Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
51
а одномерная плотность распределения имеет вид:
)(2
))((
2
2
)(2
1
);(
t
tmz
z
z
z
e
t
tzf
,)(;)(;)(;)(
2222
zzzzyyyy
tmtmtmtm
2
2
2
)(
2
1
)(
y
y
my
y
eyf
2
2
2
)(
2
1
)(
z
z
mz
z
ezf
)(tX
,50x
20;10
2
xx
m
)(tX
2
2
2
)(
2
1
)(
x
xy
mx
x
exf
,134,05,0366,05,0)11,1(
20
105
)()5(
000
5
dxxfXP
x
t
dtex
0
2
0
2
2
1
)(
)(tY
)()()( tbttXtY
)(tX
),(),(
2
ttm
xx
),,(21ttK
x
)(tb
)(tY
)()()]()([)( tbttmtbttXMtm
xy
)]()([),(
2121
tYtYMttK
y
)()()()()()()()(
111111111111
tbttmtbttXtbttmtbttXM
xx
(4.23)
Для стационарного нормального случайного процесса зависимость от t
для математического ожидания и дисперсии отсутствует:
поэтому формулы (4.22) и (4.23) принимают вид:
;
для любого момента времени t.
Пример 22. Для нормальной стационарной функции
ность того, что ее значения не превышают величины
ческое ожидание и дисперсия равны:
Р е ш е н и е. Так как случайная функция
.
стационарна и имеет нор-
найти вероят-
если ее математи-
мальное распределение, ее одномерная плотность распределения для любого
момента времени имеет вид:
,
а искомая вероятность будет равна
где
Пример 23. Случайный процесс
- функция Лапласа.
имеет вид:
, где
- нормальный случайный процесс с характеристиками
а
распределения процесса
Р е ш е н и е.
- неслучайная функция времени. Найти одномерную плотность
и его характеристики.
;
52
)()()()()()()()(
2221112211
tmtXttmtXtMtmtXtmtXM
xxxx
).,()]()([
21212121
ttKtttXtXMtt
x
);(),(),()(
22
tDtttKtttKtD
xxyy
)(2
)]()([
)(2
))((
22
2
2
2
)(2
1
)(2
1
);(
tt
tbttmy
x
t
tmy
y
x
x
y
y
e
tt
e
t
tyf
VtX )(
2
,vvm
btb )(
;)()(;),(,)(
2222
2121 xyyvyvy
tttDttttKbtmtm
22
2
2
)]([
2
1
);(
v
x
t
btmy
v
e
t
tyf
yyy
DKm ),(,
)()( tXtY
)(tX
cos)(
22
2
eK
xx
0,
,0
xymm
cos
)(
)(
22
2
2
2
e
K
K
x
x
y
sincos2
2222
222
ee
xx
)cossin2(sincos)21(2
22222
22
e
x
;44(cos
24222
22
e
x
.4);4()0(
22222
xyxyy
KD
)()( tXtY
222
2
2
2
)4(2
22
2
)4(2
1
2
1
)(
x
y
y
x
y
y
eeyf
В частном случае, если
нормальному закону с параметрами
Пример 24. Найти характеристики
ность распределения производной
случайного процесса
, если его корреляционная функция задана выраже-
нием:
где
- неслучайные числа.
.
- случайная величина, распределенная по
, а
- неслучайная величина, то
.
и одномерную плот-
стационарного нормального
,
Р е ш е н и е.
так как математическое ожидание стационар-
ного случайного процесса не зависит от времени;
Одномерная плотность распределения для процесса
равна:
.
53
4.5. «Белый шум»
)(t
)(
S
constSS 0)(
0
S
0
0,0
0,
)()(
CK
00
)(
1
)( S
C
e
C
deCS
ii
0
SC
)()(
0
SK
0,0
,0,1
)(
r
Белым шумом называется стационарный случайный процесс
тральная плотность которого
частот в диапазоне
Такой спектр называется равномерным, а
является постоянной величиной для всех
:
(4.24)
называется интенсивно-
, спек-
стью белого шума. (Слово «белый» заимствовано из понятия «белый свет» в
оптике, для которого интенсивность всех спектральных компонент считается
одинаковой). Дисперсия такого процесса должна быть бесконечной, поэтому
белый шум является идеализацией, никогда не реализуемой в действительности. Однако использование белого шума в качестве модели шумовой компоненты на входе радиотехнических устройств бывает весьма полезным в тех случаях, когда в рассматриваемом диапазоне частот спектральную плотность можно
считать постоянной.
Корреляционная функция идеального
белого шума должна быть пропорциональна
- функции от и отлична от нуля только
при
(рис.24).
(4.25)
Рис. 24.
Действительно, только в этом случае, в соответствии со свойствами -
функции и формулой (3.21),
.
Отсюда следует, что
, а
.
Коэффициент корреляции для белого шума равен:
(4.26)
Процессы с корреляционной функцией вида (4.25) называют дельта-
коррелированными. Они характеризуются тем, что их значения в любые моменты времени, даже сколь угодно близкие, некоррелированы, что также является идеализацией, так как достаточно близкие значения случайных функций
54
практически всегда зависимы. Однако, вследствие ограниченности полос про-
)(tX
21
).,(,0
),,(,
)(
21
210
S
S
x
)(tX
)sin(sincos)(
22
0
0
2
1
S
dSK
x
2
cos
2
sin
2
1212
0
S
)(tX
)(
2
sin
2lim)0(
120
12
0
0
SSKD
xx
)()(
120
0
0
2
1
SdSdSD
xx
21,0
.;sin)(
0
0
SD
S
K
xx
пускания реальных радиотехнических устройств, использование белого шума в
качестве модели процессов на входе не вносит сколько-нибудь существенных
погрешностей, значительно упрощая математический анализ на выходе этих
устройств.
Рассмотрим стационарный случайный процесс
мерным в ограниченном интервале частот
со спектром, равно-
(полосовой белый шум).
Спектральная плотность такого процесса постоянна внутри заданного интервала и равна нулю вне его (рис.25):
Корреляционная функция процесса
в соот-
ветствии с формулой (3.18) будет равна:
. (4.27)
Рис. 25.
Дисперсия процесса
равна:
(4.28)
Тот же результат может быть получен в соответствии со свойством 2 для
спектральной плотности:
При
получаем из (4.27) и (4.28):
(4.29).
.
График корреляционной функции (4.29) представлен на рис.26. Он
наглядно демонстрирует, что, чем шире спектр стационарной случайной функции, тем быстрее затухает ее корреляционная функция с ростом .
55
Рис. 26
Известно, что возникающие в каналах связи многочисленные внутренние
помехи (шумы), обусловленные тепловым движением электронов в проводниках, дробовым эффектом в электронных приборах и т.д. могут быть отнесены к
классу нормальных стационарных случайных процессов. Поэтому в технике
под белым шумом часто подразумевают гауссов шум со спектром, равномерным в заданной (ограниченной) полосе частот с использованием математического аппарата, разработанного для анализа нормальных случайных процессов.
56
ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.
)(tX
)(tY
.),(;)(;),(;)(
)( tt
yyxx
ettttKttmttttKttm
)(tX
2
)(1
1
),(;0)(
tt
ttKtm
xx
t
dXtY
0
)()(
)(tX
)(tY
)(tX
UtXU )(:
.,uuDm
)(tX
U
00
eK
xx
2
)(
)(tX
0,)(
22
eDK
xx
)(tX
)(
x
K
cos)( eDK
xx
)(tX
0),1(
eD
x
)(tX
0,0,
)(
)(
222
b
b
S
x
dt
tdXtY)(
)(
1 [3]. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы
двух некоррелированных случайных функций
и
с характеристиками:
2 [3]. Случайная функция
имеет характеристики:
Найти характеристики случайной функции
стационарны ли случайные функции
3 [3]. Случайная функция
представляет собой случайную величину
и
с заданными числовыми характеристиками
является ли случайная функция
стационарной. Если она стационарна,
. Определить,
.
Определить,
найти ее спектральную плотность. (Указание. Рассмотреть случайную величину
как частный случай процесса (4.8) при
).
4 [7]. Дифференцируем ли стационарный случайный процесс с корреляци-
онной функцией
?
5 [7]. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и сред-
ний интервал корреляции стационарного случайного процесса
ционной функцией
.
с корреля-
6 [7]. Найти спектральную плотность и эффективную ширину спектра ста-
ционарного случайного процесса
с корреляционной функцией
.
7 [7]. Найти спектральную плотность и интервал корреляции стационарного
случайного процесса
8 [7]. Стационарный случайный процесс
ность
с корреляционной функцией
имеет спектральную плот-
. Найти дисперсию процесса
.
. У к а з а н и е . Воспользоваться результатами примера 19.
9 [7]. Является ли полосовой белый шум эргодическим случайным процес-
сом относительно математического ожидания? Дифференцируем ли он?
57
10 [5]. Найти дисперсию случайного процесса
dt
tdXtY)(
)(
сt 20
./15,0,/10),1()(
2222
ccсмeK
xxx
dt
tdXtY)(
)(
)(tX
см /5
)sin(cos)(
eaK
x
,42мa
сс
1
2,
1
1
)(tX
n
k
kkkkx
tVtUmtX
1
sincos)(
k
U
k
V
kkkk
nkDVDUD
;,...,1,][][
tBtAtX
sincos)(
A
,0BAmm
2
][][
BDAD
)(tX
)cos()( tatX
a
,
)(tX
0,0),(cos),(
12
)(
21
2
12
tteDttK
tt
XX
)(tX
)(tX
2
12
)(
21
2
2),(,123)(
tt
xx
ettKtttm
2
)(
)( t
dt
tdX
ttY
)(tX
.2][,1][,sincos)(
2121
VDVDtVtVttX
)(tX
dt
tdXtY)(
)(
t
dXtZ
0
)()(
при
, ес-
ли
11 [6]. Определить вероятность того, что производная
мальной стационарной функции
, если
будет иметь значение, большее, чем
, где
от нор-
.
У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (4.21).
12 [7]. Случайный процесс
задан следующим каноническим разложени-
ем:
,
где
ны с дисперсиями
и
- центрированные попарно некоррелированные случайные величи-
неслучайные числа. По-
казать, что данный процесс является стационарным и найти его корреляционную функцию и дисперсию.
13 [7]. Случайное гармоническое колебание задано в виде
, где - неслучайная частота, а случайные амплитуды
и B независимы и имеют нормальные распределения с параметрами
процесса
.
. Найти одномерную плотность распределения
14 [7]. Найти одномерную плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайного гармонического колебания
постоянными амплитудой
ной равномерно на отрезке
и частотой и случайной фазой , распределен-
.
15 [7]. Корреляционная функция случайного процесса
имеет вид:
с
. Определить дисперсию
производной процесса
16 [7]. Известны характеристики случайного процесса
.
:
. Найти математическое ожидание и
дисперсию процесса
17 [7]. Случайная функция
.
задана каноническим разложением
Вычислить математические
ожидания, дисперсии и корреляционные функции следующих случайных
функций:
,
,
.
58
18 [7]. На вход интегратора
t
dssxtY
0
)()(
)(sx
)(tX
2121
coscos4),( ttttK
x
ttm
x
2
sin1)(
)(tY
)(tX
2
221
2
121
2),( ttttttK
x
t
dXtY
0
)()(
),(21ttK
X
)(tX
)(tX
dt
tdXtY)(
)(
),(),(
21
2
21
ttK
t
ttK
XXY
)(tX
t
dXtZ
0
)()(
2
0
121
),(),(
t
XXZ
dtKttK
].1[),(;0)();()()(
)( tt
zz
ettttKtmtYtXtZ
).1(ln2)(;0)(
2
ttarctgttDtm
yy
)(tX
)(tY
)(tX
).()(
0
uyDS
.;2;)(
2
2
4
e
D
S
x
x
.2,
)(
1
)(
1
)(
2222
x
x
D
S
.
4
,
)(
4
)(
222
3
x
x
D
S
.
4
b
Dy
2
см
3085,0)5(,/20,0
222
YPсмm
yy
, где
- произвольная реализа-
ция случайного процесса на входе, поступает случайный процесс
реляционной функцией
нием
чайного процесса
. Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
на выходе интегратора.
19[7]. Корреляционная функция случайного процесса
и математическим ожида-
задана в виде
. Найти корреляционную функцию процесса
.
20 [7]. Задана корреляционная функция
случайного процесса
. Показать, что взаимная корреляционная функция процессов
может быть представлена в виде
взаимная корреляционная функция случайных процессов
может быть представлена в виде
с кор-
и
а
и
.
1.
2.
на, случайная функция
4. Не дифференцируем. 5.
6.
7.
ОТВЕТЫ
Случайная функция
нестационарна. 3.
8.
стационар-
стационарна,
9. Да, является. Дифференцируем. 10. 1366
11.
.
.
59
12.
n
k
kkx
DK
1
cos)(
2
2
2
)(
2
1
);(
tx
etxf
tbtatx
sincos)(
;,
11
,,0
);(
22
ax
xa
ax
txf
.
2
;0)(
2
a
Dtm
xx
.)2(
)(
2
x
D
dt
tdX
D
.8)(,27)(
22
ttDtttm
yy
,)( ttm
x
,2coscos2coscos2sinsin),(
,
2
)(;cos1)(,coscos2sinsin),(
,1)(;sin1)(,sinsin2coscos),(
21212121
2
2
212121
2
212121
ttttttttK
t
tmttDttttttK
tmttDttttttK
z
zyy
yxx
).cos1(2)cos1()(
2
tttD
z
.sin
4
)(,2sin
4
1
2
3
)(
2
2
ttDtttm
yy
3
2
1
222
123121
3
2
4
1
3
1
),( ttttttttK
y
.
. 13.
, где
- реализация случайного процесса.
14.
15.
18.
19.
1. Пугачев В.С. Теория случайных функций.- М.: Физматгиз, 1960.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1964-69,1998.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1973.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения.- М.:Высшая школа, 2000.
5. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций.- М.:
Наука, 1968.
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных функций. Под общей ред. А.А.Свешникова. М.:Наука,1970.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под общей
ред. А.В.Ефимова.-М.:Наука,1984.
8. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.:
Сов.радио, 1969.
9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.- М.: Высшая школа, 2003.
16.
17.
.
ЛИТЕРАТУРА
Наталья Анатольевна Логинова
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ
Редактор: Б.П.Зеленцов
учебное пособие
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]