢

x

))t(x),t(x(f

кн

tt

==

)t(x

+d

к

.tx

d×

н

нк

()

xJ

t

к

+

ò

t

н

¶

=d

¶

d

F

¶

æ ç

¶

è

¶

-

dt

x

¶

))t(x),t(x(f

кн

)t(x

н

F

ö ÷

¢

x

ø

xdt

¶

+d

¶

н

F

¢

x

¶

)t(x

+d

¶

() ()

tx

-d

к

tt

После группировки слагаемых получаем:

t

()

=d

xJ

к

ò

t

н

æ ç

è

¶ ¶

¶

F

d

F

-

x

ö

+d

xdt

÷

¢

¶

x

dt

ø

58

æ

(

)

(

)

¹

d

(

)

(

)

'

xFdtdx

¶

[

]

()()()(

)

ç

+

ç

ç è

æ ç

+

ç è

¶

)t(x

к

)t(x

н

¶

))t(x),t(x(f

кн

+

¶

))t(x),t(x(f

кн

¶

В последнем выражении вариации функции dx(t),

txd – произвольные, т.е. 0x

к

F

x

F

¶

x

¢

=кtt

=

к

tt

н

ö ÷

÷

÷ ø

ö ÷

d

÷ ø

()

+d

tx

()

tx

.

н

,

0txн¹d ,

txd ,

н

0txк¹d , тогда

выражение равно нулю в силу основной леммы вариационного исчисления, согласно которой первый сомножитель каждого слагаемого должен равняться нулю. Таким образом, функция, на которой достигается экстремум, должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера

F

-

¶

0

=

,

¶

а также условиям трансверсальности

¶

))t(x),t(x(f

F

¶

кн

+

¢

)t(x

к

)t(x

н

x

¶

F

))t(x),t(x(f

¶

кн

¢

x

¶

,0

=

tt

=

к

.0

=

tt

=

н

(2.27)

Всякое решение уравнения Эйлера называют экстремалью

задачи Больца, а всякая экстремаль задачи Больца, удовлетворяющая условию трансверсальности является допустимой экстремалью задачи Больца.

Пример 7. Найти функцию, обеспечивающую экстремум

функционала

5

2

()( )

ò

0

-=

2

¢

2

()

¢

)5(x20xdt)t(xtx)x(J

-+

.

Решение. Для поиска экстремали задачи запишем уравне-

ние Эйлера, обозначив подынтегральное выражение функцио-

нала как функцию

F

d

F

¶

x

¶

æ

-

ç

dt

¶

è

ö

0

=

.

÷

'x

ø

22

t'xtx'x,xF -= :

59

Уравнение Эйлера было сформировано в примере 1:

(

)

()()(

)

(

)

()()(

)

¢

()(

)

(

)

0t''x2)t(x2 =+ ,

а затем там же было получено его решение:

+= .

tsinCtcosСtx

21

Константы C1, C2 определяются из условий трансверсаль-

ности:

F

))5(x),0(x(f

¶

+

¢

x

¶

F

))5(x),0(x(f

¶

¢

x

¶

2

+= - терминальная часть функциона-

,0

=

5t

=

,0

=

0t

=

¢

)5(x20x))5(x),0(x(f

где

¶

)5(x

¶

)0(x

¶

ла. Найдем значения всех слагаемых, входящих в условия трансверсальности:

¶

))5(x),0(x(f

2

=

)5(x

))5(x),0(x(f

)0(x

() ()( )

C20sinC0cosС2)0(x2

=+==

121

Ранее в примере 1 ранее было найдено

F

¶

'x

()

t'x2

-=

,

С учетом того, что

+-=

tcosCtsinСtx

21

получаем

F

¶

¢

x

¶

5t

=

F

¶

¢

x

¶

0t

=

() () ()

-=-=

5cosC25sinС25'x2

21

() () ()

C20cosC20sinС20'x2

-=-=-=

221

Тогда условия трансверсальности имеют вид:

,05cosC25sinС22

21

.0C2С2

=+

21

Умножим второе уравнение на

=-+

5cos и сложим с первым:

60

()(

)

,25cosC25sinС2

=

-

()()(

)

2

)

(

)

,05cosC25cosС2

=+

,25cosС25sinС2

=+

481,1

»

1

С

= .

2

-

() ()

5cos5sin

+

481,1

-»

откуда

С

1

Тогда из 0CС

21

() ()

= .

21

11

1

() ()

21

5cos5sin

+

=+ следует

Экстремаль задачи Больца:

tsin481,1tcos481,1tx -= .

Решение примера 7 в Mat hCad. Запишем интегральную

и терминальную часть функционала

F tX, X', ( )X2X'() f xn xk, ( ) xn22xk+:=

-:=

Экстремаль задачи была найдена в примере 1 (на основе

интегральной части критерия) в виде решения дифференциального уравнения Эйлера с неизвестными постоянными с1 и с

Xt()c1cost()× c2sint(

1

Определяем неизвестные с1 и с

×+:= c

из условий трансверсаль-

2

:

2

ности:

d

f xn xk, ( )

xn

d x' d

f xn xk, ( )

xk

d x'

d

Ftxn, x',

- 0

( )

d

n

d

Ftxk, x',

+ 0

d

( )

k

Первое слагаемое условий трансверсальности представля-

ет собой частную производную подынтегрального выражения критерия по

t'x , рассчитанного на левой и правой границе для

первого и второго условий соответственно:

d

FtX, X', ( )

X'

d

2-X'×®

Второе слагаемое – частные производные от терминально-

го члена функционала: