Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 241
=
2
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
()=
;
у него два простых корня = 0 и = 1. Общее решение однородного
уравнения имеет вид
()=
+
,
где
, .
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
()=
()
+
()
,
где
()
,
()
— непрерывно дифференцируемые на функции, которые
()
+
()
= 0,
()
=
2
.
Из второго уравнения получаем
()
=
2
,
следовательно,
()
=
2
1
=
=
1
+
1
+
,
.
Из первого уравнения системы получаем
()
=
()
=
2
,
следовательно,
()
=
2
=
242 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
.
Проинтегрируем по частям второй интеграл:
=
=
=
=
=
1
2
=
2
+
1
2
.
Отсюда получаем
()
=
2
2
+
1
2
=
=
+
=
=
+
,
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)
=
+ +
1
+
1
+ , , .
После приведения подобных получаем окончательный ответ:
()=
+
+ , , .
Пример 6.9.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
2+ =
+ 2+ 2
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид
()=
2+ 1 =(1
)
:
Глава 6. Дифференциальные уравнения 243
у него единственный корень 1 кратности 2. Общее решение однородного
уравнения имеет вид
()=
+
,
где
, .
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
()=
()
+
()
,
где
()
,
()
— непрерывно дифференцируемые на функции, которые
найдем из системы линейных дифференциальных уравнений
()
+
()
= 0,
()
+
()(
+ 1)
=
+ 2+ 2
.
Из второго уравнения вычтем первое уравнение, получим
()
=
+ 2+ 2
,
следовательно,
()
=
+ 2+ 2
=
=
+ 2
+ 2
.
Обозначим
=
, = 1,2,3,
тогда
()
=
+ 2+ 2
.
Проинтегрируем по частям интеграл
:
=
=
=
=
=
=
1
244 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
=
=
.
Таким образом, получена формула
=
.
Проинтегрируем по частям интеграл
:
=
=
=
=
=
=
1
2
=
2
1
2
=
=
2
1
2
.
Учитывая формулу, полученную выше для интеграла
, находим
=
2
1
2
=
=
2
+
2
+
1
2
.
Отсюда получаем
()
=
+ 2+ 2
=
=
+ 2
+ 2
2
+
2
+
1
2
=
=
+
,
.
Найдем выражение для
()
. Из первого уравнения системы нахо-
дим
()
=
()
=
Глава 6. Дифференциальные уравнения 245
=
+ 2+ 2
,
следовательно,
()
=
+ 2+ 2
=
=
22
=
=
22
=
=
+
2
+
,
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
()=
+
2
+
+
+
+
,
где
, .
После приведения подобных получаем окончательный ответ:
(
)
= +
+
1
, , .
6.10. Линейные уравнения с правой частью
специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
порядка с постоянными коэффициентами
()
+
()
+
+ = (
)
,
где
, , …, , функция () непрерывна на промежутке .
246 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Теорема. Общее решение () неоднородного дифференциального
уравнения является суммой его частного решения
() и общего решения
() однородного уравнения:
()=
()
+
()
.
Если правая часть () дифференциального уравнения состоит из
сумм и произведений многочленов и функций вида
, cos , sin , то
частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом
неопределенных коэффициентов.
Случай 1. Пусть ()= (), где () — многочлен, тогда
a) если число = 0 не является корнем характеристического много-
члена, то частное решение неоднородного уравнения можно найти в виде
()
= (
)
,
где (
)
— многочлен c неопределенными коэффициентами той же степе-
ни, что и ();
b) если число = 0 является корнем характеристического многочле-
на кратности , то частное решение неоднородного уравнения можно
найти в виде
()
=
(
)
,
где (
)
— многочлен c неопределенными коэффициентами той же степе-
ни, что и (
)
.
Случай 2. Пусть ()=
(), где () — многочлен, 0, то-
гда
a) если число = не является корнем характеристического много-
члена, то частное решение неоднородного уравнения можно найти в виде
()
=
(
)
,
где (
)
— многочлен c неопределенными коэффициентами той же степе-
ни, что и ();
Глава 6. Дифференциальные уравнения 247
b) если число = является корнем характеристического многочле-
на кратности , то частное решение неоднородного уравнения можно
найти в виде
()
=
(
)
,
где (
)
— многочлен c неопределенными коэффициентами той же степе-
ни, что и ().
Случай 3. Пусть ()=
(
()
cos +
()
sin
)
, где
()
,
()
— многочлены, 0, 0, тогда
a) если число = + не является корнем характеристического
многочлена, то частное решение неоднородного уравнения можно найти в
виде
()
=
(
()
cos +
()
sin
)
,
где
()
,
() — многочлены c неопределенными коэффициентами, сте-
пени которых равны наибольшей из степеней многочленов
() и ();
b) если число = + является корнем характеристического мно-
гочлена кратности , то частное решение неоднородного уравнения можно
найти в виде
()
=
(
()
cos +
()
sin
)
,
где
()
,
() — многочлены c неопределенными коэффициентами, сте-
пени которых равны наибольшей из степеней многочленов
() и ().
Случай 4. Пусть в правой части исходного дифференциального
уравнения стоит функция
()=
()
+
()
+ +
()
,
где
(), (), …, () — функции, рассмотренные в предыдущих трех
пунктах. Если
(), (), …, () — частные решения, соответствую-
щие правым частям
(), (), …, (), то функция
() =
()
+
()
+ +
()
248 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
является частным решением исходного уравнения.
Пример 6.10.1. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
2+ = 4
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
()=
2+ 1 =(1
)
;
у него единственный корень 1 кратности 2. Общее решение однородного
уравнения имеет вид
()
=
+ , , .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. В правой части
неоднородного уравнения стоит функция 4
, которая подходит под слу-
чай 2. Так как число = 3 не является корнем характеристического много-
члена (
)
, то частное решение будем искать в виде
() =
,
где — неизвестный коэффициент.
Запишем в столбик производные и функцию, за чертой подпишем
коэффициенты при соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
=
= 3
= 9
1
2
1
Складывая формулы для функции и производной, умноженные на соответствующие коэффициенты, получаем
4
= 4
,
следовательно, = 1.
Таким образом, () =
— частное решение неоднородного урав-
нения, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид
Глава 6. Дифференциальные уравнения 249
()=
()
+
()
=
=
+ + , , .
Пример 6.10.2. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
4= 8
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
()=
4 =(2)(+ 2
)
;
у него два простых корня 2 и 2.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
() =
+ , , .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. В правой части
неоднородного уравнения стоит функция 8
, которая подходит под слу-
чай 1. Так как число = 0 не является корнем характеристического много-
члена, то частное решение будем искать в виде
() = + + + ,
где , , , — неизвестные коэффициенты.
Запишем в столбик производные и функцию, за чертой подпишем
коэффициенты при соответствующих слагаемых в левой части неоднородного дифференциального уравнения:
= + + +
= 3+ 2+
= 6+ 2
4
0
1
Сложим формулы, умноженные на соответствующие коэффициенты, и
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой
части неоднородного уравнения, получаем
250 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
:
:
:
:
4= 8,
4= 0,
4+ 6= 0,
4+ 2= 0.
Решая систему, находим = 2, = 0, = 3, = 0.
Таким образом,
() = 2
3
3 — частное решение неоднородного
уравнения, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид
()=
()
+
()
=
=
+
233,
, .
Пример 6.10.3. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
2+ 2=
(
2 cos4sin
)
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
()=
2+ 2;
у него два простых комплексно-сопряженных корня 1 ± . Общее решение
однородного уравнения имеет вид
()
=
cos + sin , , .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. В правой части
неоднородного уравнения стоит функция
(
2 cos4sin
)
, которая
подходит под случай 3. Так как число = 1 + является корнем характеристического многочлена, а наибольшая из степеней многочленов 2 и 2
в правой части уравнения равна 1, то частное решение будем искать в виде
() = (+ )cos +(+ )sin ,
где , , , — неизвестные коэффициенты.
Вычислим первую производную частного решения:
= (+ )cos +(+ )sin
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]