Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 211
2
+
2
= 0.
Разделим переменные:
=
4
.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
= 4
,
получаем
ln
||
= 4 ln
|
|
+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
=
, .
Ша
г 2. Подставим функцию =
()
в дифференциальное урав-
нение
+
=
:
1
2
()
2()
+
2
()
=
,
следовательно,
1
2
()
=
,
()
= 2
.
Отсюда получаем
(
)
= 2
+ , .
П
одставляя выражение для
(
)
в
формулу =
()
, с учетом ра-
венства = 1/
получаем
1
=
(
2+ ), .
212 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
В результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе была записана функция , которая может обращаться в ноль, по-
этому решением дифференциального уравнения может оказаться функция
= 0. Подставим = 0 в уравнение
+ 2+
= 0, получаем
тождество:
0
+ 2 0 +
0
= 0.
Итак, получаем окончательный вид общего решения:
1
=
(
2+ ), ;
= 0.
Пр
имер 6.6.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
sin = 2.
Решение. Будем искать решение в виде функции = (). C
учетом
формулы
=
1
получаем
1
sin =
1
2.
Умножим обе части уравнения на
:
sin
2
=
2
,
следовательно,
1
2
=
sin
2
.
Мы получили уравнение Бернулли относительно функции = (). Разделим обе части уравнения на
:
Глава 6. Дифференциальные уравнения 213
1
2
1
=
sin
2
.
Выполним замену:
= () =
1
=
2
=
2
,
получаем линейное уравнение первого порядка:
2
1
2
=
sin
2
.
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
2
1
2
= 0.
Разделим переменные:
=
.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
=
,
получаем
ln
||
= ln||+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
=
, .
Шаг 2. Подставим функцию =
()
в дифференциальное уравнение
=
:
1
2
()
+
1
2
(
)
1
2
(
)
=
sin
2
,
следовательно,
214 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
1
2
()
=
sin
2
,
()
= sin .
Отсюда получаем
()= cos +
, .
Подставляя выражение для () в формулу = ()/, с учетом ра-
венства = 1/
получаем
1
=
cos
, .
В
результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе был записана функция , которая может обращаться в ноль, по-
этому решением дифференциального уравнения может оказаться функция
= 0. Подставим = 0 в уравнение
sin = 2, получаем тож-
дество:
0
sin = 02 0.
Ит
ак, получаем окончательный вид общего решения:
=
(
cos ), ;
= 0.
Пр
имер 6.6.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
2
ln
)
= .
Решение. Будем искать решение в виде функции = (). C
учетом
формулы
=
1
получаем
(
2
ln
)
1
= .
Умножим обе части уравнения на /:
Глава 6. Дифференциальные уравнения 215
2ln
=
,
следовательно,
+
1
= 2ln .
Мы
получили уравнение Бернулли относительно функции
= (). Р
аз-
делим обе части уравнения на
:
+
1
1
= 2 ln .
Выполним замену:
= () =
1
=
=
,
получаем линейное уравнение первого порядка:
+
1
= 2 ln .
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
+
1
= 0.
Разделим переменные:
=
.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
=
.
Получаем
ln
||
= ln
||
+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
= , .
216 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Шаг 2. Подставим функцию = () в дифференциальное уравне-
ние
+
= 2 ln , получаем
()
() +
1
()
= 2 ln ,
следовательно,
()
= 2 ln,
()
=
2 ln
.
Отсюда получаем
()= ln
+ , .
Подставляя выражение для () в формулу = (), с учетом ра-
венства = 1/
п
олучаем
1 =
(
ln
), .
6.7. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Определение. Уравнение вида
(, )+ (, )= 0
(6.4)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть яв-
ляется полным дифференциалом некоторой функции (
, ).
Д
ля того чтобы решить уравнение (6.4), необходимо найти функцию
(
, ),
полный дифференциал которой
(,
)
=
+
равен левой части уравнения (6.4). Тогда общее решение уравнения (6.4)
можно записать в виде
(
, )= , .
Глава 6. Дифференциальные уравнения 217
Для того чтобы уравнение (6.4) было уравнением в полных диффе-
ренциалах, необходимо, чтобы выполнялось условие
.
(6.5)
В таком случае общее решение дифференциального уравнения может быть
найдено из системы уравнений:
= (,
)
,
= (, ).
(6.6)
Пусть теперь уравнение вида (6.4) не является уравнением в полных
дифференциалах.
Опр
еделение. Интегрирующим множителем для уравнения вида
(6.4) называется функция (, ) 0, после умножения на которую урав-
нение (6.4) становится уравнением в полных дифференциалах.
О
бщего метода для нахождения интегрирующего множителя нет.
Рассмотрим два частных случая, в которых мы сможем легко найти интегрирующий множитель.
Случай 1. Если выполняется условие
= (
)
,
то уравнение (6.4) имеет интегрирующий множитель (), который может
быть найден по формуле
()
= exp
()
.
Сл
учай 2. Если выполняется условие
= (
)
,
218 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
то уравнение (6.4) имеет интегрирующий множитель (), который может
быть найден по формуле
()= exp ().
Пример 6.7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ )+(+ sin )= 0.
Решение. Обозначим
(, )=
+ ,
(, )= + sin .
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
+
)
= 1,
=
(
+ sin
)
= 1,
следовательно, рассматриваемое уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6)
:
= + ,
= + sin .
Из первого уравнения системы получаем
(, )= (
+ ),
следовательно,
(,
)
=
3
+ + (
)
.
(6.7)
Вычислим /:
=
3
+ + ()=
Глава 6. Дифференциальные уравнения 219
= + (
)
.
Подставляя найденное выражение для / в левую часть второго урав-
нение системы, получаем
+
()
=
+ s
in ,
сл
едовательно,
()
= sin ,
тогда
()= s
in
=
= cos + , .
По
дставляя ()= cos + в найденное выше для функции
(,
)
п
редставление (6.7), получаем окончательный ответ:
3
+ cos = , .
Пр
имер 6.7.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ +
)
+(2+ 3+ 5
)
= 0.
Реш
ение. Обозначим
(, )=
+ + ,
(
,
)
= 2+ 3
+ 5
.
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
+ +
)
= 2
,
=
(
2+ 3+ 5
)
= 2,
следовательно, рассматриваемое уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6):
220 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= + + ,
= 2+ 3+ 5
.
Из первого уравнения системы получаем
(, )= (
+ + ),
следовательно,
(,
)
=
3
+
+
2
+ (
)
.
(6.8)
Вычислим /:
=
3
+
+
2
+ ()= 2+ (
)
.
Подставляя найденное выражение для / в левую часть второго урав-
нение системы, получаем
2+ ()= 2+ 3
+ 5
,
следовательно,
()
= 3
+ 5
,
тогда
()= (3
+ 5
)
=
=
+ + , .
Подставляя ()=
+ + в найденное выше для функции
(,
)
представление (6.8), получаем окончательный ответ:
3
+
+
2
+ + = , .
Пример 6.7.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
1
)+(
)
= 0.
Решение. Обозначим
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]