Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
Федеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
(ГОУ ВПО «СибГУГИ»)
Н.А. ЛОГИНОВА
Непрерывные случайные процессы
в непрерывном времени
Учебное пособие
Новосибирск
2009
УДК 519.21
Н.А.Логинова. Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени:
Учебное пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2009, 60 стр.
Учебное пособие содержит основополагающие сведения по теории непре-
рывных случайных процессов и методам их преобразований, примеры решения
типовых задач, задания для самостоятельного решения. Рассмотрены свойства
некоторых случайных процессов, часто встречающихся в радиотехнике и теории связи. Оно предназначено для студентов технических специальностей
дневной и заочной форм обучения.
Кафедра высшей математики
Ил. 26, список лит. - 9 наим.
Для направлений: 210400, 210300, 210200
Рецензенты: дф-мн, профессор Б.П.Сибиряков
кф-мн, доцент Ю.В.Кривцов
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного
пособия.
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2009
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Основные определения и классификация случайных
процессов……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..4
1.2. Законы распределения и числовые характеристики случайных
процессов.……..……..……..……..……..……..……..……..……..…….5
1.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства…..…...7
1.4. Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов……10
ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.1. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого……...11
2.2. Умножение случайной функции на неслучайный множитель………12
2.3. Сложение случайных процессов……..……..……..……..……..……..13
2.4. Дифференцирование случайного процесса……..……..……..……….15
2.5. Интегрирование случайного процесса……..……..……..……..……...19
2.6. Каноническое разложение случайного процесса……..……..……..…22
ГЛАВА 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Определение и свойства стационарного случайного процесса……...25
3.2. Дифференцирование и интегрирование стационарных случайных
процессов……..……..……..……..……..……..……..……..……..……28
3.3. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на
конечном временнóм интервале…..……..……..……..……..…….…..31
3.4. Спектральное разложение стационарного случайного процесса
на бесконечном временном интервале……..……..……..……..……..33
3.5. Понятие эргодического случайного процесса……..……..……..…….39
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В
РАДИОТЕХНИКЕ
4.1. Гармонический сигнал со случайной амплитудой……..……..……...42
4.2. Гармонический сигнал со случайными амплитудой и фазой……….43
4.3. Гармонический сигнал со случайной амплитудой и
случайной частотой ……..……..……..……..……..……..……..……..48
4.4. Нормальный случайный процесс……..……..……..……..……..……..49
4.5. Белый шум……..……..……..……..……..……..……..……..……..…..53
ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ…..……..……..……..……..……..…...56
ОТВЕТЫ …..……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..…...58
ЛИТЕРАТУРА......……..……..……..……..……..……..………..………….……59
4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
)(tX
)(tX
)(tx
i
)(tX
)(),...,(),(
21
txtxtx
n
)(tX
)(tx
i
)(tX
)(tX
)(tX
1.1. Основные определения и классификация случайных процессов
Случайным процессом (случайной функцией)
называется функция
неслучайного аргумента t, значения которой для любого фиксированного значения t являются случайными величинами. В отличие от детерминированных
процессов, течение которых определено единственным образом, случайный
процесс описывает изменения во времени (или в пространстве) физической системы, которые заранее предсказать нельзя.
Хорошо известными примерами случайных процессов являются: броуновское движение частицы, взвешенной в однородной жидкости или газе, случайные ошибки измерения непрерывно изменяющихся величин, а также флюктуационные шумы в радиотехнических устройствах (помехи), присутствие которых приводит к тому, что реальные электрические сигналы являются, как
правило, случайными функциями времени. Примерами случайных функций, аргументом которых является не время, а пространственная переменная, могут
быть: характеристика прочности неоднородного стержня в зависимости от его
длины, высота профиля шероховатой поверхности вдоль выбранного направления, скорость ветра над заданной точкой земной поверхности как функция высоты и т.д. Без нарушения общности аргумент случайной функции обычно
называют временем и обозначают t.
Пусть для изучения какой-либо физической закономерности, описываемой случайной функцией
, произведено n опытов. В каждом i- том опыте
будет получена вполне определенная, то есть неслучайная функция
ваемая реализацией случайного процесса
. Совокупность всех реализаций
, назы-
образует так называемое “семейство” (или “пучок”) кривых,
статистические свойства которого и определяют свойства изучаемого процесса
.
Если аргумент t может принимать любые значения на заданном интерва-
ле (конечном или бесконечном), а реализации
времени, то
называют непрерывным случайным процессом в непрерыв-
- непрерывные функции
ном времени (или просто непрерывным случайным процессом). Если же при
непрерывном t значения
дискретны,
называют дискретным слу-
чайным процессом.
Рис. 1.
5
На рис.1 и рис.2 приведены примеры реализаций непрерывного и дис-
,...,...,,
21 k
ttt
)(tX
)(1tX,),..,(2tX
),...(ktX
tkt
k
k
t
1k
t
22,1
,...,,
k
ttt
21
,
,...),;()(
21
tStX
)(tX
)(),...,(),(
21
txtxtx
n
1
tt
кретного случайных процессов в непрерывном времени, соответственно.
Рис. 2.
В случае, когда аргумент t может принимать только определенные дискретные значения
, а значения
могут быть любыми, случай-
ный процесс представляет собой случайную последовательность этих значений
. Такую последовательность образуют, например,
координаты броуновской частицы в дискретные моменты времени
кратные t.
Если значения случайной последовательности образуют лишь дискретное
множество, то реализуется дискретная случайная последовательность. При-
мером дискретной случайной последовательности является простая цепь Маркова, которая представляет собой такую последовательность состояний системы, в которой вероятность перехода в одно из возможных состояний в момент
времени
и не зависит от того, какие состояния принимались в моменты
зависит только от предшествующего состояния в момент времени
.
Особым классом случайных процессов являются так называемые эле-
ментарные (квазидетерминированные) случайные функции, для которых зави-
симость от t задана неслучайной функцией S, содержащей один или несколько
случайных параметров
,… не зависящих от времени:
(1.1)
В данном пособии будут рассмотрены основные закономерности, прису-
щие лишь непрерывным процессам в непрерывном времени, далее именуемыми
просто случайными процессами (или случайными функциями).
1.2. Законы распределения и числовые характеристики случайных
процессов.
Пусть в результате n независимых опытов получено n реализаций случайного процесса
, которые представлены на рис.3 в виде семейства кри-
,
вых
.
Каждая из них является неслучайной (детерминированной) функцией ар-
гумента t. Но если зафиксировать значение аргумента, например, в точке
,
6
случайная функция
)(tX
)(11tXX
)(),...,(),(
11211
txtxtx
n
1
X
)(tX
1
t
})({);(
1111
xtXPtxF
1
11
11
);(
);(
x
txF
txf
1
t
)]([1tXM
)(1tXD
)(tX
1
t
1
t
dxtxfxtmtXM
x
);()()]([
dxtxftmtXtmtXMtDtXD
xxx
);()]()([)]()([)()]([
22
)(tm
x
)(tD
x
)(tX
t
)(tm
x
становится случайной величиной
, значе-
ния которой равны
сечением случайного процесса
. Случайная величина
в момент времени
называется
. Она полностью ха-
рактеризуется своим одномерным законом распределения, то есть функцией
распределения
, зависящими от
как от параметра.
и плотностью распределения
Рис.3
Знание одномерного закона распределения для сечения случайного про-
цесса позволяет определить такие важные для практики числовые характеристики, как математическое ожидание
чайного процесса
поскольку момент времени
для рассматриваемого момента времени
выбран произвольно, индекс 1 можно опустить и
и дисперсию
слу-
. При этом,
записать:
Таким образом, математическое ожидание
случайного процесса
аргумента
. При этом математическое ожидание
являются не числами, а функциями неслучайного
(1.2)
(1.3)
и дисперсия
представляет собой
некоторую среднюю линию для пучка всех возможных реализаций случайного
7
процесса (на рис.3 она выделена пунктирной линией), а дисперсия
)(tD
x
)(tm
x
)(t
x
)()( tDtxx
)(tX
)(1tX
)(2tX
)(tX
1
t
2
t
)(),(
2211
tXXtXX
),;,(
2121
ttxxf
21
, XX
212121221121
),;,())())(((),(
21
dxdxttxxftmxtmxttK
xxXX
1
t
2
t
характеризует разброс реализаций относительно средней линии
Среднее квадратическое отклонение
, получаемое по формуле
, (1.4)
.
также является функцией аргумента t.
1.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
Одномерный закон распределения для сечений случайного процесса и
получаемые с его помощью математическое ожидание и дисперсия являются
весьма важными, но далеко не полными характеристиками случайного процесса
, так как они не отражают его внутреннюю структуру, не содержат ин-
формации о взаимосвязи между значениями процесса в различные моменты
времени. Так, например, две случайные функции
и
, представлен-
ные на рис.4 и рис.5 семействами своих реализаций, имеют примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии, но совершенно различны по характеру изменения во времени. Очевидно, что в первом случае зависимость между
значениями случайного процесса гораздо слабее, чем во втором.
Рис.4 Рис.5
Для того чтобы учесть связь между значениями процесса
ные моменты времени
и
(рис.3), необходимо знание двумерной плотно-
в различ-
сти совместного распределения двух его сечений
, которая позволяет определить корреляционный момент для си-
стемы случайных величин
по известной формуле теории вероятно-
стей:
(1.5)
Таким образом, корреляционный момент сечений случайного процесса
зависит от значений аргумента
и
, то есть является неслучайной функцией
8
двух переменных. Эта функция называется корреляционной функцией ( иногда
)(tX
),(21ttK
x
)()()()()()(),(
21221121
tXtXMtmtXtmtXMttK
xxx
)()()(),()()(
222111
tmtXtXtmtXtX
xx
)(tX
1
t
2
t
ttt
21
)()()(),(
2
tDtmtXMttK
xxx
),(),(
1221
ttKttK
xx
21
,tt
автокорреляционной функцией) случайного процесса
и обозначается
.
Формула (1.5) может быть записана в виде:
где
чайного процесса
При
для моментов
получаем:
и
- центрированные сечения слу-
.
, (1.7)
, (1.6)
то есть корреляционная функция обращается в дисперсию случайного процесса. Таким образом, понятие корреляционной функции включает в себя и понятие дисперсии.
Основными свойствами корреляционной функции являются:
1.
- свойство симметрии относительно своих аргу-
ментов.
Рис. 6.
Геометрически это означает, что поверхность, изображающая корреляционную функцию, симметрична относительно плоскости, проходящей через
биссектрису координатного угла плоскости
и ось аппликат (рис.6). Значе-
9
ния
),(21ttK
x
ttt
21
)(),( tDttK
xx
),(),(),( ttKttKttK
xxx
),( tt
21
,tt
0)()(),(
212121
dtdtttttK
B B
x
)(t
),(21ttK
x
)(tX
),(21ttr
x
)()(
),(
),(),(
),(
),(
21
21
2211
21
21
tt
ttK
ttKttK
ttK
ttr
xx
x
xx
x
x
11
x
r
)(tX
2n
)(),...,(),(
21 n
tXtXtX
),...,,;,...,,(
2121 nn
tttxxxf
n
ttt ,...,,
21
для точек биссектрисы, на которой
, равны значениям
дисперсии
Рис 7.
для момента t.
2.
-
свойство, означающее, что значение
корреляционной функции в любой
точке
не может превышать по
модулю среднее геометрическое ее
значений на главной диагонали в
точках ее пересечения с прямыми,
параллельными осям
(рис.7).
Оно непосредственно вытекает из
аналогичного неравенства для корреляционного момента двух случайных величин.
3.
для любой функции
и любой об-
ласти интегрирования B (свойство положительной определенности корреляционной функции).
Вместо корреляционной функции
рата единицы измерения
, удобно использовать безразмерную нормиро-
ванную корреляционную функцию (коэффициент корреляции)
модуль которой не превосходит 1, то есть
, имеющей размерность квад-
:
, (1.8)
.
Для решения задач, в которых необходимо учитывать значения случайно-
го процесса
одновременно для
значений аргумента t, требуется
знание совместного закона распределения n ее сечений
то есть n-мерной плотности распределения
сящей от n значений аргумента
как от параметров. Однако во многих
, зави-
,
практически важных случаях оказывается достаточным знание корреляционной
функции, математического ожидания и дисперсии.
Раздел теории случайных процессов, в котором описание их свойств
строится на основе не более чем двумерных законов распределения, называется
корреляционной теорией.
10
1.4. Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов
)(tX
)(tY
1
t
2
t
dxdyttyxftmytmxttK
yxyx
),;,()()(),(
212121
)()()()()()(
212211
tYtXMtmtYtmtXM
yx
)(),(
21
tmtm
yx
)(tX
)(tY
1
t
2
t
),;,(
21
ttyxf
)(1tX
)(2tY
)(tX
)(tY
1
t
2
t
)()()(),()()(
222111
tmtYtYtmtXtX
yx
)(tX
)(tY
1
t
2
t
)(tX
)(tY
)(tX
)(tY
),(21ttK
yx
1
t
2
t
),(21ttK
yx
0
)(tX
)(tY
1
t
2
t
)()(
),(
),(),(
),(
),(
21
21
2211
21
21
tt
ttK
ttKttK
ttK
ttr
yx
yx
yx
yx
yx
)(),(
21
tt
yx
)(tX
)(tY
1
t
2
t
1),(
21
ttr
yx
),(21ttK
xy
),(12ttK
yx
)(tY
)(tX
vxxvvx
mVtmtXMtKtK )()()()(
Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов
называется корреляционный момент сечений этих процессов для произ-
и
вольных значений их аргументов
=
где
времени
сечений
и
- математические ожидания процессов
и
;
случайных процессов
- двумерная плотность совместного распределения
ветственно;
чения процессов
и
для моментов
Случайные процессы
и
и
:
, (1.9)
и
и
в моменты
- центрированные се-
и
.
называются коррелированными, если
их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.
Случайные процессы
их взаимная корреляционная функция
чениях
и
:
и
называются некоррелированными, если
равна нулю при любых зна-
.
в моменты
и
, соот-
Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных
процессов
произвольных значениях их аргументов
и
называется коэффициент корреляции их сечений при
и
:
, (1.10)
где
для моментов
- средние квадратические отклонения процессов
и
, соответственно;
.
и
В соответствии с (1.9), при изменении порядка, в котором берутся случайные процессы, аргументы взаимной корреляционной функции меняются местами:
В частном случае, если
=
.
представляет собой не случайную функцию,
а случайную величину V, формула (1.9) определяет взаимную корреляционную
функцию случайной функции
и случайной величины V, которая будет
зависеть только от t:
. (1.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]