Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
21
t t
dVdVtY
0 0
.)()()(
t
d0)(
t
v
t t
y
dmVMddVMtm
00 0
,)()()()(
)()(),(
2121
tYtYMttK
y
.)())()(
)()()()(
1 21 2
2 21 1
0 0
2121
0 0
2211
2
0 0
2222
0 0
1111
t t
v
t t
v
t t
v
t t
v
ddDddmVM
dmdVdmdVM
)(tX
t
eU
uu
Dm ,
t
dXtY
0
)()(
)1()(
0
0
t
u
t
t
u
uy
e
m
e
m
demtm
),1()1(),(
21
2
2
1
1
2
2
00
121
tt
u
tt
uy
ee
D
dedeDttK
.)1(),()(
2
2
t
u
yy
e
D
ttKtD
)(tX
;0)( tm
x
.
)(1
1
),(
2
12
21
tt
ttK
x
t
dXtY
0
)()(
t
xy
dmtm
0
0)()(
1
0
2
12
2
00 0 0 0
2211212121
1 21 2 1 2
)(1
),(),(),(
d
d
dKddKttK
t tt t t t
xxy
(2.26)
Интеграл
является интегралом с переменным верхним пределом
от неслучайной функции и сам является неслучайной функцией, поэтому его
можно выносить за знак математического ожидания. В этом случае
Пример 9. На вход интегрирующего устройства поступает случайный
процесс
=
, где U- случайная величина с характеристиками
,
- вещественное число. Найти характеристики процесса
на вы-
ходе интегратора.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.25) для элементарной слу-
чайной функции получаем:
Пример 10. Случайная функция
имеет характеристики:
,
Найти характеристики случайной функции
.
Р е ш е н и е.
22
;
)(1
)1()1(
ln
2
1
)()()()(
2
21
2
2
2
1
2121221
0
11112
1
tt
tt
ttarctgtttarctgttarctgtdarctgarctg
t
).1ln(2),()(
2
tarctgttttKtD
yy
)(tX
1
)()()(
k
kx
tVtmtX
)()( tXMtm
x
)(tX
,...,...,,
21 k
VVV
0
i
v
m
;,...,,
21 k
vvv
DDD
)(),...(),(
21
ttt
k
jikjiVVMKDVDmVM
jivvvkvk
jikk
,...,,...,2,1,;0,,0
)()( tYtV
kkk
)()()()()()( tXtmtmtXtmtX
xxx
)(tX
1
)()(
k
k
tVtX
,...,...,,
21 k
VVV
)(),...(),(
21
ttt
k
)(tX
,...,...,,
21 k
VVV
)(tX
1
)()()()(
k
xkx
tmtVMtmtXM
2.6. Каноническое разложение случайного процесса.
Каноническим разложением случайного процесса
называется его
представление в виде
где
- математическое ожидание случайного процесса
, (2.27)
- некоррелированные, центрированные случайные величины с
равными нулю математическими ожиданиями
и дисперсиями
- неслучайные функции аргумента t:
Таким образом, каноническим разложением случайного процесса являет-
ся представление его в виде суммы его математического ожидания и некоррелированных элементарных случайных функций
.
,
Поскольку
выражения (2.27) следует каноническое разложение для центрированного случайного процесса
Случайные величины
канонического разложения, а неслучайные функции
динатными функциями канонического разложения. Каноническое разложе-
ние может содержать как конечное, так и бесконечное число членов разложения.
Найдем характеристики случайного процесса
ноническим разложением (2.27). Для фиксированного значения аргумента t
выражение (2.27) представляет собой линейную функцию центрированных
случайных величин
остается прежним:
, из
:
. (2.28)
называются коэффициентами
- коор-
, заданного своим ка-
, поэтому математическое ожидание
. (2.29)
23
Найдем корреляционную функцию для
)(tX
,)()()()(
)()()()(),(
1 1
21
1 1
21
1 1
212121
i j
jiji
i j
jiji
i j
jjiix
VVMttttVVM
tVtVMtXtXMttK
),( ji
ji
0
ji
VVM
i
V
j
V
ji
i
viji
DVMVVM
2
)(tX
1
2121
)()(),(
i
viix
i
DttttK
21
tt
)(tX
i
v
i
ixx
DtttKtD
1
2
)(),()(
)(tX
1
2
2
1
1
2
1
21
21
21
21
)()(
)()(
)()(
),(
),(
j
vj
i
vi
i
vii
xx
x
x
ji
i
DtDt
Dtt
tDtD
ttK
ttr
)(tX
)(tX
)(tX
)(tX
)(t
k
)(tX
:
где суммирование распространяется на все пары значений
Но при
При
ция случайного процесса
, в силу некоррелированности
. Следовательно, корреляционная функ-
, заданного своим каноническим разложением
.
и
.
(2.27), имеет вид:
При
получаем выражение для дисперсии
(2.30)
:
. (2.31)
Нормированная корреляционная функция случайного процесса
представленного своим каноническим разложением (2.27), будет иметь вид:
,
(2.32)
Выражения (2.30) и (2.31) называются каноническим разложением кор-
реляционной функции случайного процесса
нием дисперсии случайного процесса
, соответственно. Доказано [1], что
если корреляционная функция случайного процесса
и каноническим разложе-
представлена своим
каноническим разложением (2.30), то центрированный случайный процесс
может быть представлен каноническим разложением (2.28).
Канонические разложения оказываются очень удобными для анализа
случайных процессов, так как зависимость от аргумента t выражается в них
при помощи неслучайных координатных функций
, что во многих случаях
позволяет свести операции над случайными функциями к соответствующим
операциям над неслучайными координатными функциями.
Так, например, дифференцирование (интегрирование) случайного про-
цесса
, заданного каноническим разложением, сводится к дифференциро-
ванию (интегрированию) математического ожидания и всех его координатных
функций:
24
),()()()(
1
tVtmtXtY
k
kkx
1
000
.)()()()(
k
t
kk
t
x
t
dVdmdXtZ
При этом, в соответствии с формулами (2.19),(2.24),(2.29-2.31), получаем
)(tY
)(tZ
1
2121
;)()(),();()()(
k
vkkyxy
k
DttttKtmtXMtm
k
v
k
ky
DttD
1
2
)()(
2
0 0 0
211
1
21
0
1 2
)()(),(,)()()(
ddDttKdmdXMtm
t
t t
kk
k
vzx
t
z
k
2
1
0
)()(
k
t
kvz
dDtD
k
,sincos)(
21
tVtVttX
1
V
2
V
2)()(
21
VDVD
)(tX
ttMtXM )(
),(21ttK
x
)(tX
)()()()()()(),(
222121211121
VDttVDttttK
x
);(cos2)sinsincos(cos2
222121
tttttt
.2),()( ttKtD
xx
)(tX
)()( tXtY
t
dXtZ
0
)()(
;1)(
ttm
y
для характеристик процессов
и
:
; (2.33)
. (2.34)
Пример 11. Дана случайная функция
и
- некоррелированные случайные величины с математическими ожидания-
ми, равными нулю, и с дисперсиями
случайной функции
.
. Найти характеристики
;
где
Р е ш е н и е. Очевидно, что
ляционной функции
заметим, что
. Для нахождения корре-
представлена своим канони-
ческим разложением, так как является суммой математического ожидания и
двух некоррелированных элементарных случайных функций с нулевыми математическими ожиданиями. Согласно формуле (2.30)
Пример 12. Для функции
цессов
и
Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.33),
Примера 11 найти характеристики про-
.
25
212121
coscos2)sin(sin2),( ttttttK
y
);(cos2)coscossin(sin2
12
2
2121
2
tttttt
.2),()(
2
ttKtD
yy
;
2
)(
0
2
t
z
t
dtm
1 21 2
0 0
21211
0 0
22211121
sinsin)(coscos)(),(
t tt t
z
ddVDddVDttK
);(cos
2
coscossinsin
2
12
2
2121
2
tttttt
.
2
),()(
2
ttKtD
xz
По формулам (2.34),
ГЛАВА 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Определение и свойства стационарного случайного процесса
На практике очень часто встречаются случайные процессы, вероятностные характеристики которых обладают устойчивостью во времени и не зависят
от начала его отсчета. Реализации таких процессов имеют вид непрерывных
колебаний относительно некоторого постоянного среднего значения и не обнаруживают тенденции к изменению ни по частотному составу, ни по амплитуде
колебаний. Такие процессы называются стационарными (или однородными)
случайными процессами. В качестве примеров таких процессов можно привести: 1) вертикальные перемещения самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) случайные колебания напряжения в электрических цепях; 3) шумы радиотехнических устройств; 3) шероховатость обработанной
поверхности и т.д. Семейство реализаций такого процесса приведено на рис. 8а.
На рис.8б приведена совокупность реализаций явно нестационарного процесса,
который характеризуется значительным ростом его дисперсии во времени.
Рис.8а
26
)(tX
);( txf
),;,(
2121
ttxxf
12tt
);,();,(),;,(
);(),(
2112212121
xxfttxxfttxxf
xftxf
constmdxxfxtmtXM
xx
)()()]([
constDdxxfmtXtmtXMtXD
xxx
)(])([)]()([)]([
22
)()();,())((),(
122112212121
xxxxx
KttKdxdxttxxfmxmxttK
12tt
xxxx
DKttKtD )0(),()(
),(),(
1221
ttKttK
xx
)(tX
)(
12
ttK
x
)(
21
ttK
x
)()(
xxKK
)(
x
K
Рис.8б
В рамках корреляционной теории стационарным называется случайный
процесс
, одномерная плотность распределения которого
не зависит
от рассматриваемого момента времени t, а двумерный закон распределения
зависит только от разности моментов времени
:
(3.1)
С учетом (3.1) выражения для математического ожидания, дисперсии и
корреляционной функции 1.2-1.5 принимают вид:
, (3.2)
; (3.3)
(3.4)
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия стационарного случайного процесса являются постоянными величинами, а его корреляционная функция зависит только от разности моментов времени
, то есть является функцией одной переменной . Значение дис-
персии, как и ранее, может быть получено из выражения для корреляционной
функции:
.
В силу общего свойства симметрии корреляционной функции
для стационарного процесса
,
, то есть корреляционная функция стационарного
процесса является четной функцией от (рис.9а). Вместо
получаем:
на практике
часто используют коэффициент корреляции (нормированную корреляционную
27
функцию)
x
x
x
D
Kr)(
)(
0
0
tVtVttX
sincos)(
21
)(tX
)(tX
cos2)(cos2),(
2221
ttttK
x
consttD
x
2)(
tmx
tVtVtmtXtX
x
sincos)()()(
21
2,cos2)(,0
XXX
DKm
, максимальное значение которого, равное 1, достига-
ется при
.
Из-за четности обеих функций обычно рассматривают их только при
(сплошная линия на рис.9б).
Рис.9а
Рис.9б
Пример 13. Является ли стационарным случайный процесс
в примере 11? Является ли стационарным центри-
рованный случайный процесс
Р е ш е н и е. Случайный процесс
?
стационарным не является, так как
условию стационарности удовлетворяют только корреляционная функция
и дисперсия
ческое ожидание
процесса
полнены:
зависит от времени . Для центрированного случайного
условия стационарности вы-
.
, а математи-
28
Пример 14. Является ли стационарным случайный процесс
VtXtY )()(
V
m
V
D
)(tX
)(,,
xxx
KDm
)(tY
,)( constmmtm
Vxy
constDDKtDKDKttK
vxyyyVxy
)0()(),()(),(
21
)(tY
12tt
)(tY
)(tX
)()( tXtY
)(tX
;0)()(
xX
mtmtYM
2
2
2
2
12
221
12
2
21
)(
)(
)(
)(
)()(
),(
1
t
K
K
t
tt
K
ttt
ttK
ttK
x
x
t
xx
X
.
)()()()(
2
2
2
12
2
2
xx
K
t
ttK
.
)(
)0()(
0
2
2
constD
K
KtD
X
x
XX
, где V- случайная величина с математическим ожиданием
,
дисперсией
с характеристиками
Р е ш е н и е. Проверим условия стационарности процесса
, а
- стационарный случайный процесс, не зависящий от V,
?
:
Поскольку математическое ожидание и дисперсия процесса
являют-
ся постоянными величинами, а его корреляционная функция зависит только от
разности аргументов
,
является стационарным случайным про-
цессом.
3.2. Дифференцирование и интегрирование стационарных случайных процессов.
Рассмотрим производную стационарной случайной функции
:
Применяя формулы (2.19) к выражениям (3.1), получим для математиче-
ского ожидания и корреляционной функции производной стационарного случайного процесса
:
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Таким образом, производная стационарного случайного процесса так-
же является стационарным случайным процессом, при этом его математическое ожидание тождественно равно нулю.
29
Для того чтобы стационарная случайная функция
)(tX
)(tX
0
)(tX
t
tdtXtZ
0
)()(
)(tX
)(tZ
t
xxz
tmtdmtmtZM
0
;)()]([
,)()(),(
1 2
1
1 2
00 0
21
t tt
t
x
t t
xz
dKtdtdtdttKttK
dtdtt
,
t
);(
21
tt
),0;(1t
);(),;0(
21212
ttttt
была дифферен-
цируемой, необходимо и достаточно существования второй производной от
корреляционной функции процесса
при
, что, согласно формуле
(3.7), равносильно условию конечности дисперсии процесса
. Очевидно,
что первая производная от корреляционной функции должна быть непрерывной.
Получим выражения для характеристик интеграла
ционарного случайного процесса
.
от ста-
В соответствии с формулами (2.25) применительно к выражениям (3.1)
получаем для математического ожидания и корреляционной функции процесса
:
где
.
(3.8)
Изменим порядок интегрирования и выполним интегрирование по
,
разбив область интегрирования по
(рис.10):
на три интервала
Рис.10
30
tdKtdKdtdKdttK
t
t tt t t
tt
xxxz
0
0 0
21
1
1 12 1 2
12
)()()(),(
2
121
12
)()()())((
2
0
0
11
t
tt
x
t
tt
xx
dKtdKtdtK
121 2
0
12
0 0
21
)()()()()(
tt
x
t t
x
dttdKtdKt
.
)()(
xxKK
121 2
0
12
0 0
2121
)()()()()(),(
tt
x
t t
xz
dttdKtdKtttK
ttt
21
)(tZ
t
xzz
dKtttKtD
0
)()(2),()(
)(tZ
1
t
2
t
)(tX
22
2
)(
eK
xx
dt
tdXtY)(
)(
;212)2(2
)2(
)(
),(
2222222
222
2
2
2
1
222222
2222
eee
ee
K
ttK
xx
xx
x
y
.2)0(
22
xy
KD
t
dttXtZ
0
)()(
ct 20
.
1
1,0,10,)(
2
2
22
с
с
см
eK
x
Используя свойство четности корреляционной функции
,
получаем окончательное выражение для корреляционной функции интеграла
от стационарного случайного процесса:
Полагаем в этом равенстве
сии
:
, получаем выражение для диспер-
, (3.10)
(3.9)
которое, как и математическое ожидание, зависит от t. При этом корреляционная функция
зависит от обоих аргументов
и
. Итак, интеграл от
стационарного случайного процесса не является стационарным, так как
свойствами стационарности не обладает.
Пример 15. Дана корреляционная функция стационарного случайного
процесса
:
. Найти корреляционную функцию и диспер-
сию для процесса
Р е ш е н и е . По формулам (3.6) и (3.7) получаем:
Пример 16. Найти дисперсию интеграла от стационарного случайного
процесса
при
.
, если
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]