Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 4. Числовые ряды 131
2) если > 1, то ряд
расходится.
Замечание 1. Если lim
= +, то ряд
расходится.
Замечание 2. Е
сли lim
= +, то ряд
расходится.
Замечание 3. Если предел , указанный в признаке Даламбера или в
признаке Коши, не существует или существует и равен 1, то о сходимости
ряда ничего сказать нельзя и в этом случае требуется провести его дополнительное исследование.
Замечание 4. Признак Коши сильнее признака Даламбера в следу-
ющем смысле: если существует lim
, то существует lim
и эти
пределы равны. Поэтому, если lim
= 1, то нет смысла пытаться при-
менить признак Коши (необходимо использовать другие методы исследо-
вания сходимости). Но если lim
не существует, то может существо-
вать lim
.
Интегральный признак. Пусть функция определена и непрерыв-
на на промежутке
[
1, +
)
, принимает на этом промежутке положительные
значения и является убывающей. Ряд
()
сходится тогда и только
тогда, когда сходится несобственный интеграл
(
)
.
З
амечание. Так как функция непрерывна на промежутке [1, +
)
,
то она имеет на этом промежутке первообразную . Тогда условие сходи-
мости несобственного интеграла
(
)
равносильно условию суще-
ствования конечного предела lim
().
Пример 4.2.1. Исследовать сходимость ряда
1
2
.
132 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Вычислим предел общего члена ряда:
lim
1
2
= lim
2
/
= 1.
Так как предел общего члена ряда оказался отличным от нуля, то
нарушено необходимое условие сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.
Пример 4.2.2. Исследовать сходимость ряда
1
!
.
Решение. Способ 1. Для всех выполняется неравенство
1
!
=
1
1 2 3 …
1
2
.
Таким образом, ч
лены ряда
!
мажорируются членами сходящегося
ряда
, следовательно, по I признаку сравнения ряд
!
сходит-
ся.
Способ 2. П
рименим признак Даламбера. Обозначим
=
1
!
и вычислим предел
lim
= lim
(
)
!
!
=
= lim
!
(
+ 1
)
!
=
= lim
1 2 3 …
1 2 3 … (+ 1
)
=
= lim
1
+ 1
= 0 < 1,
Глава 4. Числовые ряды 133
следовательно, по признаку Даламбера ряд
!
сходится.
Пример 4.2.3. И
сследовать сходимость ряда
1
10
+
1
20
+
1
30
+ +
1
10
+ .
Решение. Т
ак как для общего члена ряда выполняется соотношение
=
1
10
1
,
то по следствию 2 из II признака сравнения рассматриваемый ряд расхо-
дится, так как степень знаменателя дроби
равна 1.
Пример 4.2.4. И
сследовать сходимость ряда
2+ 3
100+ 501
.
Решение. Вы
числим предел общего члена ряда:
lim
2+ 3
100+ 501
= lim
2 +
100 +
=
1
50
.
Так как предел общего члена ряда оказался отличным от нуля, то нарушено необходимое условие сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.
Пример 4.2.5. Исследовать сходимость ряда
1
2
+
1
4
+ +
1
(2)
+ .
Решение. Т
ак как для общего члена ряда выполняется соотношение
=
1
(2)
=
1
8
1
,
то по следствию 2 из II признака сравнения рассматриваемый ряд сходит-
ся, так как степень знаменателя дроби
равна 3.
Пример 4.2.6. Исследовать сходимость ряда
134 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
1
53
+
1
85
+
1
117
+ +
1
(3+ 2)2+ 1
+ .
Решение. Т
ак как для общего члена ряда выполняется соотношение
=
1
(
3+ 2
)
2+ 1
=
=
1
3 +
2 +
~
1
32
1
/
,
то по следствию 2 из II признака сравнения рассматриваемый ряд сходит-
ся, так как степень знаменателя дроби
/
равна 3/2.
Пример 4.2.7. Исследовать сходимость ряда
!
, > 0.
Решение. Применим признак Даламбера. Обозначим
=
!
и вычислим предел
lim
= lim
(
+ 1
)
!
!
=
= lim
+ 1
= 0 < 1,
следовательно, по признаку Даламбера рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.8. Исследовать сходимость ряда
(1!)
3!
+
(2!)
9!
+ +
(
!
)
(3)
!
+ .
Решение. Применим признак Даламбера. Обозначим
=
(
!
)
(3)
!
и вычислим предел
Глава 4. Числовые ряды 135
lim
= lim
(+ 1)!
(
3(+ 1)
)
!
(3)!
(!)
=
= lim
(
+ 1
)
!
!
(3)
!
(
3+ 3
)
!
=
= lim
(
+ 1
)
(
3+ 1)(3+ 2)(3+ 3
)
=
1
27
< 1,
Следовательно, по признаку Даламбера рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.9. Исследовать сходимость ряда
5 1!
1
+
5
2!
2
+ +
5
!
+ .
Решение. П
рименим признак Даламбера. Обозначим
=
5
!
и вычислим предел
lim
= lim
5
(
+ 1
)
!
(
+ 1
)
5
!
=
= lim
5
(
+ 1
)
(
+ 1
)
!
!
=
= lim
5
(
+ 1
)
(+ 1
)
=
= lim
5
(
+ 1
)
=
= lim
5
1 +
=
5
> 1,
следовательно, по признаку Даламбера рассматриваемый ряд расходится.
Пример 4.2.10. Исследовать сходимость ряда
100
2
+
100
101
2 4
+
100
101 102
2 4
6
+
100 101 102 103
2 4 6
8
+ .
136 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Применим признак Даламбера. Запишем формулу для общего члена ряда
=
100 101 … (99 + )
2 4 …
(2
)
и вычислим предел
lim
= lim
100 101 … (99 + )99 +(+ 1)
2 4 …
(2)2(+ 1)
×
×
2 4 … (2
)
100 101
… (99 + )
=
= lim
100 +
2+ 2
=
1
2
< 1,
следовательно, признаку Даламбера рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.11. Исследовать сходимость ряда
4
2
+
4
7
2 6
+
4
7 10
2 6
10
+
4 7 10 13
2 6 10
14
+ .
Решение. Применим признак Даламбера. Запишем формулу для общего члена ряда
=
4 7 … (3+ 1)
2 6 …
(42
)
и вычислим предел
lim
=
= lim
4 7 … (3+ 1)
(3(
+ 1
)
+ 1
)
2 6 …
(42)
(4(
+ 1)2
)
×
×
2 6 … (42
)
4 7
… (3+ 1)
=
= lim
3+ 4
42
=
3
4
< 1,
следовательно, то по признаку Даламбера рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.12. Исследовать сходимость ряда
Глава 4. Числовые ряды 137
31
5
+ 6
(
)
.
Решение. Применим признак Коши. Обозначим
=
31
5
+ 6
(
)
и вы
числим предел
lim
= lim
3
1
5
+ 6
=
=
3
5
= 0 < 1,
следовательно, по признаку Коши рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.13. Исследовать сходимость ряда
+ 1
+ 5
.
Решение. Применим признак Коши. Обозначим
=
+ 1
+ 5
и вычислим предел
li
m
= lim
+ 1
+ 5
= 1.
Так как lim
= 1, то признак Коши не дает ответ на вопрос о
сходимости ряда.
Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда. Вы-
числим предел общего члена ряда:
lim
= lim
+ 1
+ 5
=(1
)
=
138 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= exp lim
+ 1
+ 5
1(3+ 2)=
= exp lim
4(3+ 2
)
+ 5
=
.
Так как предел общего члена ряда оказался отличен от нуля, то нарушено
необходимое условие сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.
Пример 4.2.14. Исследовать сходимость ряда
21
2
+ 5
.
Решение. Применим признак Коши. Обозначим
=
21
2
+ 5
и вычислим предел
lim
= lim
2
1
2
+ 5
=(1
)
=
= exp lim
2
1
2
+ 5
1
+ + 1
=
= exp lim
6(+ + 1
)
(
2
+ 5)
=
< 1,
следовательно, по признаку Коши рассматриваемый ряд сходится.
Пример 4.2.15. Исследовать сходимость ряда
1
4
+ 1
.
Решение. Применим признак Коши. Обозначим
=
1
4
+ 1
и вычислим предел
Глава 4. Числовые ряды 139
lim
= lim
1
4
1 +
1
=
4
> 1,
следовательно, по признаку Коши рассматриваемый ряд расходится.
Пример 4.2.16. Исследовать сходимость ряда
arcsin
3
+ 1
2+ 3
.
Решение. Применим признак Коши. Обозначим
= arcsin
3
+ 1
2+ 3
и вычислим предел
li
m
= lim
arcsin
3
+ 1
2+ 3
=
= arcsin lim
3
+ 1
2+ 3
=
= arcsin
3
2
=
3
> 1,
следовательно, по признаку Коши рассматриваемый ряд расходится.
Пример 4.2.17. Исследовать сходимость ряда
1
ln
.
Решение. Применим интегральный признак, для этого введем функ-
цию
(
)
=
1
ln
, [2, +
)
.
На промежутке
[
2, +
)
функция () удовлетворяет всем условиям инте-
грального признака. Найдем неопределенный интеграл от функции :
ln
=
ln
ln
= 2
ln + ,
140 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
следовательно, в качестве первообразной можно взять
()
= 2
ln .
Так как
lim
() = lim
2ln = +
то по следствию к интегральному признаку ряд расходится.
Пример 4.2.18. Исследовать сходимость ряда
1
ln
ln
(ln )
.
Решение. Применим интегральный признак, для этого введем функцию
(
)
=
1
ln
ln
(ln )
, [4, +
)
.
На промежутке
[
4, +
)
ф
ункция (
) удов
летворяет всем условиям инте-
грального признака. Найдем неопределенный интеграл от функции :
ln
ln
(
ln
)
=
ln(ln
)
ln
(
ln
)
=
1
2 ln
+ ,
следовательно, в качестве первообразной можно взять
()
=
1
2 ln
.
Так как
lim
() = lim
1
2 ln
= 0,
то по следствию к интегральному признаку ряд сходится.
4.3. Знакочередующиеся числовые ряды
Определение. Ряд
(1)
, где числа
имеют один и тот
же знак для всех , называется знакочередующимся.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]