Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
31
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (3.10), при
0
).1(
2
)(
1
2
2)(2)(
2
2
0
2
0
2
0 00
22
t
tt
t tt
z
eee
t
dedtedettD
.83,90)1(80)1(
1
25,0
102
)20(
222
20
1
1,0
2
2
2
смecмe
c
с
см
сtD
с
с
z
)(
x
K
TT,
1 0
0
coscos
2
)(
k k
kkkkx
Da
a
K
,
T
k
k
k
D
0,cos)(
2
;)(
1
2
00
0
0
kdK
T
aDdK
T
a
D
k
t
x
t
kkx
12
tt
1
t
2
t
).sinsincoscos(),(
;sinsincoscos)(coscos
1212
0
12
121212
ttttDttK
tttttt
kkkk
k
kx
kkkkkk
),(12ttK
x
t
k
cos
t
k
sin
.
1
T
)(tX
kk
VU ,
Подставляя данные задачи, получим:
3.3. Спектральное разложение стационарного случайного процесса на
конечном временном интервале.
Корреляционную функцию стационарного случайного процесса
как любую непрерывную четную функцию своего аргумента, можно разложить
по четным (косинусным) гармоникам на симметричном интервале
, (3.11)
:
,
где
Возвращаясь в выражении (3.11) от аргумента
там
и
а коэффициенты
, получим:
определяются формулами:
. (3.12)
к двум аргумен-
(3.13)
Сравнивая формулу (3.13) с (2.30), можно убедиться, что выражение
(3.13) является каноническим разложением корреляционной функции
координатными функциями которого являются попеременно
частоты которых кратны
и
Как показано в [1], существование канонического разложения корреляци-
онной функции случайного процесса
означает, что для самого случайного
,
,
процесса справедливо каноническое разложение вида (2.27) с теми же координатными функциями и случайными величинами
, дисперсии которых
32
равны коэффициентам
k
D
0
)sincos()()(
k
kkkkx
tVtUtmtX
kk
VU ,
.
kkk
DVDUD
k
D
)(tX
),0( T
kk
VU ,
T
k
k
)(tX
k
D
k
T
)(tX
0 0
22
)sin(cos)(
k k
kkkkx
DDtttD
в каноническом разложении для корреляционной
функции (3.13). Таким образом, можно записать:
где
- некоррелированные случайные величины с равными нулю матема-
, (3.14)
тическими ожиданиями и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом k:
Дисперсии
определяются формулами (3.12).
Каноническое разложение (3.14) называется спектральным разложени-
ем стационарного случайного процесса
на интервале
. Оно харак-
теризует частотный состав случайного процесса, при этом амплитуды
гармонических колебаний с частотами
являются случайными величи-
нами.
Наглядной иллюстрацией вклада различных частотных составляющих
для процесса
является
график зависимости дисперсий
от частот
соответ-
ствующих гармоник. Спектр
дисперсий, представленный в
виде отдельных линий, разделенных промежутками
(рис.11), называется
линейчатым.
Рис. 11.
Для дисперсии случайного процесса
, заданного спектральным раз-
ложением (3.13), получаем в соответствии с формулой (2.31):
(3.15)
Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса равна
сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения.
33
3.4. Спектральное разложение стационарного случайного процесса
T
0
1
T
k
D
)(kxS
1
)(
kk
kx
DD
S
k
T
)0
)(kxS
)(
x
S
)(lim
0
x
k
SD
0
0
0
cos)()(coslim)(
dSk
D
K
x
k
k
x
на бесконечном временном интервале.
Поскольку в общем случае корреляционная функция стационарного случайного процесса определена на бесконечном интервале значений аргумента t,
естественной является попытка перехода в разложении (3.11) к пределу при
. При этом интервал между соседними частотами будет стремиться к
нулю:
, линии спектра дисперсий будут сближаться, вслед-
ствие чего дискретный спектр будет приближаться к непрерывному.
Вместо значений дисперсий
для отдельных гармоник спек-
тра вводится функция
, (3.16)
имеющая смысл некоторой средней плотности дисперсии на интервале
(рис. 12а).
Рис.12а
С увеличением периода разло-
жения
(
ступенчатая
:
функция
будет неограничен-
но приближаться к плавной кривой
(рис 12б):
(3.17)
Рис. 12б
При этом выражение (3.11) с учетом (3.16) и (3.17) принимает вид:
(3.18)
34
Функция
)(
x
S
)(tX
dKT
DD
S
T
kx
kk
kx
0
cos)(
2
)(
T
)
k
)(
x
S
0
cos)(
2
lim)(
dKT
D
S
x
k
T
x
)(
x
S
)(
x
K
)(
x
S
0)(
x
S
0
)()0
dSKD
xxx
)(
x
S
x
x
x
D
S
s
)(
)(
x
D
)(tX
x
x
x
D
Kr)(
)(
)(
x
s
00
cos)(
2
)(;cos)()(
drsdsr
xxxx
0
1)0(
x
r
01)(ds
x
называется спектральной плотностью стационарного
случайного процесса
. Как следует из формулы (3.18), спектральная плот-
ность связана с корреляционной функцией косинус-преобразованием Фурье.
Действительно, с учетом формул (3.16) и (3.12), имеем:
.
После предельного перехода
(
получаем для
:
. (3.19)
Итак, спектральная плотность стационарного случайного процесса с
непрерывным спектром
и его корреляционная функция
связа-
ны друг с другом взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье.
Спектральная плотность
стационарного случайного процесса обла-
дает следующими свойствами:
1.
2.
;
, то есть, дисперсия стационарного случайного
процесса равна площади под кривой его спектральной плотности.
На практике вместо спектральной плотности
нормированной спектральной плотностью
случайного процесса
.
часто пользуются
, где
В этом случае нормированная корреляционная функция
нормированная спектральная плотность
также связаны преобразованиями
Фурье:
- дисперсия
и
(3.20)
При
с учетом того, что
, имеем:
, то есть, пло-
щадь под кривой нормированной спектральной плотности равна 1.
35
Если формально распространить понятие спектральной плотности на все
0
deKSdeSK
i
xx
i
xx
)(
1
)(,)(
2
1
)(
sincos ie
i
)(
x
K
)(
x
S
0
cos)(2sin)(cos)()(
dSdSidSdeS
xxx
i
x
0
cos)(2sin)(cos)(
dKdKidKdeK
xxx
i
x
)(
x
K
)(
x
S
)(
x
S
)(
2
1
)(
*
xx
SS
)(
*
x
S
x
D
э
k
действительные частоты от
имеют только неотрицательные частоты
до
(помня, что физический смысл
), формулы (3.18) и (3.19) мож-
но записать также в комплексной форме:
Действительно, по формулам Эйлера,
силу четности функций
,
и подынтегральных функций в формулах
. (3.21)
. Тогда, в
(3.18) и (3.19), получаем:
,
,
откуда непосредственно следуют формулы (3.21), известные как интегральные
формулы Винера-Хинчина. Чтобы получить из них вещественные значения
и
, следует определять вещественные части выражений, получен-
ных в результате вычислений по формулам (3.21).
Иногда вместо
вводят функцию
, разби-
вая каждую спектральную компоненту на две
части равной, но половинной интенсивности
так, чтобы площадь под
кривой
, имеющая
смысл дисперсии
осталась прежней
(рис.13).
Рис 13.
Полезными характеристиками стационарных случайных процессов с не-
прерывным спектром является эффективная ширина спектра
тервал корреляции
, определяемые формулами:
и ин-
,
36
)(max
2
)(max
)(2
)(max
)(
0
S
D
S
dS
S
dS
x
x
x
э
dr
D
dK
D
dK
x
x
x
x
x
э
k
0
0
)(
)(
2
)(
2
э
)(
x
K
)0(
xx
KD
э
)(
x
S
)(max
x
S
э
э
2
ээ
)(tX
0,)(
eDK
xx
)(
x
S
de
D
i
x
i
xx
)(
1
)(
, (3.22)
где
- средний интервал корреляции (эффективная длительность корреляци-
, (3.23)
онной функции), геометрически равный основанию прямоугольника, площадь
которого равна площади под кривой
дисперсии
(рис.14). Эффективная ширина спектра
ванию прямоугольника с площадью, равной площади под кривой
при
, а высота равна
равна осно-
при
и высотой, равной максимальному значению спектральной плот-
ности
.
Рис.14
Величины
и
связаны между собой неравенством
(«соотношение неопределенности»). Смысл его можно выразить в виде следующего правила: чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем больше
интервал корреляции его сечений.
Пример 17. Найти спектральную плотность и эффективные характери-
стики стационарной случайной функции
рой задана выражением
Р е ш е н и е. Для нахождения спектральной плотности
, корреляционная функция кото-
.
здесь удоб-
но воспользоваться формулой (3.21):
(3.24)
37
Так как
0
0
.
2
11
)(
22
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
xx
ii
x
i
x
i
x
x
D
ii
D
i
e
i
e
D
de
D
de
D
S
)(
x
K
)(
x
S
)(
x
K
x
x
DS2
)0(
)(
x
S
x
D
)(
x
S
э
э
.
22
2
;
2
2
)(max
2
0
0
e
D
deD
D
D
S
D
x
x
э
x
x
x
x
э
при
сумму двух интегралов:
и
при
, разбиваем интеграл (3.24) на
На рис.15 и 16 приведены графики функций
и
для различных
значений параметра , который служит характеристикой скорости убывания
корреляционной функции. С увеличением
тем начальное значение спектральной плотности, равное
шается. Однако, поскольку площадь под кривой
, то график функции
с ростом становится более пологим, но одно-
убывает быстрее, вместе с
, умень-
всегда равна дисперсии
временно и более протяженным.
Рис.15
Рис.16
Эффективная ширина спектра
онально, в то время как средний интервал корреляции
будет зависеть от прямо пропорци-
связан с обратно
пропорциональной зависимостью:
38
Пример 18. Нормированная корреляционная функция
)(
x
r
)(tX
,0
0,1
)(
0
0
x
r
)(tX
.
4
2
sin
)cos1(
2cossin
sin
12
0
0
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
)(
x
s
)(tX
)(tX
)(
x
K
)(
x
S
)(tX
.
)(
),(
2
2
21
x
X
K
ttK
)(tX
случайной
функции
задана выражением (рис.17):
Определить нормированную спектральную плотность случайной функции
Р е ш е н и е. Согласно формулам (3.20),
График нормированной спектральной плотности
представлен на
рис.18.
.
Рис. 17. Рис.18
Пример 19. Найти спектральную плотность производной
нарного случайного процесса
тральной плотностью
с корреляционной функцией
.
стацио-
и спек-
Р е ш е н и е. Как показано в п.3.2, корреляционная функция производной стационарного случайного процесса
также является стационарным
случайным процессом и определяется по формуле (3.6):
Найдем спектральную плотность процесса
в соответствии с форму-
лами (3.19) и (3.6):
39
d
K
dKS
x
XX
cos)
)(
(
2
cos)(
2
)(
0
2
2
0
0
2
2
0 0
2
2
cos
)(cos
2
cos)(cos
2
ddSddS
xx
0
22
0 0
2
).(cos)(
2
cos)(cos
2
xxx
SKddS
)()(
2
xX
SS
)(tX
)(tx
)(tX
T
T
dttx
T
tx
0
0
)(
1
)(
)(tX
T
T
x
dttx
T
dxxfxm
0
,)(
1
lim)(
)(tx
x
m
x
T
T
T
T
mdttx
T
miltxmil
0
0
)(
1
..)(...
)(tX
t
x
T
dK
TT
0
0)()1(
1
lim
Таким образом,
.
3.5. Понятие эргодического случайного процесса
В некоторых случаях при анализе стационарных случайных процессов,
вероятностные характеристики которых остаются неизменными во времени,
оказывается возможным заменить исследование совокупности реализаций изучением единственной, но достаточно протяженной реализации процесса, что
особенно важно для практики. Такие процессы называются эргодическими.
Если случайный процесс
- эргодический, то любая его реализация
представляет свойства всей совокупности и поэтому результат усреднения по
достаточно большому промежутку времени, выполненному над одной реализацией, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с результатом
усреднения по всей совокупности реализаций для любого момента времени.
Средним по конечному промежутку времени T от реализации
случайного процесса
называется число (вообще говоря, случайное), опре-
деляемое соотношением:
. (3.25)
Для математического ожидания эргодического случайного процесса
, строго говоря, должно выполняться следующее соотношение:
где предел понимается в обычном смысле, а реализация может быть любой.
Это весьма жесткое условие на практике заменяют условием сходимости
среднего по времени от любой реализации
к математическому ожиданию
в среднем квадратическом:
(3.26)
На основании общей эргодической теоремы, доказанной в [1], для стаци-
онарного случайного процесса
условие (3.26) выполняется, если его кор-
реляционная функция удовлетворяет условию:
, (3.27)
40
которое принимается в качестве необходимого и достаточного условия эрго-
)(tX
)(tX
0)(
x
K
)(tX
)(tX
)()]([])([)(
22
tUMtXMmtXMtXD
x
2
)]([)( tXtU
)(tX
t
)]([)]()([)( tVMtXtXMK
x
)()()(
tXtXtV
)(tX
)(
x
K
)(
u
K
)(
v
K
)(tU
)(tV
0)(lim,0)(lim
vu
KK
T
T
x
dttxtx
T
txtxD
0
2
0
2
))()((
1
))()((
дичности процесса
относительно математического ожидания.
При этом достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса
относительно математического ожидания является неограни-
ченное убывание его корреляционной функции при
(3.28)
Так как дисперсия стационарного случайного процесса
:
определяет-
ся как математическое ожидание от квадрата центрированного случайного про-
цесса
:
, где
а его корреляционная функция является математическим ожиданием произве-
дения значений
для моментов времени t и
:
,
где
,
то необходимыми и достаточными условиями эргодичности
и корреляционной функции являются условия (3.27), где вместо
по дисперсии
следует
поставить
(или
), если, конечно, процессы
и
окажутся
стационарными.
На практике здесь, как и ранее, прибегают к более простому достаточному
условию эргодичности (3.28):
Следует отметить, что стационарность случайного процесса является не-
обходимым, но не достаточным условием его эргодичности. Отметим также,
что случайный процесс может оказаться эргодическим по математическому
ожиданию, но неэргодическим по дисперсии или корреляционной функции.
Математическое ожидание эргодического случайного процесса оценивается по формуле (3.27), оценка дисперсии эргодического случайного процесса
выполняется по формуле:
Корреляционная функция эргодического случайного процесса определяется формулой:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]