Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 41
=
1
1
1
(
+ +
)
+ .
Рассмотрим интеграл
:
=
(
+ +
)
.
Выделим в знаменателе полный квадрат:
=
+
+
.
Аналогично тому, как мы рассуждали в случае 3, выполним замену
+
2
=
4
,
получим
=
1
(
+ 1
)
.
Обозначим
=
(
+ 1
)
.
Таким образом, задача вычисления интеграла
сводится к вычисле-
нию интеграла
.
Для вычисления интеграла
выведем рекуррентную формулу,
называемую формулой редукции. Эта формула сводит вычисление инте-
грала
к вычислению интеграла
. Таким образом, за шагов интеграл
будет сведен к интегралу
, который является частным случаем инте-
грала, вычисленного ранее (см. случай 3).
Итак, рассмотрим интеграл
. Выполним под знаком интеграла тож-
дественное преобразование:
42 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
(
+ 1
)
=
=
(
+ 1
)
(
+ 1
)
=
=
1
(
+ 1
)
(
+ 1
)
.
Записывая полученный интеграл в виде разности двух интегралов,
находим:
=
(
+ 1
)
.
П
рименим к последнему интегралу формулу интегрирования по частям:
(
+ 1
)
=
=
=
(
+ 1
)
=
=
1
2
(
1
)
1
(
+ 1
)
=
1
2
(
1
)
(
+ 1
)
1
2
(
1
)
.
Подставим полученное выражение в формулу для
:
=
1
2
(
1
)
(
+ 1
)
1
2
(
1
)
.
Приводя подобные, получаем формулу редукции при 2:
=
1
2
(
1
)
(
+ 1
)
23
2
(
1
)
.
1.4.4. Интегрирование рациональных функций общего вида
Для того чтобы проинтегрировать рациональную функцию
(
)
(
)
,
нужно выполнить следующую последовательность действий:
1) если дробь неправильная, т. е. deg deg , разделить числитель
на знаменатель, выделив многочлен и правильную рациональную дробь;
Глава 1. Неопределенные интегралы 43
2) представить знаменатель () в виде произведения неприводимых
многочленов;
3) разложить рациональную дробь в сумму простых дробей, исполь-
зуя метод неопределенных коэффициентов;
4) вычислить интегралы от простых дробей.
Пример 1.4.4.1. Вычислить интеграл
2+ 3
9
.
Решение. Используя метод неопределенных коэффициентов, разло-
жим подынтегральную функцию на простые дроби:
2+ 3
9
=
2+ 3
(
3)(+ 3
)
=
=
3
+
+ 3
=
=
(+ 3)+ (3)
(
3)(+ 3
)
.
Должно выполняться следующее равенство для многочленов:
2+ 3 = (+ 3)+ (3
)
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в ле-
вой и правой части, получим следующую систему линейных уравнений:
+ = 2,
33= 3,
откуда находим = 3/2,
= 1/2. Следовательно, имеет место разложе-
ние подынтегральной функции:
2+ 3
9
=
3
2
1
3
+
1
2
1
+ 3
.
Теперь переходим к вычислению интеграла:
2+ 3
9
=
3
2
3
+
1
2
+ 3
=
44 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
3
2
ln
|
3
|
+
1
2
ln
|
+ 3|+ .
Пример 1.4.4.2. Вычислить интеграл
2
+ 1
.
Решение. Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная
функция (степень числителя больше степени знаменателя). Преобразуем
подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель, получим
2
+ 1
= 1
1
+ 1
.
Переходим к вычислению интеграла:
2
+ 1
= 1
1
+ 1
=
=
2
ln|+ 1|+ .
Пример 1.4.4.3. Вычислить интеграл
+ 4+ 8
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат, получим
+ 4+ 8
=
(
+ 2
)
+ 4
.
Сделаем под знаком интеграла такую замену, чтобы выполнялось равенство
(
+ 2
)
= 4
,
имеем
+ 2 = 2 = 2,
отсюда находим
+ 4+ 8
=
2
4
+ 4
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 45
=
1
2
+ 1
=
1
2
arctg + .
Используя формулу =
, получаем окончательный ответ:
+ 4+ 8
=
1
2
arctg
+ 2
2
+ .
Пр
имер 1.4.4.4. Вычислить интеграл
6+ 116
.
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная
функция. Разложим многочлен (
)
=
6+ 116 в произведение
неприводимых многочленов. Из теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами следует, что рациональные корни (если,
конечно, они имеются) находятся среди чисел ±1, ±2, ±3. Подставляя эти
числа в многочлен, получаем
(1)
= 0,
(2)
= 0,
(3)
= 0, следователь-
но, числа 1, 2, 3 являются корнями многочлена (
) и
имеет место равен-
ство
(
)
=
6+ 116 =(1)(2)(3
)
.
Разложим правильную рациональную функцию под знаком интегра-
ла в сумму простых дробей:
(
1)(2)(3
)
=
=
1
+
2
+
3
=
=
(2)(3)+ (1)(3)+ (1)(2)
(
1)(2)(3
)
.
Должно выполняться следующее равенство:
= (5+ 6
)
+
(
4+ 3)+ (3+ 2
)
.
О
тсюда получаем систему для определения коэффициентов:
46 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+ + = 1;
543= 0;
6+ 3+ 2= 0;
=
1
2
;
= 4;
=
9
2
.
Получаем
(
1)(2)(3
)
=
1
2
1
1
4
1
2
+
9
2
1
3
.
Теперь вычислим интеграл:
(
1)(2)(3
)
=
=
1
2
1
4
2
+
9
2
3
=
=
1
2
ln
|
1|4 ln|2
|
+
9
2
ln
|
3|+ .
Пример 1.4.4.5. Вычислить интеграл
+ + + 1
.
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная
функция. Разложим многочлен (
)
=
+ + + 1 в произведение не-
приводимых многочленов.
Из т
еоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффи-
циентами следует, что целые корни (если они имеются) находятся среди
чисел 1 и 1. Подставляя эти числа в многочлен, получаем (1
)
= 0,
следовательно, число 1 является корнем многочлена (
) и
имеет место
равенство
(
)
=
+ + + 1 =(+ 1)(
+ 1).
Разложим правильную рациональную функцию под знаком интеграла в сумму простых дробей:
Глава 1. Неопределенные интегралы 47
1
(
+ 1)(
+ 1
)
=
=
+ 1
+
+
+ 1
=
=
(
+ 1
)
+ (+ )(+ 1
)
(
+ 1)(
+ 1
)
.
Должно выполняться следующее равенство:
1 = (
+ 1
)
+ (+ )(+ 1
)
.
О
тсюда получаем систему для определения коэффициентов:
+ = 0;
+ = 0;
+ = 1;
=
1
2
;
=
1
2
;
=
1
2
.
Получаем
1
(
+ 1)(
+ 1
)
=
=
+ 1
+
+
+ 1
=
=
1
2
1
+ 1
1
2
+ 1
+
1
2
1
+ 1
.
Теперь вычислим интеграл:
+ + + 1
=
=
1
2
+ 1
1
2
+ 1
+
1
2
+ 1
=
=
1
2
ln
|
+ 1|
1
4
ln
(
+ 1)+
1
2
arctg + .
Пример 1.4.4.6. Вычислить интеграл
1
.
48 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная
функция. Разложим многочлен
1 в произведение неприводимых мно-
гочленов:
1 =(1)(+ 1)(
+ 1).
Разложим правильную рациональную функцию под знаком интеграла в сумму простых дробей и приведем выражение в правой части к общему знаменателю:
1
(
1)(+ 1)(
+ 1
)
=
=
1
+
+ 1
+
+
+ 1
=
=
(
+ 1)(
+ 1
)
+ (1)(
+ 1)+
(
+ )(1)(+ 1
)
(
1)(+ 1)(
+ 1
)
.
Должно выполняться следующее равенство:
1 = (
+ + + 1)+ (+ 1
)+(
+ )(1
)
.
Отсюда получаем систему для определения коэффициентов:
+ + = 0;
+ = 0;
+ = 0;
= 1;
=
1
4
;
=
1
4
;
= 0;
=
1
2
.
Получаем
1
1
=
1
4
1
1
1
4
1
+ 1
1
2
1
+ 1
.
Переходим к вычислению интеграла:
1
=
=
1
4
1
1
4
+ 1
1
2
+ 1
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 49
=
1
4
ln
|
1|
1
4
ln
|
+ 1|
1
2
arctg + .
Пример 1.4.4.7. Вычислить интеграл
+ 1
.
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная
функция. Разложим многочлен
+ 1 в произведение неприводимых мно-
гочленов:
+ 1 =
(
+ 2
+ 1
)
2
=
=
(
+ 1
)
2
=
=
2+ 1
+
2+ 1.
Разложим правильную рациональную функцию под знаком интегра-
ла в сумму простых дробей:
1
2+ 1
+
2+ 1
=
=
+
2+ 1
+
+
+
2+ 1
=
=
(
+ )
+
2+ 1+ (+ )2+ 1
2+ 1
+
2+ 1
.
Должно выполняться следующее равенство:
1 = (+ )
+
2+ 1+ (+ )2+ 1.
Отсюда получаем систему для определения коэффициентов:
+ = 0;
2
+ 2+ = 0;
+
2
+ 2= 0;
+ = 1;
=
1
22
;
=
1
2
;
=
1
22
;
=
1
2
,
50 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
тогда
1
+ 1
=
+
2+ 1
+
+
+
2+ 1
=
=
1
22
2
2+ 1
+
1
22
+
2
+
2+ 1
.
Следовательно, имеет место равенство
+ 1
=
=
1
22
2
2+ 1
+
+
1
22
+
2
+
2+ 1
.
Обозначим
±
=
±
2
±
2+ 1
,
тогда
+ 1
=
1
22
+
1
22
.
Вычислим интеграл
. Выделим в числителе производную знамена-
теля и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
=
+
2
+
2+ 1
=
=
2+2+
+
2+ 1
=
=
1
2
2+
2
+
2+ 1
+
2
2
+
2+ 1
.
Обозначим
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]