Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывные случайные процессы в непрерывном времени. Учебное пособие
.pdf
11
ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
)(tY
)(tX
)(t
)(tY
)(tX
)(t
)(tY
t
)()()()()( tMtXMttXMtYM
)()( ttM
)(t
)()()()()( ttmttXMtm
xy
)()()( tmtXtX
x
0)()()()()(
tmtmtmtXMtXM
xxx
)(tY
)()()()(),(
221121
tmtYtmtYMttK
yyy
)()()()()()()()(
22221111
ttmttXttmttXM
xx
),()()()()(
212211
ttKtmtXtmtXM
xxx
)(),(),()( tDttKttKtD
xxyy
).()(,),(),(
2121
tDtDttKttK
x
X
X
X
2.1. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого
Рассмотрим случайную функцию
, полученную путем прибавления к
случайной функции
неслучайной функции
=
+
(2.1)
:
По теореме сложения математических ожиданий случайных величин [2] ,
математическое ожидание процесса
для произвольного момента времени
равно:
С учетом того, что
для неслучайной функции
.
, окон-
чательно получаем:
. (2.2)
Итак, добавление неслучайной функции изменяет величину матема-
тического ожидания случайной функции на величину неслучайного слагаемого.
В частности, для центрированной случайной функции
получаем:
Найдем корреляционную функцию случайной функции
:
=
=
. (2.3)
=
Таким образом, корреляционная функция случайного процесса не изме-
няется от прибавления к нему неслучайной функции.
Как следствие, не изменяется также и дисперсия исходного процесса:
. (2.4)
В частности, центрирование случайной функции не изменяет ни ее корре-
ляционной функции, ни дисперсии:
Взаимная корреляционная функция также не изменяется при прибавлении
к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а следовательно, и при
центрировании случайных функций.
12
Пример 1. Случайный процесс
)(tX
ttm
x
)(
22
)()( tttD
xx
e
t
tx
t
txf
2
2
2
2
1
);(
)()()( ttXtY
tt 2)(
ttttm
y
32)(
tttttDtD
yyxy
)();()()(
22
)(tY
e
t
ty
t
tyf
2
2
2
3
2
1
);(
)(tX
)(t
)()()( ttXtY
)(tY
)()()()()()()( tmttXMtttXMtm
xy
)(t
)()()()(),(
221121
tmtYtmtYMttK
yyy
22221111
()()()()()()()( tmttXttmttXtM
xx
)()())()()(
221121
tmtXtmtXttM
xx
),()()(
2121
ttKtt
x
1
t
2
t
)()(),()(
22
ttttKtD
xyy
имеет нормальный одномерный за-
кон распределения с математическим ожиданием
, дисперсией
:
Найти одномерную плотность распределения, математическое ожидание
и дисперсию случайного процесса
, где
.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.2) и (2.4),
,
.
Поскольку линейное преобразование не изменяет вида распределения,
случайная функция
также имеет нормальное распределение, и ее одномер-
ная плотность распределения имеет вид:
2.2. Умножение случайной функции на неслучайный множитель
Умножим случайную функцию
на неслучайную функцию
:
(2.5)
Найдем математическое ожидание, корреляционную функцию и диспер-
сию для процесса
, используя известные из теории вероятностей свойства
математического ожидания для случайных величин.
поскольку
для любого фиксированного момента времени является неслу-
, (2.6)
чайной величиной (числом) и может быть вынесена за знак математического
ожидания.
Итак, умножение случайной функции на неслучайную функцию приво-
дит к умножению на эту функцию ее математического ожидания.
=
=
=
(2.7)
Таким образом, умножение на неслучайную функцию приводит к
умножению корреляционной функции на произведение значений этой
функции в моменты времени
и
.
Соответственно, дисперсия умножается на квадрат неслучайной функции
в момент t:
(2.8)
13
В частном случае, если
)(tX
v
m
v
D
)(tY
)()( tVtY
);()();()(
2
tDtDtmtm
vyvy
)()()()(),(),(
21212121
ttDttttKttK
vvy
vv
DVMtVtVMttK
2
2121
)()(),(
)()()()( tbtXtatY
)(),( tbta
),(21ttK
x
)(tm
x
)()()()()()()()()()( tbtmtatbMtXtaMtbtXtaMtm
xy
MttK
y
),(
21
)()()()()()(
111111
tbtmtatbtXta
x
)()()()()()(
222222
tbtmtatbtXta
x
)()()()()()(
221121
tmtXtmtXtataM
xx
)()()()(
2121
tXtXMtata
);,()()(
2121
ttKtatax
).()(),()(
2
tDtattKtD
xyy
)(tX
tVtX
cos)(
,3;2
vv
m
)(tX
)(tX
ttcos)(
2121
2
coscos9),(;cos9)(;cos2)( ttttKttDttm
xxx
)(tX
)(tY
)()()( tYtXtZ
)(),( tmtm
yx
),(),,(
2121
ttKttK
yx
),(21ttK
xy
)(tX
)(tY
)(tm
z
),(21ttK
z
).(tZ
не зависит от t, то есть является случайной
величиной V с математическим ожиданием
и дисперсией
, функция
принимает вид:
, (2.9)
то есть становится элементарной случайной функцией с характеристиками:
. (2.10)
При этом учтено то обстоятельство, что корреляционная функция для
случайной величины равна ее дисперсии:
. (2.11)
Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
функции
и
известны.
, где
- неслучайные функции, а
Р е ш е н и е. На основании формул (2.1)-(2.8) получаем:
=
Пример 3. Случайная функция
задана выражением
где V- случайная величина с характеристиками
величина. Найти характеристики случайной функции
где
Р е ш е н и е.
. В соответствии с формулами (2.10) получаем:
является элементарной случайной функцией вида (2.9),
2.3. Сложение случайных процессов
Рассмотрим сумму двух случайных процессов
от одного и того же аргумента t:
(2.12)
=
=
,
- неслучайная
.
.
и
, зависящих
Пусть известны математические ожидания
функции
случайных функций
и
корреляционную функцию
, корреляционные
и взаимная корреляционная функция
. Найдем математическое ожидание
случайного процесса
и
14
По теореме сложения математических ожиданий,
)(tm
z
)()( tmtm
yx
)(,)(,)( tYtXtZ
),()()()()()( tmtYtmtXtmtZ
yxx
)()()( tYtXtZ
)()()()()()(),(
22112121
tYtXtYtXMtZtZMttK
z
)()()()()()()()(
21212121
tXtYMtYtXMtYtYMtXtXM
).,(),(),(),(
21212121
ttKttKttKttK
yxyxyx
),(21ttK
xy
),(12ttK
yx
)(tZ
),(2)()(),()( ttKtDtDttKtD
yxyxzz
)(tX
)(tY
0),(
21
ttK
yx
)()()();,(),(),(
212121
tDtDtDttKttKttK
yxzyxz
)(tX
VtXtZ )()(
)(tZ
)(tX
V
)(tZ
vxz
mtmtm )()(
)(tZ
)(2),(),(
2121
tKDttKttK
vxvxz
)(tZ
)(2)(),()( tKDtDttKtD
vxvxzz
)(tX
0)( tK
vx
.)()(;),(),(
2121 vxzvxz
DtDtDDttKttK
=
, (2.13)
то есть при сложении двух случайных функций их математические ожидания складываются.
Вычитая это равенство почленно из (2.12), получим соотношение для
центрированных случайных функций
По определению корреляционной функции,
=
(2.14)
Поскольку
=
, дисперсия процесса
Для некоррелированных случайных процессов
, получаем:
Итак, при сложении некоррелированных случайных функций их корре-
ляционные функции и дисперсии складываются.
:
.
=
равна:
(2.15)
и
, поскольку
. (2.16)
Частным случаем сложения случайных функций является сложение случайной функции
и случайной величины V:
Определим характеристики процесса
. Очевидно, что для математического ожидания
через характеристики
получим:
и
Используя формулы (2.14) и (2.11), получаем для корреляционной функ-
ции
:
.
Дисперсия процесса
равна:
.
Если случайная функция
ны, то есть при любом значении t
и случайная величина V некоррелирова-
,
15
Пример 4. Случайный процесс имеет вид:
tt
eVeUtZ
)(
;;;; pDbmam
uvu
,; rKqD
vuv
)(tZ
),(),(),(
21
ttKtDtm
zzz
)(tZ
)(tX
t
eU
t
eVtY
)(
VMeUMeeVMeUMtmtmtm
tt
tt
yxz
)()()(
;
ttt
v
t
u
ebeaemem
),(),(),(),(),(
1221212121
ttKttKttKttKttK
xyxyyxz
)()(
21
2121
),(
tttt
ux
peeDttK
)()(
21
2121
),(
tttt
vy
qeeDttK
)()()()(
)()()()(),(
212211
1
22121
v
t
u
tt
v
tt
u
t
yx
xy
mvemueMemveemueM
tmtYtmtXMttK
)()(
212121
tt
vu
tt
vu
tt
erKemvmuMee
),(12ttK
xy
)(
12
tt
er
)(
)(
)()(
21
12
21
2121
),(
tt
tt
tttt
z
eereqepttK
ttt
zz
ereqepttKtD
)(22
2),()(
)(tX
t
tXttX
)()(
0t
)(tY
)(tX
. Слу-
чайные величины U и V имеют характеристики
и - вещественные числа. Найти характеристики процесса
:
Р е ш е н и е.
цессов
=
и
.
является суммой двух элементарных случайных про-
. В соответствии с формулами (2.13), (2.14) и
(2.10) получаем:
=
;
;
;
=
.
.
;
2.4.Дифференцирование случайного процесса
Определение производной к случайным функциям в обычном смысле,
вообще говоря, неприменимо, так как для каждого момента времени t отношение приращения случайной функции
ется случайной величиной
к приращению аргумента t явля-
, о пределе которой при
можно говорить только в вероятностном смысле [1].
Для определения производной случайной функции используют понятие
вероятностной сходимости в среднем квадратическом, в соответствии с которым случайная функция
называется производной случайной функции
, если она удовлетворяет условию:
:
16
0)(
)()(
lim
2
0
tY
t
tXttX
M
t
)(tX
t
tXttX
miltY
t
)()(
...)(
0
).(
)(
)( tX
dt
tdX
tY
)(tm
y
),(21ttK
y
)(tX
)()()( tmtmtm
xyx
21
21
2
2121
),(
),(),(
tt
ttK
ttKttK
x
yx
)()()()( tmtXM
dt
d
tXMtYM
x
)()( tmtm
xy
)()( tX
dt
d
tY
)(tY
)()(),(
2121
tYtYMttK
y
)(1tY
)(2tY
21
,tt
)()(
)()()()(
),(
21
21
2
21
21
2
2
2
1
1
21
tXtXM
tttt
tXtX
M
dt
tXd
dt
tXd
MttK
y
).,(
21
21
2
ttK
ttx
(2.17)
Иначе говоря, производная случайной функции
определяется как
предел в среднем квадратическом (limit in mean) отношения приращения
случайной функции к приращению аргумента:
.
При этом используется обычное обозначение для производной:
Как строго доказано в [1], математическое ожидание
онная функция
для производной случайной функции
(2.18)
и корреляци-
, удовле-
творяющей условию (2.17), определяются формулами:
;
. (2.19)
Эти формулы могут быть получены чисто формально, если допустить,
что операции дифференцирования случайных функций и нахождения математического ожидания можно менять местами. В этом случае
,
то есть
.
Вычитая последнее равенство почленно из (2.18), получим:
По определению, корреляционная функция процесса
(2.20)
равна:
Подставив вместо
и
их выражения для моментов
.
в со-
ответствии с формулой (2.20) и меняя местами операции дифференцирования и
математического ожидания, получим:
=
17
Полученные таким образом формулы для математического ожидания и
)(tX
)(tm
x
)(tX
21
21
2
),(ttttK
x
21
,tt
21
tt
)()( tVtX
vv
Dm ,
)(t
)()( tXtY
);()( tmtm
xy
21
21
2
21
),(
),(
tt
ttK
ttK
x
y
)(tX
);()( tmtm
vy
)()(),(
2121
ttDttK
vy
)()()( tmtmtm
vvy
2
2
1
1
21
21
2
21
)()(
)()(),(
t
t
t
t
DttD
tt
ttK
vvy
2
)(
),()(
t
t
DttKtD
vyy
)()( tVtX
)()()( tVtXtY
корреляционной функции производной случайного процесса тождественны
формулам (2.19), доказанным строго, что подтверждает правомерность перестановочности операций дифференцирования и математического ожидания.
Итак, математическое ожидание производной случайного процесса
равно производной его математического ожидания, а корреляционная
функция производной равна второй смешанной производной корреляционной функции этого процесса.
Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости непрерывного случайного процесса
являются:
1) существование и дифференцируемость математического ожидания
случайной функции
;
2) существование второй смешанной производной ее корреляционной
функции
при любых значениях аргументов
.
При этом достаточным условием дифференцируемости случайной функ-
ции является существование второй смешанной производной при равных значениях аргументов:
.
Пример 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию для производной элементарной случайной функции
, где V- случайная величина с характеристиками
,
- не-
случайная функция.
Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.19), математическое ожидание и кор-
реляционная функция процесса
равны:
.
Для нахождения характеристик элементарной случайной функции
воспользуемся формулами (2.10):
.
Тогда
,
,
. (2.21)
Те же результаты могли быть получены, если допустить, что при дифференцировании элементарной случайной функции
случайная вели-
чина V может быть вынесена за знак производной как обычная константа, то
есть, если записать:
.
18
Действительно, и в этом случае имеем:
),()()()( tmVMttVMtm
vy
)()()()()()(),(
22112121
tmtVtmtVMtYtYMttK
vvy
2
2
1
1
2
21
)()(
)()(
t
t
t
t
DmVMtt
vv
,)( btVtX
.,,)()( constDDconstmmVtXtY
vyvy
tVtX
cos)(
3;2
vv
m
)()( tXtY
.sin9),()(
sinsin9
coscos9
),(
;sin2cos2
22
;21
2
21
21
2
21
tttKtD
tt
tt
tt
ttK
ttm
yy
y
y
)()( tVtX
tt
cos)(
;sin2cos)( ttmtm
vy
.sin9
cos
)(
;sinsin9sinsincoscos),(
22
2
21
2
21
22
/
2
/
121
21
t
t
t
DtD
ttttttDttK
vy
v
tt
vy
)(tX
13)(
2
ttm
x
2
12
1
)(
2
),(
tt
x
ettK
)()( tXtY
;613
2
ttm
y
)(2
),(
),(
12
)(
2
)(
21
2
21
21
2
21
2
12
2
12
tte
t
e
tttt
ttK
ttK
tttt
x
y
.
В частности, для случайной функции
личина, b- вещественное число,
Пример 6. Для случайной функции
личина с характеристиками
процесса
.
Р е ш е н и е. Способ 1. Воспользуемся результатами примера 3 и формулами (2.19):
Способ 2. Те же результаты могли быть получены по формулам (2.21) для
элементарной случайной функции вида
где V- случайная ве-
, где V- случайная ве-
, найти характеристики случайного
, где
:
Пример 7. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс
ной функцией
с математическим ожиданием
. Найти математическое ожидание, корре-
ляционную функцию и дисперсию случайного процесса
дифференцирующего устройства.
Р е ш е н и е .
и корреляцион-
на выходе
19
.2),(
;)(212)(22
2
12
)()(
2
12
)(
2
12
2
12
2
12
ttKD
tteette
yy
tttttt
)(tX
t
dXtY
0
)()(
t
n
k
kk
n
XmildXtY
k
0
1
)(...)()(
0max
)(tY
0)()(lim
2
1
0max
n
k
kk
n
tYXM
k
)(tX
)(tm
x
)(tX
),(21ttK
x
)(tX
)(tm
y
),(21ttK
y
)(tD
y
t
dXtY
0
)()(
t
xy
dmtm
0
)()(
1 2
0 0
212121
),(),(
t t
xy
ddKttK
t t
xyy
ddKttKtD
0 0
2121
),(),()(
2.5. Интегрирование случайного процесса
Интегралом от случайной функции
функция
, определяемая как предел в среднем квадратическом
называется случайная
соответствующей интегральной суммы:
Определенная таким образом функция
должна удовлетворять условию:
(2.22)
(2.23)
Как доказано в [1], для выполнения условия (2.23), то есть для интегриру-
емости случайной функции
, необходимыми и достаточными условиями
являются:
1) существование интеграла от математического ожидания
случай-
ной функции
,
2) существование двойного интеграла от корреляционной функции
процесса
При этом математическое ожидание
и дисперсия
.
процесса
, корреляционная функция
определяются по форму-
лам:
,
,
. (2.24)
Формально формулы (2.24) могут быть получены, если допустить, что
операции интегрирования случайной функции и математического ожидания
можно менять местами. Действительно, в этом случае имеем:
20
t
x
tt
dmdXMdXMtYM
000
)()()()(
t
xy
dmtm
0
)()(
1 21 2
2 21 1
0 0
2121
0
222
0
111
0 0
2222
0 0
1111
22112121
)()()()()()(
)()()()(
)()()()()()(),(
t tt
x
t
x
t t
x
t t
x
yyy
ddXXMdmXdmXM
dmdXdmdXM
tmtYtmtYMtYtYMttK
.),()()(
1 21 2
0 0
212121
0 0
21
t t
x
t t
ddKddXXM
1 2
0 0
212121
),(),(
t t
xy
ddKttK
)()( tVtX
V
vv
Dm ,
)(t
1 21 21 2
0 0
2121
0 0
2121
0 0
212121
0 00
;)()()()(),(),(
;)()()()(
t tt t
vv
t t
xy
t t
vv
t
xy
ddDddDddKttK
dmdmdmtm
2
0
)(),()(
t
vyy
dDttKtD
то есть:
,
Таким образом, и в этом случае
Полученные для математического ожидания и корреляционной функции
формулы тождественны доказанным математически строго в [1] формулам
(2.24), что подтверждает правомерность перестановки операций интегрирования случайного процесса и нахождения его математического ожидания.
Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляцион-
ную функцию интеграла от элементарной случайной функции
- случайная величина с характеристиками
ция.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулами (2.24) и (2.10):
Те же выражения были бы получены, если допустить, что случайная величина V может быть вынесена за знак интеграла как обычная константа, то
есть, если записать:
, где
,
- неслучайная функ-
(2.25)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]