Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
ФГБОУ ВО
Е.А. БАЛАШОВА, Ю.П. БАРМЕТОВ,
В. К. БИТЮКОВ, Е.А. ХРОМЫХ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
ВОРОНЕЖ
2017
УДК 62-505(076.5)
Оптимальное
управлени
е
в технических системах
.
ки
л
си
ди
решения задач классического и неклассического вариационного исчисл
теза опт
2402010000
-32
ББК З951я7
О-60
Научный редактор профессор В.К. БИТЮКОВ
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра автоматики и управления в технических системах
Воронежского государственного технического университета ;
к.т.н. Н.Р. БОБРОВНИКОВ
(ОАО «Автоматика»)
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Воронежского государственного университета инженерных технологий
О-60
Практикум [Текст]: учеб. пособие / Е.А. Балашова, Ю.П. Барметов,
В.К. Битюков, Е.А. Хромых; Воронеж. гос. ун-т инж. технол.
– Воронеж: ВГУИТ, 2017. – 287 с.
ISBN 978-5-00032-307-6
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями ФГОС ВО подготоввыпускников, обучающихся по направлениям 15.03.04 – «Автоматизация техно-
огических процессов и производств» и 27.03.04 – «Управление в технических
стемах». Предназначено для изучения курса базовой части цикла обязательных
сциплин «Теория автоматического управления». Посвящено изучению методик
имальных регуляторов многомерных систем управления.
ения, син-
О
ОК2 (03) – 2017
ISBN 978-5-00032-307-6 ©©Балашова Е.А., Барметов Ю.П.,
Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение)
любым способом без согласия университета запрещается.
Без объявл.
УДК 62-505(076.5)
ББК З951я7
Битюков В.К, Хромых Е.А., 2017
ФГБОУ ВО «Воронеж. гос. ун-т
инж. технол.», 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ АВТОРОВ ............................................................................... 6
Глава 1. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ..................... 9
Задача поиска условного экстремума функции ........................... 9
Метод неопределенных множителей Лагранжа ....................... 13
Задания для самостоятельного решения .................................... 16
Глава 2. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ........................................................................... 18
Элементарная задача вариационного исчисления ..................... 18
Частный случай уравнения Эйлера ............................................ 25
Экстремаль функционала, зависящего от нескольких
функций ...................................................................................... 29
Экстремаль функционала, зависящего от производных
высших порядков ........................................................................ 37
Задача со свободным концом ..................................................... 44
Задача с подвижным правым концом ........................................ 49
Задача Больца.............................................................................. 56
Задания для самостоятельного решения .................................... 62
Глава 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ ............................................................................. 69
Вариационная задача поиска условного экстремума
(Задача Лагранжа) ....................................................................... 69
Изопериметрическая задача ....................................................... 79
Задания для самостоятельного решения .................................... 87
Глава 4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ............................... 89
Постановка задачи оптимального управления........................... 89
Классификация и примеры задач оптимального
управления .................................................................................. 90
Задача Лагранжа ......................................................................... 92
Задача Больца............................................................................ 106
Задача Лагранжа при незакрепленных границах ..................... 119
3
4
Задача Майера ........................................................................... 121
Принцип максимума Понтрягина в задаче
Задания для самостоятельного решения .................................. 133
Глава 5. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
МЕТОДАМИ НЕКЛАССИЧЕСКОГО
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ..................................... 137
Принцип максимума Л. С. Понтрягина .................................... 1 37
Принцип максимума Понтрягина в задаче
с фиксированным временем и свободной правой
границей .................................................................................... 138
с произвольным временем и фиксированными
границами ................................................................................. 15 0
Теорема о переключениях (теорема Фельдбаума) ................... 165
Динамическое программирование ........................................... 176
Решение задач оптимального управления методом ди-
намического программирования .............................................. 178
Задания для самостоятельного решения .................................. 185
Глава 6. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ....... 188
Динамические модели в задачах управления .......................... 188
Построение переходных процессов многомерных систем
управления ................................................................................ 189
Приведение дифференциальных уравнений высших
порядков к нормальному виду ................................................ 197
Решение систем дифференциальных уравнений методом
преобразования координат ....................................................... 200
Решение системы дифференциальных уравнений
методом Лагранжа-Сильвестра ................................................ 204
Оптимизация многомерных систем
по среднеквадратичному критерию ......................................... 20 7
Решение задачи оптимального управления приведением
к задаче безусловной оптимизации .......................................... 209
Решение задачи оптимального управления на основе
принципа максимума ................................................................ 219
Решение задачи безусловной оптимизации сведением к
уравнению Риккати ................................................................... 228
Решение задачи оптимального управления на основе
принципа максимума сведением к уравнению Риккати .......... 235
Решение матричного уравнения Риккати методом разложения …25 0
Задания для самостоятельного решения .................................. 261
Глава 7. ОПТИМАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ
МНОГОМЕРНОГО РЕГУЛЯТОРА ......................................... 264
Расчет оптимальных по среднеквадратическому
критерию настроек ПИД-регулятора ....................................... 26 4
Введение интегральной составляющей в оптимальный
регулятор ................................................................................... 273
ПРИЛОЖЕНИЕ ........................................................................ 286
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................... 287
5
6
ОТ АВТОРОВ
Учебное пособие предназначено для изучения курса базовой части цикла обязательных дисциплин «Теория автоматического управления» и посвящено решению типовых задач поиска
оптимального управления с привлечением ЭВМ.
Первая глава посвящена основным теоретическим положениям поиска условного экстремума функции. В ней сформулирована постановка задачи определения условного экстремума
функции, даны определения допустимого множества, сильного
и слабого экстремума, отражены различные подходы к решению
задач условного экстремума, подробно изложен метод неопределенных множителей Лагранжа.
Во второй главе рассматриваются задачи классического
вариационного исчисления. Глава построена на сравнительном
анализе поиска экстремума функции и экстремума функционала. Материалы главы включают в себя вывод уравнения Эйлера
и Эйлера-Пуассона и решение задачи поиска безусловного экстремума функционала для случая закрепленных границ, свободного и подвижного правого конца. Рассмотрены задачи поиска
экстремума функционала, содержащего производные высших
порядков и зависящего от нескольких функций, частный случай
уравнения Эйлера для функционала, не зависящего явно он времени, безусловная формулировка задачи Больца. Теоретический
материал подкреплен примерами, решенными как традиционно,
так и с привлечением ЭВМ в математическом пакете MathCad.
Третья глава распространяет подход к решению задач поиска условного экстремума функции, изложенный в первой главе, для поиска экстремума функционала при наличии ограничений, записанных в дифференциальной (задача Лагранжа) либо
интегральной (изопериметрическая задача) формах. Решение
задачи Лагранжа представлено в двух вариантах – приведением
к задаче безусловной оптимизации, подробно рассмотренной в
главе 1, либо с помощью метода Лагранжа. Поиск экстремума
изопериметрической задачи изложен с привлечением метода
неопределенных множителей Лагранжа. Наряду с классическим
решением задач представлен расчет с привлечением MathCad.
В четвертой главе даны постановка и классификация задач
оптимального управления. Рассмотрены задачи Лагранжа с закрепленными и незакрепленными границами, задачи Больца и
Майера. Решение задач излагается несколькими способами:
приведением к задаче безусловной оптимизации, с использованием функций Лагранжа и Гамильтона. Представленные примеры иллюстрируются в MathCad.
В пятой главе рассматривается неклассические методы
синтеза оптимального управления – принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование. Материал излагается на примерах решения задач с ограничениями на управляющее
воздействие для случаев фиксированного времени и свободной
правой границы и произвольного времени и фиксированными
границами (задача максимального быстродействия). Для случаев определения оптимального управления, имеющих более одной точки переключения, рассмотрена теорема Фельдбаума (определение количества точек переключения), и представлен пример синтеза оптимального управления, использующий численный поиск времени переключения в MathCad.
Шестая глава содержит аналитические и численные методы решения задачи оптимизации многомерной системы управления по среднеквадратичному критерию. Материал излагается
от построения переходных процессов многомерных систем до
синтеза многомерных оптимальных систем управления. Представлены методы решения задач сведением к задаче безуслов-
7
8
ной оптимизации и на основе принципа максимума. Показаны
методы снижения размерности системы приведением уравнений
системы к уравнению Риккати. Изложены численный и аналитические методы решения уравнения Риккати. Материал излагается на примерах решения задач оптимизации в MathCad.
Седьмая глава посвящена синтезу многомерных ПИД и
ПИ-регуляторов на основе методик, изложенных в шестой главе. Представлены методики расчета коэффициентов регуляторов. Синтез осуществлен с привлечением MathCad.
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями
ФГОС ВО подготовки обучающихся по направлению «Автоматизация технологических процессов и производств и «Управление в технических системах». Последовательное изложение материала облегчает усвоение современных приемов проектирования систем управления. Пособие содержит комплекс заданий
для самостоятельной работы обучающихся, примеры их выполнения, что способствует закреплению материала.
Использование методик изложено подробно и детально.
Даны конкретные рекомендации по выполнению каждого задания. Представленные в пособии примеры решения задач синтеза
с использованием MathCad облегчают усвоение материала.
ГЛАВА 1.
(
)
x
(
)
(
)
(
)
Î
x
x
(
)
(
)
KxÎ
x
x*¹
(
)
(
)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Задача поиска условного экстремума функции
Задачу поиска условного экстремума функции
сформулировать следующим образом. Найти вектор
надлежащий допустимому множеству К, такой, что целевая
функция
бальный максимум. Слабый, так как удовлетворяет слабому (нестрогому) неравенству. Если можно найти такой
бальный максимум.
летворяющий уравнению
кой. Сильный экстремум всегда единственен (рис. 1.1).
xf удовлетворяет условию:
Если такой
xfxf*> для всех
Слабый экстремум не единственный, т. к. любой x, удов-
*
существует, то задача имеет слабый гло-
, причем
xfxf*= , является оптимальной точ-
xfxf*³ для всех
, то это сильный гло-
xf можно
*
, при-
*
, что
.Kx
Рис. 1.1. Графическая интерпретация сильного и слабых экстремумов
9
10
Соотношения, определяющие допустимое множество К,
(
)
(
)
=
(
)
(
)
x
x
называются ограничениями задачи. Допустимое множество К
является пересечением всех множеств, определяемых каждым
из ограничений (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Допустимое множество
Таким образом, задачу поиска условного экстремума
можно сформулировать следующим образом. Найти экстремум
функции
extrx,...,x,...,x,xf
® (1.1)
nj21
при функциональных ограничениях вида:
,0x,...,x,...,x,xg
£
nj21i
и прямых ограничениях:
,0x1³
Все неравенства записываются таким образом, чтобы был
один знак. Если
Ограничение эффективно в точке
в равенство в точке
Достаточные условия существования экстремума дает
теорема Вейерштрасса: непрерывная функция, определенная
на непустом замкнутом ограниченном множестве, достигает
максимума (минимума) по крайне мере в одной точке этого
множества.
. (1.3)
n...1k =
,0xgi£ то
*
, иначе ограничение неэффективно.
m...1i
0xgi³- .
*
, если оно обращается
(1.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]