Оптимальное управление в технических системах. Практикум. Учебное пособие

L

(

)

(

)

¢

2

¢

¶

x

¶

¢

x

dt

¶

jj

[ ]

==

n,1j;0

. (3.23)

L

d

Для поиска неизвестных произвольных постоянных уравнения Эйлера-Лагранжа (3.23) C1, C

и неопределённых множителей

2

Лагранжа lq используются граничные условия (3.9) и условия изопериметричности (3.18).

Пример 2. Найти экстремаль функционала

t

к

()

( )

ò

t

н

при ограничении

++=

1

ò

0

22

¢

,2dt)t(x

=

®

extrdt))t(x()t(x)tsin(xJ

удовлетворяющую граничным условиям:

()

;00x

==.11x

ì í î

Решение. Составим функцию Лагранжа (3.22)

22

¢

++= .

)t(x))t(x()t(x)tsin('x,x,tL

l+

Экстремаль задачи найдем из уравнения Эйлера-Лагранжа (3.23)

L

d

L

¶

x

¶

;0

-

=

¢

x

dt

¶

L

¶

x

l+=

)t(x2

, )t(x2

L

¶

x

¶

¢

=

¢

, )t(x2

L

d

¶

x

dt

¶

¢¢

=

¢

.

Получаем

или

-l+

0)t(x2)t(x2 =

¢¢

l

.

)t(x)t(x

=-

Решим полученное неоднородное дифференциальное

уравнение второго порядка. Для поиска решения однородного дифференциального уравнения

составляем харак-

0)t(x)t(x =-

теристическое уравнение

2

01k

=- ,

81

82

корни которого 1k

(

)

(

)

2Al

2

= , 1k2-= . Решение однородного диффе-

1

ренциального уравнения

-

eCeCtx

+= .

2

t

1одн

Частное решение дифференциального уравнения будем

искать в виде константы

Atxч= . Подставляя частное решение

в левую часть исходного дифференциального уравнения, получаем

-= .

Решение дифференциального уравнения

l

() () ()

t

1чодн

2

t

-

eCeCtxtxtx

-+=+=

.

Неизвестные C1, C

иl определяем из граничных условий

2

и изопериметрического условия.

()

1

ò

0

1

.

2dt)t(x

=

CC00x

-+== ,

21

eCeC11x

2

l

-

1

l

-+==

,

Подставим полученное решение )t(x в последнее условие

1

t

1

ò

0

l

æ

t

eCeC(

-+

2

1

-

21

t

--

ç

1

è

l

)1e(C)1e(C

----=

2

eCeCdt)

2

.2

=

1

l

ö

t

--=

=

÷

2

ø

0

Система уравнений для поиска неизвестных постоянных

времени и неопределенного множителя Лагранжа имеет вид:

l

CC

21

1

0

=

-+ ,

1

-

eCeC

-+

2

21

l

1

=

,

l

1

-

)1e(C)1e(C

----

.

2

=

Перепишем систему уравнений в матричном виде

&

èöø

1

é ê ê ê

11

-

1

ee

ê ê ê

ë

-

1

ù

-

ú

2

C

é

ú

1

ê

ú

-

C

ê

2

ú

ê

1

ë

ú

---

1e1e

ú

2

û

0

ù

é

ù

1

ú

ê

ú

=

1

2

ú

ê

ú

,

ú

ê

ú

l

2

û

ë

û

откуда

1

é ê

C

ù

é

1

ê

ú

ê ê ê

ë

ê

=

C

2

ú

ê

ú

l

û

ê ê

ë

11

-

1

ee

-

1

ù

-

ú

2

0

é

ú

1

ê

ú

-

1

ê

2

ú

ê

2

1

ë

ú

---

1e1e

ú

2

û

157,0

é

ù

ê

ú

ê

ú

ê

ú

ë

û

ù ú

-=

157,0

ú

.

ú

-

2

û

Экстремаль задачи имеет вид

tt

-

1e157,1e157,0)t(x

--=

.

Решение примера 2 в Mat hCad. Составим функцию Ла-

гранжа:

L tx, x', l, ( ) sint()x

2

+ x'()

2

+ l x×+:=

Составим уравнение Лагранжа

d

Ltx, x',( )

x

d t x'

ddd

Ltx, x',( )

- 0 d

и найдем частные производные, входящие в него:

d

( )

Ltx, x',l,

x

d d

( )

Ltx, x',l,

x'

d

Вычислим полную производную по t от

d

( )

Ltx, x',l,

t x'

d

d t

d

æ

d

2txt()

×

t

d

2x× l+®

2 x'×®

L

:

x

d

2 x'×( )

d

ddd

2

xt()

×®

tt

d

83

84

Уравнение Лагранжа имеет вид:

ø

2

2 xt()× l+ 2

d

xt()

×- 0

2

t

d

После упрощения

d d

2

t

2

xt()

l

xt()-

2

Составляем характеристическое уравнение:

k21- 0

Находим корни характеристического уравнения.

1

æèö

1-

Записываем решение дифференциального уравнения

xt()C1e

t

× C2e

t-

×+:= C

2

Находим частное решение дифференциального уравнения

xvt()A:=

Подставляем частное решение в уравнение

0A-

l

2

A

-:=

l

2

Решение дифференциального уравнения:

l

xt()C1e

t

× C2e

×+

Определяем неизвестные С

t-

-:=

l

2

, С

и λ из граничных условий

1

2

и изопериметрического условия

x0()0C1C

x1()1C1e

1

ó ô õ

0

+

× C2e

1

ó ô

txt()

d

ô õ

0

2

1

æ è

l

-

2

×+

1-

l

-

2

-

l

2

ö ø

d

tC1et× C2et-×+

Преобразуем последнее уравнение:

)

0

1

(

)

2

ç

è

÷

ø

ç

÷

ç

÷

ç

è

÷

ø

ç

÷

ç

è

÷

ø

1

ó

æ

ô ô

è

õ

0

l

ö

-

2

ø

tC1et× C2et-×+

d C1e1-( )×

l

- C2e1-1-

2

×-®

(

Система уравнений имеет вид:

C1C2+

C1e1× C2e1-×+

e1-( )C

l

-

2

l

-

2

× e1-1-

1

×+

C

2

-

l

2

Полученную систему уравнений, запишем в матричном виде:

1-

2

1-

2

1-

2

ö ÷

÷

×

÷ ÷

C

æ

C

ç

l

è

ö

1

÷

2

ø

0

æ

1 2

è

ö

ø

æ ç

ç ç ç

e1-

1

e

1

e

e1-1-

Откуда

1-

2

1-

2

1-

2

ö ÷

÷ ÷ ÷

0

æ

ö

1

×:= C

2

è

ø

0.157

æ

=

ö

1.1572-

æ

1

ç

1

ç

C

e

ç

e

ç

e1-

e1-1-

Строим график решения (рис. 3.3):

t 0 0.1, 1..:=

xt( ) 0.157 et× 1.157 et-×-

-:=

85

86

0.5-

()(

)

¢

(

)

(

)

()(

)

¢

(

)

(

)

()(

)

¢

(

)

(

)

0 0.25 0.5 0.75 1

0.875-

xt()

1.25-

1.625-

2-

t

Рис. 3.3. Решение примера 2.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить задачу Лагранжа:

1

1.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

2.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

3.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

=

ò

0

0txtx

=-

21

,30x

ì í

==,10x

î

1

=

ò

0

0txtx

=+

21

,20x

ì í

==,10x

î

1

=

ò

0

=-

21

,30x

ì í

==,10x

î

2

¢

( )

121

,

,21x

1

()

==.01x

2

¢

( )

121

,

,51x

1

()

==.11x

2

¢

( )

121

0tx2tx

,

,21x

1

()

==.e1x

2

-

+

2

¢

dttxtxx,xJ

2

¢

dttxtxx,xJ

2

¢

dttxtxx,xJ

2

1

()(

)

¢

(

)

(

)

()(

)

¢

(

)

(

)

()(

)

¢

(

)

(

)

(

)

(

)

4.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

5.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

6.

( ) ()( ) ()( )

ì

1

í

()

2

î

=

ò

0

=+

21

,30x

ì í

==,10x

î

1

=

ò

0

=-

21

,30x

ì í

==,10x

î

1

=

ò

0

0txtx

=+

21

,30x

ì í

==,10x

î

2

¢

( )

0tx2tx

1 2

( )

0tx2tx

1 2

( )

121

,

()

¢

121

,

()

¢

121

+

,21x

==.01x

2

+

,21x

==.e1x

2

,

,21x

1

()

==.e1x

2

¢

dttxtxx,xJ

2

¢

dttxtxx,xJ

2

¢

-

dttxtx2x,xJ

2

Задание 2. Решить изопериметрическую задачу:

1.

2.

p

ò

0

1

ò

0

()

=

()

p

ò

t

tdtcos)t(x

1

ò

t

=

2

¢

н

p

=

2

( )

н

ì

,3dt)t(x

í î

,

()

®

==.11x

ì í î

extrdt))t(x(xJ

()

++=

;00x

,

;00x

-=p=.1x

22

¢

®

extrdt))t(x(5)t(x)tsin(2xJ

,

87

88

3.

(

)

(

)

(

)

4.

5.

1

ò

0

1

ò

0

1

ò

0

1

2

()

¢

( )

=

ò

0

,3dt)t(x

=

1

¢

( )

=

ò

0

,2dt)t(x

=

1

( )

=

ò

0

,5dt)t(x

=

ì í î

¢

®

()

;20x

==.51x

22

==.41x

;00x

==.11x

;extrdt)t(xxJ

®+

;extrdt)t(x)t(xxJ

;20x

22

¢

++

®

extrdt))t(x()t(x)t(x)t(x2xJ

,

ГЛАВА 4.

(

)

¢

(

)

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Постановка задачи оптимального управления

В зависимости от вида рассматриваемого объекта и тре-

буемой степени его детализации для его описания могут быть использованы различные типы уравнений: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в частных производных и т.д.

Постановка задачи оптимального управления включает

цель управления (критерий качества), математическую модель управляемого объекта, различного рода ограничения на траекторию движения системы, изменение управляющего воздействия, длительность процесса управления, класс допустимых управлений.

В общем случае постановка задачи оптимального управления следующая. Найти оптимальную траекторию x(t) и оптимальное управляющее воздействие u(t), обеспечивающие экстремум функционала вида

t

к

() ( )

=

¢¢

кнкнкн0

+

ò

t

н

при переводе объекта из начального состояния нечное

. При этом на координаты объекта накладыва-

x)t(x =

кк

¢¢

dtu,u,x,x,tF)t,t),t(x),t(x),t(x),t(x(gu,xJ

x)t(x =

нн

(4.1)

в ко-

ются ограничения, представленные дифференциальными урав- нениями вида

,n...1i,0u,u,x,x,t

F

i

==

(4.2)

изопериметрическими зависимостями

t

к

ò

t

н

( )

q

r,1qconst;ldtu,x,tf

===

(4.3)

и алгебраическими уравнениями

.

nh,h..1k,0u,x,t

k

<==j

89

90

В качестве критерия могут использовать минимум затрат

(

)

¢

¢+¢

¢

на управление

t

к

()

2

ò

t

н

mindt)t(uuJ

®=

,

минимум интегральной квадратичного отклонения от заданного выходного значения

t

к

()

2

ò

t

н

mindt)t(xxJ

®=

,

комбинированный среднеквадратичный критерий

t

к

()

1

u,xJ

ò

2

t

н

[ ]

22

mindt)t(x)t(u

®+=

,

минимум времени регулирования и другие

.

minttJ

®=

kk

Классификация и примеры задач оптимального управления

В общем случае функционал (4.1) состоит из терминаль- ной части

t

к

( )

ò

t

н

¢¢

dtu,u,x,x,tF

. В различной постановке задачи оптимального

и интегральной части

)t,t),t(x),t(x),t(x),t(x(g

кнкнкн0

управления интегральная либо терминальная части функционала могут отсутствовать. По способу задания функционала задачи управления делятся на три вида.

1. Задача Лагранжа. Формулируется для функционала

состоящего только из интегральной части.

t

к

() ( )

=

ò

t

н

¢¢

dtu,u,x,x,tFu,xJ

Граничные условия могут быть как фиксированными, так и не фиксированными. Например, для теплообменника, описываемого дифференциальным уравнением

)t(ku)t(xa)t(xa)t(xa

=+

012

,