Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

281

z

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

(

), (

)

ç

è

÷

ø

0

æ

ö

1

z

ç

÷

2

d

ç

÷

p

t

d

1

ç

÷

p

2

z

æ

ö

1

z

ç

÷

2

U

×

ç

÷

p

1

ç

÷

p

2

где

AA

æ

U

QQ-

SS-

ö

AAT-

Формируется с использованием функций слияния строк и

столбц ов матриц MathCa d:

U stack augment AA SS-, ( ) augment QQ- AAT-,

:=

0

1

0

æ

0

1

ç

0

ç ç

U

0

=

ç

0.6-

ç

0

ç ç

0 0

0.2-

0

0.15

0

0.4-

0

0.1

0.180 0 0 0

0 0 0 0 0

1-

0

0.214-

0

0.027-

0

0.2

1-

0.1-

0 0

0.027-

0.5760 0

0.15-

0.18

ö ÷

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

Введем замену переменных

pt() K xt()×

Тогда модифицированная сопряженная система диффе-

ренциальных уравнений сводится к матричному дифференциальному уравнению

d

xt()

t

A SK×-( ) xt()×

В котором матрица К определяется решением уравнения

Риккати

K SS× K× K AA×- AATK- QQ-

282

решение которого получим методом перестановки собственных

á

ñ

á

ñ

á

ñ

á

ñ

á

ñ

á

ñ

á

ñ

á

ñ

(

)

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

èöø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

значений.

Найдем собственные значения и собственные вектора главной матрицы модифицированная сопряженная система дифференциальных уравнений

l eigenvals U(

:= T eigenvecs U(

:=

Упорядочиваем вектор собственных значений по возрастанию:

l

æ

ö

1

ç

0.497- 0.48i+

æ

0.497- 0.48i-

ç

0.444- 0.403i+

ç ç

0.444- 0.403i-

l

=

ç

0.497 0.48i+

ç

0.497 0.48i-

ç ç

0.444 0.403i+

0.444 0.403i-

ö ÷

÷ ÷ ÷

lnew

÷ ÷ ÷

÷

l

2

ç

÷

l

ç

÷

3

ç

÷

l

ç

÷

4

:=

ç

÷

l

8

ç

÷

ç

÷

l

7

ç

÷

ç

÷

l

5

ç

÷

l

6

и в соответствии с перестановкой собственных чисел, переставляем столбцы собственных векторов:

1

2

3

4

8

7

5

G augment T

:=

T

, T

6

,

Выделим из полученной матрицы блоки, каждый из кото- рых имеет размер 4´4

G11

G12

æ

G

G21

G22

G

æ

11,

12,

G

ç

G11

:= G21

ç ç

G

21,

22,

G

31,

32,

G

41,

42,

G

13,

14,

G

23,

24,

G

33,

34,

G

43,

44,

ö ÷

÷ ÷

G

æ

51,

52,

G

ç

:=

ç ç

G

61,

62,

G

71,

72,

G

81,

82,

G

53,

G

63,

G

73,

G

83,

ö

54,

G

÷

64,

÷

G

74,

÷

G

84,

Матрицу К определяем по формуле:

283

K G21 G11

1

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

)

ç

è

÷

ø

)

1.466

æ

0.055-

ç

K

=

ç

1.674

-

×:=

0.055-

1.674

0.843

0.09-

3.132

0.01-

0.835

0.164

0.01-

ö

0.09-

0.835

÷ ÷

0.164

1.426

Выполняем проверку равенства нулю уравнения Риккати:

K SS× K× K AA×- AATK- QQ-

æ ç

=

ç ç

1.998 10

´

1.114- 10

´

1.332- 10

´

0

15-

0

1.11- 10

15-

0

15-

0

3.775- 10

0

15-

´

0

´

0

15-

1.485- 10

4.025- 10

15-

´

0

15-

´

0

Левая часть уравнения Риккати равна нулю, следовательно, получено верное решение. Выполним исследование устойчивости системы, найдем собственные значения матрицы АА:

AA SSK×-

l eigenvals AA SSK×-(

:=

æ ç

l

=

ç

=

0.444- 0.403i-

0.497- 0.48i-

0.444- 0.403i+

0.497- 0.48i+

0

æ

0

ç ç

0.359-

0.039-

ö ÷

÷

2.988- 103-´

0.479-

0 0

1 0

0.876-

0.028-

0 1

0.027

1.006-

ö ÷

÷

Собственные значения имеют отрицательные действительные части, следовательно, система устойчива. Оптимальная траектория движения системы рассчитывается из уравнения

d

xt()

t

A SK×-( ) xt()×

Решение этого уравнения:

xt()e

AA SSK-( )t×

x0(

получим переходом к новым координатам. С помощью матриц собственных векторов:

ö ÷

÷ ÷

284

¢

T eigenvecs AA SSK×-( )

1

(

)

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

èöø

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

ç

è

÷

ø

:=

и собственных значений

exp l1t×

æ

0

-

0

ö

expL t()

ç

:=

ç ç

0

exp l2t

()

0

exp l3t

0

()

0

exp l4t

()

÷ ÷ ÷

рассчитываем фундаментальную матрицу системы

F t()T1-expL t()T×:=

Тогда искомое решение в матричном виде:

xt()

æ

xt()

ç ç

x't()

ç

x't()

Получение решения затрудняет отсутствие значения

Ft()

ö

æ

1

F t()

÷

ç

2

÷

ç

F t()

1

÷

ç

F t()

2

11,

21,

31,

41,

F t()

12,

22,

32,

42,

F t()

13,

23,

33,

43,

F t()

14,

24,

34,

44,

x0()

ö

æ

ö

1

x0()

÷

ç

÷

2

×

÷

ç

÷

x'0()

÷

ç

x'0()

1

÷

2

)0(x

Чтобы

найти отсутствующее значение запишем решение в укрупненном блочном виде

xt()

æèö

x't()

GG11 t()

æ

GG21 t()

GG12 t() GG22 t()

æèö

×

x0

x'0

где

GG11t()

Ft()

æ

:= GG12t()

F t()

11,

21,

F t()

12,

22,

ö

Ft()

æ

:=

F t()

13,

23,

F t()

14,

24,

ö

GG21 t()

Ft()

æ

:= GG22 t()

F t()

31,

41,

F t()

32,

42,

ö

Ft()

æ

:=

F t()

33,

43,

F t()

34,

44,

ö

285

Подставляя правое граничное условие, выражаем требуе-

¢

ç

è

÷

ø

(

)

xk

èöø

)

ç

è

÷

ø

z0

мое значение

x'0 GG12tk()1-GG11tk()× x0

x'0

=

)0(x

:

- GG12tk()

0.897-

æ

0.047

1-

×+:=

Формируем вектор начальных условий

z0 stack x0 x'0, (

:=

1.2

z0

æ ç

=

ç

0.3

0.897-

0.047

ö ÷

÷

и получаем решение

zt() Ft()

:=

откуда оптимальная траектория

zt()

æ

ö

xt()

:=

zt()

1

2

Находим скорость изменения управляющего воздействия

pt() K zt()×:=

vt()R1-BBT× pt()×:=

и оптимальное управление

t

ó

ut()

ô õ

0

tvt()

d:=

Строим полученные оптимальные траекторию и управление (рис. 7.2 ):

t 0 0.1, tk..:=

286

(

)

(

)

1.5

0.4

xt()

1

0.5

2

0 2 4 6 8 10

0.5-

t

vt()

1

0.5

1

2

0 2 4 6 8 10

0.5-

pt()

0.2

1

0 2 4 6 8 10

2

0.2-

0.4-

t

Рис. 7.2. Оптимальная траектория и оптимальное управление для примера 2

Квадратичные формы. Основные правила

Приложение

1. Для симметричных матриц справедливо

Т

.

SS =

2. Для квадратичной формы выполняется соотношение:

Т

ТТ

3. Дифференцирование произведения матричных функций по ска-

лярному аргументу зависит от порядка сомножителей

ТТ

du

vud

dt

4. Дифференцирование по векторному аргументу подчиняется сле-

дующим правилам E

dv

Т

uv

+= .

dt

dx

= , E

Т

dx

ТТ

== .

xAuAuxAux

dx

Т

= ,

287

где Е – единичная диагональная матрица

()(

)

()(

)

(

)

(

)

()(

)

(

)

(

)

5. Производная квадратичной формы имеет вид

Т

Axxd

Т

dx

Для случая симметричных матриц А = S

Т

Sxxd

=

Т

dx

Если матрица единичная диагональная А = Е

xxd

dx

6. Дифференцирование произведения матричных функций по век-

торному аргументу

dx

Т

vud

Т

dv

Т

u

dx

ТТ

AAx

+=

,

Т

Sx2

,

ТТ

Exxd

dx

+=

Т

x2

== .

du

Т

v

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

dx

,

Т

dx

Т

Axxd

dx

Т

Sxxd

dx

= .

vud

Sx2

du

dx

Т

+= .

v

xAA

ТТТ

dv

u

+=

dx

миров, С. В. Фомин; - М.: Физма тлит, 2007.- 384 с.

[Текст]: учебное пособие / В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров; - М.: Физмат- лит, 2011. - 408 с.

мов – М.: На ука, 1984. – 284 с.

[Текст] / А. Д. Лазарева – М.: Наука, 1980. – 189 с.

[Текст] / В. Ф. Лебедев, А. А. Хвостов, Н. В. Суханова // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий, Воронеж, 2009. - № 2(40). – С. 75- 80.

[Текст] / В. Ф. Лебедев // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. - 2006. - № 11 - С. 41-44.

ных систем. [Текст] / В. Ф. Лебедев, А. М. Гурвич. // Системы управления и информационные технологии. - 2006. - Т. 23, - № 1. - С. 82-85.

Балашова [и др.]; Воронеж. гос. технол. акад. - Воронеж, 2006. - 108 с.

Сотсков, Г. В. Колесник. – М.: Российская экономическая школа, 2002. – 58 с.

деев, В. Н. Фаддеева. – СПб.: Лань, – 2002. – 730 с.

S. Garbow, J. M. Boyle, J. J. Dongarra; // Berlin, Springer, - 2014. – 356 P.

Алексеев, В. М. Оптимальное управление [Текст] / В. М. Алексеев, В. М. Тихо-

Алексеев, В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи

Икрамов, Х. Д. Численное решение матричных уравнений. [Текст] / Х. Д. Икра-

Лазарева, А. Д. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, Ляпунова

Лебедев, В. Ф. Математическое моделирование кинетики роста микроорганизмов

Лебедев, В. Ф. Моделирование и синтез систем оптимальной стабилизации.

Лебедев, В. Ф. Оптимальность и устойчивость линейных замкнутых многомер-

Практикум по методам оптимизации и оптимального управления [Текст]/ Е.А.

Сотсков, А. И. Оптимальное управление в примерах и задачах [Текст] / А. И.

Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры. [Текст] /Д. К. Фад-

Garbow, B. S., Matrix Eigensystem Routines – Eispack Guide Extension [Text] / B.

288

Учебное издание

Балашова Елена Анатольевна

Барметов Юрий Павлович

Битюков Виталий Ксенофонтович

Хромых Елена Алексеевна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Подписано в печать 30.11.2017. Формат 60´ 84 1/ 16.

Усл. печ. л. 16,7. Тираж 100 экз. Заказ . С –32.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»

(ФГБОУ ВО «ВГУИТ»)

Отдел полиграфии ФГБОУ ВО «ВГУИТ»

Адрес университета и отдела полиграфии:

394036, Воронеж, пр. Революции, 19