Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
41
T
x
txtxtxtxK
0
))()()()()(()(
.])()()()()([
1
0
T
dttxtxtxtx
T
tVtUtX
sincos)(
V
:D
,0vumm
.][][ DVDUD
)(tX
;0sincos tmtmm
vux
;cos)(cossinsincoscos),(
12212121
DttDttDttDttK
x
.)0( DKD
xx
)(tX
0
2
sin2
)cos1(cos)1()()1(
1
22
2
0
22
0
T
T
x
T
T
T
D
T
T
D
d
TT
D
dK
TT
)(tX
VtXtY )()(
)(tX
)(tY
vxy
DKK )()(
d
TT
D
dK
TT
dDK
TT
dK
TT
T
v
T T
xvx
t
x
)1()()1(
1
))()(1(
1
)()1(
1
00 00
)(tX
t
x
T
dK
TT
0
0)()1(
1
lim
0
22
lim
2
lim)1(lim
2
0
2
0
vv
T
T
v
T
T
v
T
D
T
T
T
T
D
TT
D
d
TT
D
)(tY
Пример 20. Дана случайная функция
, где U и
- некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями,
равными нулю, и с одинаковыми дисперсиями, равными
Является ли эта функция эргодической относи-
тельно математического ожидания?
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.10), (2.13)-(2.15) для характеристик суммы двух элементарных некоррелированных случайных функций,
которой является функция
, получаем:
Таким образом, функция
удовлетворяет условиям стационарности.
Проверим выполнение условия ее эргодичности по математическому ожиданию
(3.30):
Так как условие (3.30) выполнено, функция
является эргодической
относительно математического ожидания.
Пример 21. Установить, является ли эргодическим по математическому
ожиданию процесс
в примере 14, где процесс
является эр-
годическим.
Р е ш е н и е. Как было показано в примере 14, процесс
ционарным и его корреляционная функция равна
В силу эргодичности
, для первого слагаемого
является ста-
.
.
Так как необходимое и достаточное условие эргодичности (3.30) не вы-
полняется, процесс
эргодическим не является.
.
42
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
)cos()(
00
tAtS
T
2
0
0
)(cos)()(
00
tVtVtY
)(cos)(
00
tt
00
tvty
ii 0
cos)(
i
v
Nkkt
k
,
2
)(tY
);();(cos
2100
ttKtmm
yvy
tDtDttD
vyv 0
2
020010
cos)();(cos)(cos
ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИКЕ
В радиотехнике из непрерывных (аналоговых) сигналов, используемых
для передачи информации, наиболее широко представлены периодические
функции времени для тока или напряжения.
Простейшим периодическим детерминированным сигналом является
гармоническое колебание
где амплитуда A, частота
,
-начальная фаза колебания - являются
, (4.1)
постоянными неслучайными величинами.
Реальные радиотехнические сигналы являются, как правило, случайными
функциями времени, прежде всего, потому что детерминированные, заранее
«известные» сигналы информации не несут, а передаваемая ими информация
вкладывается в них путем амплитудной, фазовой, частотной модуляции или их
комбинации, чаще всего носящей случайный характер. Кроме того, случайность радиотехнических сигналов обусловлена наличием случайных помех
(шумов) в электрических цепях, приводящих к искажению полезных сигналов.
4.1. Гармонический сигнал со случайной амплитудой
Простейший случайный гармонический сигнал, у которого амплитуда яв-
ляется случайной величиной, а частота и фаза остаются неслучайными, относится к классу элементарных (квазидетерминированных) случайных функций
времени вида (2.9):
, (4.2)
где амплитуда V- случайная величина с произвольным законом распределения,
- неслучайная функция времени. На рис.19 приведена сово-
купность нескольких реализаций такого случайного процесса при
представляет собой пучок косинусоид
ми амплитуды
и узловыми «точками зануления»
с различными значения-
.
Вероятностные характеристики случайной функции
выражаются
. Она
через характеристики случайной величины V (см. пример 3):
.
43
),(cos)(
0
tVtY
v
m
v
D
2;0
)(ty
i
i
v
i
0
tVtVtY
00
sinsincoscos)(
Рис.19
Таким образом, случайный процесс (4.2) не является стационарным.
4.2. Гармонический сигнал со случайными амплитудой и фазой
Рассмотрим случайный процесс
(4.3)
где V и - независимые случайные величины, V имеет характеристики
, а случайная фаза распределена равномерно в интервале
. Семей-
ство реализаций этого процесса представлено на рис.20.
и
Рис. 20.
Каждая реализация
амплитудой
, фазой
и частотой
представляет собой гармоническое колебание с
.
Представим случайную функцию (4.3) в виде:
(4.4)
44
Найдем вероятностные характеристики для неслучайных функций
cosU
sinW
2;0
];[ ba
abxf
1)(
)(X
)(xf
b
a
b
a
dxxfmxxDDdxxfxtMm )(])([)]([;)()()]([
2
cosU
sinW
;
2
1
)(xf
;0sin
2
1
cos
2
1
][ cos][
2
0
2
0
dMUMm
u
;0cos
2
1
sin
2
1
][sin][
2
0
2
0
dMWMm
w
.
2
1
2sin
4
1
2
1
2
1
2
2cos1
2
1
cos
2
1
][
2
0
2
0
2
2
0
ddUD
.
2
1
2sin
4
1
2
1
2
1
2
2cos1
2
1
sin
2
1
][
2
0
2
0
2
2
0
ddWD
)(tY
tVtVMtYM
00
sinsincoscos)(
,0sincossinsincoscos
0000
vuv
mtmtmVMtVMt
0][sin]sin[,0][cos]cos[
MmVMMmVM
vv
)]()([),(
2121
tYtYMttK
y
20201010
sinsincoscossinsincoscos tVtVtVtVM
2121
22
cossin]cos[sincoscos][cos][ ttMttMVM
21
2
1
sinsin][sinsincos]sin[cos ttMtM
и
интервале
от случайной величины , распределенной равномерно в
.
Из теории вероятностей известно, что одномерная плотность случайной
величины X, распределенной равномерно на интервале
, равна
, а числовые характеристики функции
ны X с плотностью распределения
определяются формулами:
от случайной величи-
В соответствии с формулами (4.5) для характеристик функций
получаем:
. (4.5)
и
Получим вероятностные характеристики для случайного процесса
так как, в силу независимости V и ,
;
;
45
;
2
1
][][][sin;
2
1
][][][cos
222222
vu
mVDVMMmUDUMM
;02cos
8
1
2sin
4
1
cossin
2
1
]cos[sin]sin[cos
2
0
2
0
2
0
ddMM
2222
][][
vvv
mmVDVM
0
22
120
22
21
cos
2
)(cos)(
2
1
),(
vv
vvy
m
ttmttK
y
vv
y
D
m
ttKtD
2
),()(
22
0
v
m
2
;cos
2
)(
0
v
y
v
y
D
D
D
K
12
tt
tVtVtY
0201
sincos)(
sin,cos
21
VVVV
2
22
vv
m
V
0][sin][]sin[][,0][cos][]cos[][
21
MVMVMVMMVMVMVM
2
][cos][cos][)cos()cos(][
22
222222
1
vv
v
m
MmMVMVMVMVD
2
][sin][sin][)sin()sin(][
22
222222
2
vv
v
m
MmMVMVMVMVD
0]cos[sin][]sincos[][][][
2
2121
21
MVMVVMVMVMVVMK
VV
;
Для случая
. (4.7)
формулы (4.6) и (4.7) принимают вид:
; (4.6)
Таким образом, гармонический сигнал со случайными независимыми
амплитудой и фазой (4.3) является стационарным, так как его математиче-
ское ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов
. Отметим, что
корреляционная функция при этом пропорциональна дисперсии амплитуды, но
не зависит от закона ее распределения.
Выражение (4.4) можно представить в виде:
, (4.8)
где
- некоррелированные случайные величины с рав-
ными нулю математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, рав-
ными
. Действительно, в силу независимости
и , и с учетом
предыдущих вычислений,
.
;
;
;
46
Выражение (4.8) является и каноническим, и спектральным разложением
0
2
22
vv
y
m
D
)(tY
)(
y
S
.,0
;,
)(
0
0
0
xx
xx
xx
;1)(
0
dxxx
)()()(
00
xfdxxxxf
0
xx
).(xf
)(
y
S
.0),()(
0
yy
DS
0 0
00
coscos)(cos)()(
yyyy
DdDdSK
)(tY
)(
y
S
)]()([
2
)(
00
y
y
D
S
процесса (4.3). Из него следует, что процесс (4.3) обладает дискретным спектром с единственной спектральной линией на частоте
и соответствующим
значением дисперсии
(рис.21):
Рис.21 Рис.22 Рис.23
Для случайного процесса
можно ввести спектральную плотность
с корреляционной функцией вида (4.6)
, если воспользоваться так назы-
ваемой «дельта-функцией», определяемой следующими соотношениями:
для любой ограниченной и непрерывной в точке
В этом случае можно записать для спектральной плотности
функции
(4.9)
:
Корреляционная функция процесса с такой спектральной плотностью,
действительно, в соответствии с формулами (3.18) и (4.9), имеет вид (4.6):
Спектр случайного процесса
и в этом случае представляет собой од-
.
ну спектральную линию, но с бесконечной дисперсией (рис.22).
При переходе к комплексной форме и распространению частоты на отри-
цательную область
спектральная плотность
приобретает
вид:
(4.10)
47
Этот спектр представляет собой две дискретные линии для частот
0
0
deSdeSK
ti
y
ti
yy
)()(
2
1
)(
de
D
de
D
ti
y
ti
y
)(
22
00
ti
ti
ti
ti
edeede
00
)(;)(
00
tDee
D
K
y
titi
y
y 0
cos)(
2
)(
00
)cos()(
0 iii
tvty
ii
i
i
T
i
T
i
T
i
T
T
v
dttv
T
dtty
T
ty
sin)sin()cos(
1
)(
1
)(
0
0
0
00
0
0)(lim
0
T
i
T
ty
0)]([ tYM
и
с бесконечной дисперсией для каждой из них (рис.23).
Можно показать, что случайному процессу со спектральной плотностью
вида (4.10) также соответствует корреляционная функция (4.6). Действительно,
в соответствии с формулами (3.21),
По свойству (4.9) для
функции
.
.
Таким образом, для корреляционной функции снова получаем выражение (4.6):
.
Как показано в Примере 20, случайный процесс вида (4.8) (а значит, и
(4.3)) является не только стационарным, но и эргодическим относительно свое-
го математического ожидания.
Можно показать, что для математического ожидания процесса (4.3) вы-
полняется также условие строгой эргодичности (3.26). Действительно, временное среднее по конечному промежутку времени от любой его i- ой реализации
равно:
Отсюда
тического ожидания
, что совпадает с действительным значением матема-
, полученным выше.
Следует отметить, что ни по дисперсии, ни по корреляционной функции
процесс (4.3) эргодическим не является.
48
4.3. Гармонический сигнал со случайной амплитудой и случайной
)cos()(
0
tVtY
,0][ vmVM
v
DVD ][
0),(
f
0
)(tY
tVtVtVtVtY sincossinsincoscos)(
2100
01
cos
VV
02
sin
VV
)(tY
0][sin][][co s][)]([
21
tMVMtMVMtYM
0sin][,0cos][
0201
vv
mVMmVM
)(tY
)]()([)]()([),(
212121
tYtYMtYtYMttK
y
)]sincos}(sincos[(
22211211
tVtVtVtVM
]cossin[]coscos[
211221
2
1
ttVVMttVM
]sinsin[]sincos[
21
2
22121
ttVMttVVM
][2sin
2
1
][sincos]sincos[][
120
2
000021
VVMDVMVVMVVM
v
,sinsin][][,coscos][][
0
2
0
222
20
2
0
222
1
vv
DVMVMDVMVM
]cos[coscos),(
210
2
21
ttMDttK
vy
]sin[sinsin]sincoscos[sin2sin
2
1
2
210
2
21210
ttMDttttMD
vv
]}sin[sinsin)]([sin2sin]cos[cos{cos
210
2
210210
2
ttMttMttMD
v
)(tY
]}[sinsin]2[sin2sin][cos{cos),()(
2
0
2
0
2
0
2
tMtMtMDttKtD
vyy
частотой.
Рассмотрим случайное гармоническое колебание
, (4.11)
где случайная амплитуда V имеет характеристики
частота - случайная величина с плотностью
- неслучайная величина.
Представим
следующим образом:
где
и
- зависимые случайные величины.
С учетом независимости V и получаем для математического ожидания
:
поскольку
Корреляционная функция процесса
с учетом (4.12) будет равна:
,
, V и независимы;
,
, (4.12)
.
Так как
,
а
(4.13)
Для дисперсии
получаем
(4.14)
Таким образом, гармонический процесс со случайными амплитудой и
частотой не является стационарным, а его вероятностные характеристики
зависят не только от дисперсии амплитуды, но и от закона распределения частоты.
49
4.4. Нормальный случайный процесс
)(tX
),...,,;,...,,(
2121 nn
tttxxxf
)(),...,(),(
21 n
tXtXtX
)(tX
n
)(),...,(),(
21 n
tXtXtX
)(),(
ji
tXtX
ji
tt ,
)(tX
)(2
))((
2
2
)(2
1
);(
t
tmx
x
x
x
e
t
txf
)(),(
2
ttm
xx
)(tX
2
2
2
22
21
221112
2
1
2
1
1
2
12
)(
))((2
)(
12
1
2
1221
2121
12
1
),;,(
mx
mxmxr
mx
r
e
r
ttxxf
)(),(
2
22
21
22
1
21
tt
xx
)(),(
21
tXtX
)(tX
21
,tt
)(),(
2211
21
tmmtmm
xx
),(
2112
21
ttrrxx
jir
ij
,0
);();(
2
1
2
1
),;,(
2211
2
)(
2
2
)(
1
2121
2
2
2
22
2
1
2
1
1
txftxfeettxxf
mx
mx
)(),(
ji
tXtX
)(tX
)(tX
22
)(;)(
ixix
tatm
ii
Случайный процесс
плотность распределения любого n-го порядка
любых n сечений
называется нормальным (или гауссовым), если
для
случайного процесса
подчиняется
-мерному нормальному закону распределения. Однако, поскольку нормаль-
ный закон любого порядка полностью выражается через математические ожидания величин
двух сечений
в произвольные моменты времени
и их корреляционные моменты для любых
, для нор-
мальности случайного процесса достаточно, чтобы нормальными были
одномерный и двумерный законы распределения для любых пар его сечений.
Одномерная плотность распределения нормального случайного процесса
имеет вид:
где
процесса
- значения математического ожидания и дисперсии для сечения
в момент t.
, (4.15)
Двумерная плотность распределения нормального случайного процесса
имеет вид:
(4.16)
где
моменты времени
этих сечений;
;
- дисперсии сечений
процесса
- математические ожидания
- коэффициент корреляции этих сечений.
в
Если все сечения нормального случайного процесса попарно некоррели-
рованы в несовпадающие моменты времени, то есть
, тогда
, (4.17)
откуда следует, что все сечения
случайного процесса
явля-
ются независимыми (процесс с независимыми значениями).
Если нормальный процесс
является стационарным, его математиче-
ское ожидание и дисперсия являются постоянными величинами:
.
50
При этом одномерная плотность распределения также не зависит от времени:
2
2
2
)(
2
1
)(
ax
exf
12tt
2
221
2
1
22
)()())((2)(
)](1[2
1
22
21
)(12
1
);,(
axaxaxrax
r
e
r
xxf
)(tX
i
n
i
iii
tbtXtatY
1
)()()()(
)(),( tbta
ii
)()( tXtY
)()()( tmtmtm
xxy
)(
),(
)(
2
21
21
2
21
t
tt
ttK
tD
xttt
x
x
)(2
))((
2
2
)(2
1
);(
t
tmy
y
y
y
e
t
tyf
t
dXtZ
0
)()(
t
xz
dmtm
0
)()(
t t
zz
ddXXttKtD
0 0
2121
)()(),()(
, (4.18)
а двумерная плотность распределения и коэффициент корреляции зависят только от разности аргументов
:
(4.19)
Многие реальные процессы, встречающиеся в физике и технике, могут
быть отнесены к нормальным случайным процессам, что существенно облегчает их изучение. Так, как известно из теории вероятностей, сумма нормально
распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение, а
линейное преобразование не меняет характера распределения. Поэтому любая
линейная комбинация нормальных случайных процессов
где
- неслучайные функции времени, также является нормальным
, (4.20)
cлучайным процессом.
Так как операции дифференцирования и интегрирования случайных
функций сводятся к суммированию ординат случайной функции с последующим переходом к пределу (формулы (2.17) и (2.23)), а сумма любого числа
нормальных случайных величин также является нормальной величиной, то
можно утверждать, что как производная, так и интеграл от нормального
случайного процесса также являются нормальными случайными процессами, которые могут быть полностью охарактеризованы их математическими
ожиданиями и корреляционными функциями.
В соответствии с (2.19), математическое ожидание и дисперсия произ-
водной случайного процесса
определяются формулами:
;
. (4.21)
Одномерная плотность распределения для производной нормального слу-
чайного процесса равна:
Для интеграла от нормального случайного процесса
(4.22)
ма-
тематическое ожидание и дисперсия в соответствии с формулами (2.24) равны:
;
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]