Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 251
= (+ )
+
(
2+ + )+ cos +
+()
+
(
2+ )+ sin .
Аналогично вычислим вторую производную частного решения:
= (+ )
+
(
2+ + )+ cos +
+ ()
+
(
2+ )+ sin
=
=
(2
+
(
4+ 4+ 2)+ 2+ 2+ 2)cos +
+
(
2
+
(
424)+ 2+ 22)sin
)
.
Запишем в столбик производные и функцию, за чертой подпишем
коэффициенты при соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
= (+ )cos +(+ )sin ,
= (+ )
+
(
2+ + )+ cos +
+()
+
(
2+ )+ sin ,
= (2
+
(
4+ 4+ 2)+ 2+ 2+ 2)cos +
+
(
2
+
(
424)+ 2+ 22)sin
)
.
2
2
1
Сложим формулы, умноженные на соответствующие коэффициенты, и
приравняем коэффициенты при
cos , cos , cos , sin , sin ,
sin в левой и в правой части неоднородного уравнения:
cos :
cos :
cos :
sin :
sin :
sin :
222+ 2= 0,
2422+ 4+ 4+ 2= 0,
2+ 2+ 2+ 2= 2,
22+ 22= 0,
242+ 2+ 424= 4,
2+ 2+ 22= 0.
После приведения подобных получаем
= 0,
+ = 1,
= 1,
= 0.
252 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решая систему, находим = 1, = 0, = 0, = 0.
Таким образом, () = 2cos — частное решение неоднородного
уравнения, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид
()=
()
+
()
=
=
cos + sin +
2
cos ,
, .
Пример 6.10.4. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
()
= 15 sin 28+ .
Решение. Характеристический многочлен соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
()=
1;
у него четыре простых корня 1, 1, и . Общее решение однородного
уравнения имеет вид
()=
+ + cos + sin , , , , .
В правой части исходного дифференциального уравнения стоит сум-
ма функций, которые подходят под первый, второй и третий случаи.
Найдем частные решения
, и
уравнений
()
= 15 sin 2,
()
= 8
,
()
=
соответственно, тогда частное решение исходного уравнения может быть
получено по формуле
= + +
.
Найдем частное решение
уравнения
()
= 15 sin 2,
Глава 6. Дифференциальные уравнения 253
правая часть которого подходит под третий случай. Так как число = 2
не является корнем характеристического многочлена, то частное решение
будем искать в виде
= cos 2+ sin 2,
где , — неизвестные коэффициенты, тогда
()
=
(
cos 2+ sin 2
)
()
=
= 16cos 2+ 16sin 2.
Запишем в столбик
()
и
, за чертой подпишем коэффициенты при
соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
= cos 2+ sin 2,
()
= 16cos 2+ 16sin 2.
1
1
Сложим формулы, умноженные на соответствующие коэффициенты, и
приравняем коэффициенты при cos 2 и sin2 в левой и в правой части
неоднородного уравнения:
cos 2:
sin 2:
15= 0,
15= 15.
Следовательно, = 0, = 1. Мы п
олучили частное решение
(0)
= sin 2.
Найдем частное решение
уравнения
()
= 8
,
правая часть которого подходит под второй случай. Так как число = 1
является корнем характеристического многочлена, то частное решение будем искать в виде
=
,
где — неизвестный коэффициент. Вычислим
()
, для этого воспользу-
емся формулой Лейбница:
254 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
()
=
()
(
)()
= 4
.
Запишем в столбик
()
и
, за чертой подпишем коэффициенты при
соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
=
,
()
= 4
.
1
1
Сложим формулы, умноженные на соответствующие коэффициенты, и
приравняем коэффициенты при
и
в левой и в правой части неод-
нородного уравнения:
:
:
= 0,
4= 8,
следовательно, = 2. Мы п
олучили частное решение
= 2
.
Найдем частное решение
уравнения
()
= ,
правая часть которого подходит под первый случай. Так как число = 0 не
является корнем характеристического многочлена, то частное решение будем искать в виде
= + ,
где , — неизвестные коэффициенты, тогда
()
= 0. Подставляя
и
()
в дифференциальное уравнение
()
= , находим, что = 1,
= 0. Мы п
олучили частное решение
= .
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
()=
()
+
()
+
()
+
()
=
=
+ + cos + sin +
Глава 6. Дифференциальные уравнения 255
+ sin2+ 2
,
где
, , , .
Пример 6.10.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 4= 8 cos.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид
()=
+ 4;
у него два простых комплексно-сопряженных корня 2 и 2. Общее ре-
шение однородного уравнения имеет вид
()
=
cos 2+ sin 2, , .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. В правой части
исходного неоднородного уравнения стоит функция cos
, которая не
подходит ни под один из рассмотренных выше случаев. Воспользуемся
формулой понижения степени
cos
=
1 + cos 2
2
,
тогда неоднородное дифференциальное уравнение примет вид
+ 4= 4 + 4 cos 2.
Теперь в правой части стоит сумма функций, которые подходят под пер-
вый и третий случай. Найдем частные решения
и
уравнений
+ 4= 4,
+ 4= 4 cos2
соответственно, тогда частное решение исходного уравнения может быть
вычислено по формуле
= +
.
Найдем частное решение
уравнения
256 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+ 4= 4,
правая часть которого подходит под первый случай. Так как число = 0 не
является корнем характеристического многочлена, то частное решение будем искать в виде
()
= ,
где — неизвестный коэффициент, тогда
= 0 и
= 0. Подставляя
функцию и ее вторую производную в дифференциальное уравнение
+
4= 4, находим, что = 1. Мы п
олучили частное решение
() = 1.
Найдем частное решение
уравнения + 4= 4 cos2, правая
часть которого подходит под третий случай. Так как число = 2 является
корнем характеристического многочлена, то частное решение будем искать в виде
()
= cos 2+ sin 2,
где , — неизвестные коэффициенты. Вычислим первую и вторую про-
изводные частного решения:
=
(
cos 2+ sin 2
)
=
=
(
2+ )cos 2+(2)sin 2,
= (2+ )cos 2+(2)sin 2
=
=
(
44)cos 2(4+ 4)sin 2.
Запишем в столбик производные и функцию, за чертой подпишем
коэффициенты при соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
= cos 2+ sin 2,
=
(
2+ )cos 2+(2)sin 2,
=
(
44)cos 2(4+ 4)sin 2.
4
0
1
Глава 6. Дифференциальные уравнения 257
Сложим формулы, умноженные на соответствующие коэффициенты, и
приравняем коэффициенты при cos 2, cos 2, sin 2, sin 2, в левой и в
правой части неоднородного уравнения:
cos 2:
cos 2:
sin 2:
sin 2:
44= 0,
4= 4,
44= 0,
4= 0,
следовательно, = 0, = 1. Мы п
олучили частное решение
()
= sin 2.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
()=
()
+
()
+
()
=
=
cos 2+ sin 2+ 1 + sin 2, , .
Глава 7. Справочные сведения
7.1. Таблица интегралов
(
)
= (
)
;
((
)
± (
))= (
)
± (
)
;
0 = ; 1 = + ;
=
+ 1
+ , 1;
= ln
|
|
+ ;
=
ln
+ ;
= + ;
1 +
= arctg + ;
1
= arcsin + ;
1 ±
= ln +1 ± + ;
1
=
1
2
ln
+ 1
1
+ ;
sin = cos + ; cos = sin + ;
cos
= tg + ;
sin
= ctg + .
7.2. Интегрирование тригонометрических функций
7.2.1. Тригонометрические формулы
sin sin =
1
2
(
cos
(
)cos(+
))
;
cos cos =
1
2
(
cos
(
)
+ cos
(
+
))
;
sin cos =
1
2
(
sin
(
)
+ sin
(
+
))
.
Глава 7. Справочные сведения 259
7.2.2. Замена в интеграле от рациональной функции R(sin x, cos x)
Следующие замены используются для вычисления интегралов вида
(sin , cos
)
,
где
(, ) — рациональная функция вещественных переменных , :
1) если (sin , cos
)
=
(
s
in , cos
)
, т
о = cos ;
2) если (sin , cos
)
=
(
s
in , cos
)
, т
о = sin ;
3) если (sin , cos
)
=
(
s
in , cos
)
, т
о = tg или = tg ;
4) у
ниверсальная тригонометрическая подстановка (УТП):
=
tg
2
=
2
1 +
;
sin =
2
1 +
;
cos
=
1
1 +
.
7.3. Интегрирование иррациональных функций
7.3.1. Подстановки Эйлера
Пусть (, ) — рациональная
функция от двух переменных , .
Теорема. Интеграл вида
,+ +
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной в следующих случаях:
1) если > 0, то + + = ±
+ ;
2) если > 0, то + + = ±;
3) если трехчлен + + имеет корни ,
(возможно, один ко-
рень кратности 2), то
(
)(
)
= (
)
.
260 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
7.3.2. Интеграл от дифференциального бинома
Дифференциальным биномом (биномиальным дифференциалом)
называется выражение следующего вида
(
+
)
, где , , , , .
Тео
рема. Интеграл от дифференциального бинома
(
+
)
с
водится к интегралу от рациональной функции с помощью замены пере-
менной в следующих случаях:
1) ес
ли — целое, то
=
, где — общий знаменатель дробей и ;
2) если
— целое, то + = , где — знаменатель дроби ;
3) если
+ — целое, то
+ = , где — знаменатель дроби .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]